Interrogation

Université de Nice
2007-08
Master 1 Mathématiques
GAE
Interrogation
Exercice 1. On considère un corps k ;
1.1. On considère l’ordre lexicographique plex(X, Y, Z) sur les monômes de k[X, Y, Z].
Expliciter le reste de la division d’un polynôme P (X, Y, Z) de k[X, Y, Z] par la famille
(X − Z 4 , Y − Z 7 ).
On a LT (X − Z 4 ) = X et LT (Y − Z 7 ) = Y . Un reste de division par la famille (X − Z 4 , Y − Z 7 )
n’a aucun terme non nul divisible par X ou Y . C’est donc un polynôme en Z.
1.2. On désigne par I l’idéal engendré par la famille (X − Z 4 , Y − Z 7 ). Montrer que
l’application P (X, Y, Z) 7−→ P (u4 , u7 , u) induit un isomorphisme du quotient k[X, Y, Z]/I
sur l’anneau k[u].
L’application e : P (X, Y, Z) 7−→ P (u4 , u7 , u) est une évaluation. C’est donc un morphisme d’anneaux. Il est surjectif puisque tout polynôme R(u) est l’image par l’évaluation e du polynôme
R(Z). Considérons maintenant un polynôme P de k[X, Y, Z] et le reste R(Z) de la division de P
par la famille (X −Z 4 , Y −Z 7 ). Puisque X −Z 4 et Y −Z 7 s’évaluent en zéro, les deux polynômes P
et R ont même image par l’évaluation e, ce qui montre que e(P ) = 0 si et seulement si R = 0 dans
k[Z]. Le noyau de l’application d’évaluation e est donc l’idéal I = (X − Z 4 , Y − Z 7 ). L’application
e induit donc un isomorphisme du quotient k[X, Y, Z]/I sur l’anneau k[u].
1.3. Expliquer pourquoi la famille (X − Z 4 , Y − Z 7 ) est une base de Groebner de l’idéal
I pour l’ordre plex(X, Y, Z).
La question précédente peut se reformuler ainsi : l’application d’évaluation e est le morphisme
quotient k[X, Y, Z] −→ k[X, Y, Z]/I, autrement dit, la classe de P modulo I contient un unique
polynôme en Z qui s’obtient soit en calculant P (Z 4 , Z 7 , Z), soit en calculant le reste de la division
par la famille (X −Z 4 , Y −Z 7 ) pour l’ordre plex(X, Y, Z). Le morphisme e induit donc un isomorphisme entre k[Z] considéré comme sous-espace vectoriel de k[X, Y, Z] et le quotient k[X, Y, Z]/I,
identifié à k[u]. Ceci caractérise une base de Groebner.
On aurait pu aussi montrer que l’idéal LT (I) est engendré par la famille (X, Y ).
En est-il de même pour l’ordre tdeg(X, Y, Z) ?
Pour l’ordre tdeg(X, Y, Z), on a LT (X − Z 4 ) = −Z 4 et LT (Y − Z 7 ) = −Z 7 . L’ideal engendré
par LT (X − Z 4 ) et LT (Y − Z 7 ) est l’idéal (Z 4 ). Considérons alors Z 3 (X − Z 4 ) − (Y − Z 7 ) =
XZ 3 − Y de terme dominant XZ 3 . Comme XZ 3 n’est pas un multiple de Z 4 l’idéal LT (I) pour
l’ordre tdeg(X, Y, Z) n’est pas engendré par la famille (LT (X − Z 4 ), LT (Y − Z 7 )). La famille
(X − Z 4 , Y − Z 7 ) n’est pas une base de Groebner de l’idéal I pour l’ordre tdeg(X, Y, Z).
1.4. On considère maintenant le sous-espace vectoriel R de k[u] engendré par l’ensemble
des monômes {u4i+7j | i, j ∈ N}. Montrer que R est la sous-k-algèbre de k[u] engendrée
par (u4 , u7 ).
C’est la définition même de la sous-k-algèbre engendrée par (u4 , u7 ).
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1.5. On désigne par J l’idéal engendré par Y 4 − X 7 dans k[X, Y ] Expliciter le reste
de la division d’un polynôme P (X, Y ) de k[X, Y ] par Y 4 − X 7 pour l’ordre plex(Y, X).
Montrer que l’application P (X, Y ) 7−→ P (u4 , u7 ) induit un isomorphisme du quotient
k[X, Y ]/J sur l’anneau R.
Pour l’ordre plex(Y, X) on a LT (Y 4 − X 7 ) = Y 4 . Le reste de la division de P par Y 4 − X 7 est
un polynôme à coefficients dans k[X] de degré au plus 3 en Y .
L’application ev : P (X, Y ) 7−→ P (u4 , u7 ) est une évaluation. C’est donc un morphisme d’anneaux.
Il est surjectif puisque tout monôme u4i+7j de R est l’image du monôme Y i X j . Considérons
maintenant un polynôme P de k[X, Y ] et le reste S de la division de P par la famille Y 4 − X 7 .
Puisque Y 4 − X 7 s’évalue en zéro, les deux polynômes P et S ont même image par l’évaluation
ev, ce qui montre que ev(P ) = 0 si et seulement si S(u4 , u7 ) = 0 dans k[u].
Si S(X, Y ) = a0 (X) + a1 (X)Y + a2 (X)Y 2 + a3 (X)Y 3 , on a :
S(u4 , u7 ) = a0 (u4 ) + a1 (u4 )u7 + a2 (u4 )u14 + a3 (u4 )u21 = 0.
Comme 7, 14, 21 sont congrus respectivement à 3, 2, 1 modulo 4, on en déduit que les 4 termes de
S(u4 , u7 ) sont séparément nuls, donc que a0 , a1 , a2 , a3 sont nuls dans k[X] et par suite que S est
nul dans k[X, Y ]. Le noyau de l’application d’évaluation ev est donc l’idéal J . L’application ev
induit donc un isomorphisme du quotient k[X, Y, Z]/I sur l’anneau R.
Exercice 2. On considère un corps k, un entier n non nul, un espace vectoriel E de
dimension n sur k et un polynôme P , unitaire de degré n, à coefficients dans k :
P (X) = X n − an−1 X n−1 − . . . − a0 = X n −
n−1
X
ai X i .
i=0
On considère une base B = (e1 , . . . , en ) et
base B est la suivante :

0 0 0
 1 0 0

 0 1 0
 .
...
 .
 .

 0 0
0 0 ···
l’endomorphisme u dont la matrice dans la
· · · 0 a0
0 a1
0 a2
..
...
.
..
. 0 an−2
1 an−1





.



2.1. Montrer que E, considéré comme k[X]-module grâce à l’action de u, est engendré
par le vecteur e1 et que l’application
φ : k[X] −→ E
Q(X) 7−→ Q(u)(e1 )
est un morphisme surjectif de k[X]-modules. Calculer précisément le noyau de φ et
en déduire un isomorphisme de E avec un quotient de k[X]. En déduire le polynôme
minimal et le polynôme caractéristique de u.
On constate sur la matrice de u, que les images successives de e1 par les itérées de u sont e1 =
u0 (e1 ), e2 = u(e1 ), e3 , . . . , en = un−1 (e1 ) et que P (u)(e1 ) = 0. Comme elles engendrent E en tant
qu’espace vectoriel, c’est que e1 engendre E en tant que k[X]-module. L’application φ est donc
surjective. C’est un morphisme puisque c’est une évaluation.
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Comme la famille de vecteurs (e1 , u(e1 ), . . . , un−1 (e1 )) est libre, il n’existe pas de polynôme non nul
Q, de degré strictement inférieur à n, tel que Q(u)(e1 ) = 0. Le noyau de φ est donc engendré par
P , de degré n. Le polynôme minimal de u est donc P et le polynôme caractéristique est (−1)n P
puisque P est de degré n.
2.2. On suppose que P est irréductible dans k[X]. Quels sont les sous-modules de E ?
Les sous-k[X]-modules de l’anneau k[X]/(P ) sont les idéaux de l’anneau k[X]/(P ). Un tel idéal
est principal, engendré par un diviseur de P (le vérifier). Si P est irréductible, les seuls sous-k[X]modules de l’anneau k[X]/(P ) sont les sous-modules triviaux 0 et k[X]/(P ).
2.3. Même question lorsque P est quelconque.
Dans ce cas, les sous-k[X]-modules de l’anneau k[X]/(P ) sont associés aux diviseurs de P . Si D
est un diviseur de P et P = DD0 alors le sous-module Dk[X]/(P ) est isomorphe au quotient
k[X]/(D0 ) (le vérifier).