Interrogation

Universit´ e de Nice Master 1 Math´ ematiques
2007-08 GAE
Interrogation
Exercice 1. On consid`ere un corps k;
1.1.On consid`ere l’ordre lexicographique plex(X, Y, Z)sur les monˆomes de k[X, Y, Z].
Expliciter le reste de la division d’un polynˆome P(X, Y, Z)de k[X, Y, Z]par la famille
(X−Z4, Y −Z7).
On a LT (X−Z4) = Xet LT (Y−Z7) = Y. Un reste de division par la famille (X−Z4, Y −Z7)
n’a aucun terme non nul divisible par Xou Y. C’est donc un polynˆome en Z.
1.2.On d´esigne par Il’id´eal engendr´e par la famille (X−Z4, Y −Z7). Montrer que
l’application P(X, Y, Z)7−→ P(u4, u7, u)induit un isomorphisme du quotient k[X, Y, Z]/I
sur l’anneau k[u].
L’application e:P(X, Y, Z)7−→ P(u4, u7, u) est une ´evaluation. C’est donc un morphisme d’an-
neaux. Il est surjectif puisque tout polynˆome R(u) est l’image par l’´evaluation edu polynˆome
R(Z). Consid´erons maintenant un polynˆome Pde k[X, Y, Z] et le reste R(Z) de la division de P
par la famille (X−Z4, Y −Z7). Puisque X−Z4et Y−Z7s’´evaluent en z´ero, les deux polynˆomes P
et Ront mˆeme image par l’´evaluation e, ce qui montre que e(P) = 0 si et seulement si R= 0 dans
k[Z]. Le noyau de l’application d’´evaluation eest donc l’id´eal I= (X−Z4, Y −Z7). L’application
einduit donc un isomorphisme du quotient k[X, Y, Z]/Isur l’anneau k[u].
1.3.Expliquer pourquoi la famille (X−Z4, Y −Z7)est une base de Groebner de l’id´eal
Ipour l’ordre plex(X, Y, Z).
La question pr´ec´edente peut se reformuler ainsi : l’application d’´evaluation eest le morphisme
quotient k[X, Y, Z]−→ k[X, Y, Z]/I, autrement dit, la classe de Pmodulo Icontient un unique
polynˆome en Zqui s’obtient soit en calculant P(Z4, Z7, Z), soit en calculant le reste de la division
par la famille (X−Z4, Y −Z7) pour l’ordre plex(X, Y, Z). Le morphisme einduit donc un isomor-
phisme entre k[Z] consid´er´e comme sous-espace vectoriel de k[X, Y, Z] et le quotient k[X, Y, Z]/I,
identifi´e `a k[u]. Ceci caract´erise une base de Groebner.
On aurait pu aussi montrer que l’id´eal LT (I) est engendr´e par la famille (X, Y ).
En est-il de mˆeme pour l’ordre tdeg(X, Y, Z)?
Pour l’ordre tdeg(X, Y, Z), on a LT (X−Z4) = −Z4et LT (Y−Z7) = −Z7. L’ideal engendr´e
par LT (X−Z4) et LT (Y−Z7) est l’id´eal (Z4). Consid´erons alors Z3(X−Z4)−(Y−Z7) =
XZ3−Yde terme dominant XZ3. Comme XZ3n’est pas un multiple de Z4l’id´eal LT (I) pour
l’ordre tdeg(X, Y, Z)n’est pas engendr´e par la famille (LT (X−Z4), LT (Y−Z7)). La famille
(X−Z4, Y −Z7) n’est pas une base de Groebner de l’id´eal Ipour l’ordre tdeg(X, Y, Z).
1.4.On consid`ere maintenant le sous-espace vectoriel Rde k[u]engendr´e par l’ensemble
des monˆomes {u4i+7j|i, j ∈N}. Montrer que Rest la sous-k-alg`ebre de k[u]engendr´ee
par (u4, u7).
C’est la d´efinition mˆeme de la sous-k-alg`ebre engendr´ee par (u4, u7).

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1.5.On d´esigne par Jl’id´eal engendr´e par Y4−X7dans k[X, Y ]Expliciter le reste
de la division d’un polynˆome P(X, Y )de k[X, Y ]par Y4−X7pour l’ordre plex(Y, X).
Montrer que l’application P(X, Y )7−→ P(u4, u7)induit un isomorphisme du quotient
k[X, Y ]/Jsur l’anneau R.
Pour l’ordre plex(Y, X) on a LT (Y4−X7) = Y4. Le reste de la division de Ppar Y4−X7est
un polynˆome `a coefficients dans k[X] de degr´e au plus 3 en Y.
L’application ev :P(X, Y )7−→ P(u4, u7) est une ´evaluation. C’est donc un morphisme d’anneaux.
Il est surjectif puisque tout monˆome u4i+7jde Rest l’image du monˆome YiXj. Consid´erons
maintenant un polynˆome Pde k[X, Y ] et le reste Sde la division de Ppar la famille Y4−X7.
Puisque Y4−X7s’´evalue en z´ero, les deux polynˆomes Pet Sont mˆeme image par l’´evaluation
ev, ce qui montre que ev(P) = 0 si et seulement si S(u4, u7) = 0 dans k[u].
Si S(X, Y ) = a0(X) + a1(X)Y+a2(X)Y2+a3(X)Y3,ona:
S(u4, u7) = a0(u4) + a1(u4)u7+a2(u4)u14 +a3(u4)u21 = 0.
Comme 7,14,21 sont congrus respectivement `a 3,2,1 modulo 4, on en d´eduit que les 4 termes de
S(u4, u7) sont s´epar´ement nuls, donc que a0, a1, a2, a3sont nuls dans k[X] et par suite que Sest
nul dans k[X, Y ]. Le noyau de l’application d’´evaluation ev est donc l’id´eal J. L’application ev
induit donc un isomorphisme du quotient k[X, Y, Z]/Isur l’anneau R.
Exercice 2. On consid`ere un corps k, un entier nnon nul, un espace vectoriel Ede
dimension nsur ket un polynˆome P, unitaire de degr´e n, `a coefficients dans k:
P(X) = Xn−an−1Xn−1−. . . −a0=Xn−
n−1
X
i=0
aiXi.
On consid`ere une base B= (e1, . . . , en)et l’endomorphisme udont la matrice dans la
base Best la suivante :
0 0 0 · · · 0a0
1 0 0 0 a1
0 1 0 0 a2
.
.
........
.
.
0 0 ...0an−2
0 0 · · · 1an−1
.
2.1.Montrer que E, consid´er´e comme k[X]-module grˆace `a l’action de u, est engendr´e
par le vecteur e1et que l’application
φ:k[X]−→ E
Q(X)7−→ Q(u)(e1)
est un morphisme surjectif de k[X]-modules. Calculer pr´ecis´ement le noyau de φet
en d´eduire un isomorphisme de Eavec un quotient de k[X]. En d´eduire le polynˆome
minimal et le polynˆome caract´eristique de u.
On constate sur la matrice de u, que les images successives de e1par les it´er´ees de usont e1=
u0(e1), e2=u(e1), e3, . . . , en=un−1(e1) et que P(u)(e1) = 0. Comme elles engendrent Een tant
qu’espace vectoriel, c’est que e1engendre Een tant que k[X]-module. L’application φest donc
surjective. C’est un morphisme puisque c’est une ´evaluation.

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Comme la famille de vecteurs (e1, u(e1), . . . , un−1(e1)) est libre, il n’existe pas de polynˆome non nul
Q, de degr´e strictement inf´erieur `a n, tel que Q(u)(e1) = 0. Le noyau de φest donc engendr´e par
P, de degr´e n. Le polynˆome minimal de uest donc Pet le polynˆome caract´eristique est (−1)nP
puisque Pest de degr´e n.
2.2.On suppose que Pest irr´eductible dans k[X]. Quels sont les sous-modules de E?
Les sous-k[X]-modules de l’anneau k[X]/(P) sont les id´eaux de l’anneau k[X]/(P). Un tel id´eal
est principal, engendr´e par un diviseur de P(le v´erifier). Si Pest irr´eductible, les seuls sous-k[X]-
modules de l’anneau k[X]/(P) sont les sous-modules triviaux 0 et k[X]/(P).
2.3.Mˆeme question lorsque Pest quelconque.
Dans ce cas, les sous-k[X]-modules de l’anneau k[X]/(P) sont associ´es aux diviseurs de P. Si D
est un diviseur de Pet P=DD0alors le sous-module Dk[X]/(P) est isomorphe au quotient
k[X]/(D0) (le v´erifier).