Q MUNI DE L`ARITHMÉTIQUE FAIBLE DE PENZIN EST

PROCEEDINGS OF THE
AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
Volume 125, Number 9, September 1997, Pages 2711–2717
S 0002-9939(97)03912-9
QMUNI DE L’ARITHM´ ETIQUE FAIBLE
DE PENZIN EST D´ ECIDABLE
FRANC¸OISE DELON
(Communicated by Andreas R. Blass)
Abstract. We prove the decidability of the additive ordered group Qequipped
with a predicate for 2Z, the multiplication restricted to 2Z×Qand the 2-adic
valuation ranging in 2Z.
1. Introduction
Julia Robinson a montr´elad´efinissabilit´edeZdans l’anneau Q,quiestdonc
ind´ecidable. Penzin a montr´equelar´eduite de l’anneau Zdans le langage {P, ≤
,+,f}reste ind´ecidable, o`u ≤et + ont leur interpr´etation usuelle, Pest un symbole
de pr´edicat unaire interpr´et´epar2
Net fun symbole de fonction binaire interpr´et´e
par la restriction de la multiplication `a2
N×Z; notons hZ,2Nicette structure. Nous
montrons ici que la structure naturelle hQ,2Zidu mˆeme langage est d´ecidable (elle
le reste si on lui adjoint la valuation 2-adique `a valeurs dans 2Z). C’est `a notre
connaissance la premi`ere r´eduite naturelle de la structure d’anneau pour laquelle
Qet Zse comportent de fa¸con diff´erente.
La structure hQ,2Zise pr´esente naturellement par plusiers biais. Ainsi elle est
´el´ementairement ´equivalente `a hR,2Zi, dont van den Dries a montr´elad´ecidabilit´e
[vdD2], mais en travaillant dans un langage plus lourd, incluant le langage d’anneau,
pour lequel donc Qest ind´ecidable. Ainsi notre travail revient `ad´eterminer la
trace sur {P, ≤,+,f}de la th´eorie de van den Dries. Par ailleurs hQ,2Ziet le
groupe ordonn´e2
ZnQ,o`u2 n
,n∈Z, agit sur Qpar multiplication et l’ordre
est lexicographique, sont biinterpr´etables (voir [S1]). La d´ecidabilit´e du groupe
ordonn´e2
ZnQ est donc une autre formulation du r´esultat annonc´e ci-dessus. A
titre de comparaison, le groupe 2Zn2−∞Zest ind´ecidable. On donne ´egalement
une axiomatisation du groupe 2ZnQ,cequir´epond `a une question de Zilber et
reprouve quelques r´esultats de Gr¨unenwald et Haug [GH]. Une ´etude plus g´en´erale
de ce genre de groupes est maintenant faite dans [S2] et [DS].
2. D´ ecidabilit´ edehQ,2
Z
i,ind
´
ecidabilit´ edeh2
−∞Z,2Zi
Th´eor`eme 1. La th´eorie Tci-dessous du langage L={P, ≤,+,−,f,0,1}est
compl`ete. C’est la th´eorie de hK, 2Z,≤,+,−,f,0,1ipour tout sous-corps Kde
Received by the editors September 20, 1995 and, in revised form, April 4, 1996.
1991 Mathematics Subject Classification. Primary 03C60; Secondary 12L05.
Key words and phrases. Penzin arithmetic, decidability, field of rational numbers, p-adic
valuation.
c
1997 American Mathematical Society
2711
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2712 FRANC¸OISE DELON
R,o`ufest d´efinie sur P×Ket v´erifie f(2n,x)=2
n
.x,pourn∈Zet x∈K.Les
axiomes de Tsont les suivants:G=hG, P, ≤,+,−,f,0,1iTssi
T1. hG, ≤,+,−,0iest un groupe ab´elien ordonn´e;
T2. P(1),P(x)↔P(2x)o`u 2xsignifie x+x;
T3. [P(x)∧x<y<2x]→¬P(y);
T4. P⊆G>0;
T5. ∀x>0∃p∈Pp≤x∧¬(∃q∈Pp<q≤x);cepd´efinissable est not´e λ(x);
T6. fest d´efinie sur P×Get, pour tous y1,...,y
n∈P,ε 1,...,ε n=±1,
[
Py
iε i>0] →[la correspondance x→Pεif(yi,x)est un automorphisme
de hG, ≤,+i;
T7. hP, f P2,1iest un groupe; fd´efinit une action de ce groupe sur G;si
2:=1+1,f(2,x)=2xpour tout x∈G;
T8. pour tout x>0, la correspondance y→f(y, x)est une application strictement
croissante de hP, ≤i vers hG, ≤i;
T9. hP, f P2,<,1,2iest un Z-groupe.
Remarques. 1. Dans un mod`ele, la structure de groupe de Gd´efinit une action de
Zsur G. En la combinant avec l’action de P, on obtient sur Gune structure de
Z[P]-module. Par T7, l’id´eal I:= (1Z.2P−2Z.1P) annule G, qui est donc aussi un
(Z[P]/I)-module (nous notons multiplicativement toutes ces actions). Tout terme
Pzi.pi∈Z[P], zi∈Z,pi∈P,est´egal modulo I`a0ou`auntermeP
m
1ε
i
q
i
,avec
m≥1, εi=±1, qi∈Pet les qitous distincts. De plus les axiomes T1, T3 et T4
imposent, si m≥2etsilesq
isont rang´es par ordre croissant, |Pm−1
1εi.qi|<q
m
.
D’apr`es ceci et T6, les termes Pmεi.qiavec m≥1 agissent sur hG, +icomme
des automorphismes, croissants si εm=1,d´ecroissants si εm=−1. Cela prouve
que Iest premier, et aussi permet d’´etendre l’action de Z[P]/I `a son corps de
quotients, que nous noterons k(P). Ce corps est plong´edansGen tant qu’orbite
de 1, et ainsi ordonn´e. Alors la th´eorie Timpose `a Gd’avoir une structure de k(P)-
espace vectoriel ordonn´e (en plus des axiomes d’espace vectoriel: pour α∈k(P)et
g, h ∈G,α>0etg, h > 0 impliquent g+h,α.g > 0). R´eciproquement, si hG, P i
satisfait T1 `a T5, T7, T9 et est tel que l’action de Ps’´etende en une action de k(P)
qui fait de Gun k(P)-espace vectoriel ordonn´e, alors hG, P iT.
2. Tous les axiomes de Tsauf T5, T6, T9 et le fragment de T7 exprimant
l’existence de l’inverse, sont universels. Consid´erons, pour n∈N>0,lesfonctions
d´efinissables ϕn:P→Pexprimant que Pest un Z-groupe: si x∈P,ϕn(x)est
l’unique y∈Pv´erifiant WWn−1
i=0 yn=2
−i
.x. Alors l’extension par d´efinition de T
obtenue en ajoutant au langage λ,lesϕ
net les fε1,...,εn,n∈ω,εi=±1, qui, `a
(x, p1,...,p
n)∈G×Pntels que VVP(pi)∧(Pεipi6= 0), associent ytel que x=
Pεif(pi,y), est universelle (on ajoute en particulier le passage `a l’inverse dans P
puisque f1(1,p)=p
−1
). En cons´equence, au-dessus de tout ensemble de param`etres
A,laclˆoture hAide Apar λ, +,−,f,les(ϕ
n
)
n∈ω
,etles(f
ε
1
,...,εn)n∈ω,ε1=±1,est
un mod`ele minimal. Pour G≤HT,A⊆Het x∈H,GhAiet Ghxid´esignent
respectivement hG∪Aiet hG∪{x}i.
D´emonstration du th´eor`eme 1.Seule la compl´etude de Tn’est pas ´evidente. Elle
se prouve par va-et-vient entre deux mod`eles ω1-satur´es Get H, les isomorphismes
se faisant entre les sous-mod`eles d´enombrables G0de Get H0de Hv´erifiant de
plus P(G0)≺P(G)etP(H
0
)≺P(H). Le va-et-vient est amorc´e grˆace au mod`ele
minimal hQ,2Z,≤,+,×i. Soient maintenant G0⊆G1⊆G,tousmod`eles de T.
Pour d´ecrire G1au-dessus de G0,ilsuffitdesavoird´ecrire G0hP(G1)iau-dessus de
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QMUNI DE L’ARITHM´ ETIQUE FAIBLE DE PENZIN EST D´ ECIDABLE 2713
G0, puis G1au-dessus de G0hP(G1)i. Cela signifie que dans le va-et-vient, il suffit de
savoir adjoindre un point de P,oubienunpointx∈Gtel que P(G0)=P(G
0
hxi).
Notons P0:= P(G0).
Premier cas:P0=P(G0hxi), x/∈G
0
.
Montrons qu’alors le type d’isomorphisme de G0hxiau-dessus de G0est enti`ere-
ment d´etermin´e par la coupure Σ := {g∈G0;g<x}, ce qui permettra d’´etendre
`a G0hxil’isomorphisme partiel entre G0et H0.Eneffet,G
0
hxiest isomorphe au
k(P0)-espace vectoriel G0⊕k(P0).x avec l’ordre impos´e par Σ; grˆace `alacondition
P
0=P(G 0
hxi), pour α∈k(P0)etg∈G
0tels que αx +g>0, il existe g1∈P0
v´erifiant g1≤αx +g<2g
1
,oudefa¸con ´equivalente g1∈αΣ+g<2g
1
,cequi
impose λ(g+αx)=g
1
,etP(g+αx) ssi α=0etP(g).
Deuxi`eme cas:x∈P(G)\G0.
Soit P1,P0≺P1≺P. Alors G0hP1ine d´epend que du type de P1au-dessus de
P0en tant que Z-groupe. L’ensemble sous-jacent est en effet compos´edes´el´ements
α−1Ppigiavec α∈Z[P1]\{0},p
i∈P 1
,g
i∈G 0
,o`uonpeutdeplusprendreles
p
idistincts modulo P0.L’´egalit´e et l’ordre sont impos´es par le fait que les termes
pigiont alors des valuations archim´ediennes diff´erentes. Cela d´etermine ´egalement
Psur k(P1), donc sur G0hP1i, et aussi la fonction λ. L’action de k(P) est l’action
´evidente.
Th´eor`eme 2. L’extension par d´efinition de Tdans le langage L∪{(R
n
)
n∈N
∗,λ},
avec les axiomes:
λest d´efinie sur G>0,
λ(x)=y↔P(y)∧y≤x<2y,
et pour n∈N∗,R
n
(x)↔[P(x)∧∃y(y∈P∧y
n=x)]
´elimine les quantificateurs.
D´emonstration. La preuve du theor`eme 1 montre aussi qu’il y a une seule fa¸con
de construire hAien respectant les Rn, au-dessus d’une L-structure Astable par
λ.
Proposition. h2−∞Z,2Z,+,−,f,0,1iest ind´ecidable.
D´emonstration. Penzin a ´enonc´eler´esultat avec Zau lieu de 2−∞Zet avec l’ordre
dans le langage, mais la mˆeme preuve fonctionne ici. On d´efinit l’arithm´etique
hZ,|,+i, qui permet de red´efinir la multiplication (voir [Rr], page 152). Le support
est 2Z,2
x+y=2 x
.2
yet x|yssi notre structure satisfait ∃u2x.u −u=2 y−1.
Remarque. La preuve utilise fondamentalement le fait que Pest discret et admet
des mod`eles premiers. Dans le cas o`u Pest dense, il y a de nombreuses fa¸cons
de compl´eter la th´eorie T1+T2+T4+T6+T7+T8, mˆeme une fois fix´ee celle
du groupe ordonn´e P. Supposons par exemple que Kest un corps ordonn´eetP
un sous-groupe multiplicatif positif. Si l’on impose que Psoit dense dans K,la
multiplication de Kest d´efinissable dans hK, P i.
3. Interpr´ etabilit´ es relatives
On connaˆıt la subtilit´edesr´esultats d’interpr´etabilit´e concernant les structures
proches de “hN,+,V
2i”, ou plutˆot hZ,+,≤,V 2ipour rester dans un cadre analogue
au pr´ec´edent: si v2est la valuation 2-adique (consid´erons par exemple qu’elle n’est
pas d´efinie en 0) et V2(x)=2
v
2
(x)
, alors hZ,+,≤,2Niest une r´eduite propre de
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2714 FRANC¸OISE DELON
hZ,+,≤,V
2iet de hZ,+,≤,2xi,quisontr´eduites propres de leur compos´ee hZ,+,
≤,V
2,2
xi. Cette derni`ere est interd´efinissable avec hZ,+,≤,v
2iet hZ,+,.i,donc
ind´ecidable. Les autres structures sont d´ecidables (d’apr`es des travaux, entre autres,
de Semenov et van den Dries, voir [CP] et [BHMV]). C’est en pensant `a ces r´esultats
que nous ´enon¸cons la proposition ci-dessous. Nous utilisons pour la montrer une
version adapt´ee `a notre contexte du th´eor`eme de Stone d’approximation simultan´ee,
qui demande qu’on r´efl´echisse un peu sur la notion de groupe agissant sur un groupe
ab´elien, ce que nous ferons dans la section 4.
Proposition. hQ,2Z,+,f,≤2
Z
iest une r´eduite propre de hQ,2Z,+,f,V
2,≤2
Z
i
et de hQ,2Z,+,f,≤i, chacune de ces deux structures est une r´eduite propre de
hQ,2Z,+,f,V
2,≤i. Toutes ces structures sont d´ecidables, et la r´eduite hQ,2Z,+,fi
est superstable.
Remarque. Si l’on adjoint la fonction partielle x→2xd´efinie sur Z`a hQ,2Z,+,
f,≤i, la structure devient ind´ecidable `acausedur´esultat de Penzin. De mˆeme si
l’on adjoint v2ou le logarithme de base 2 (d´efini sur 2Z), chacun permettant de
d´efinir Z.
D´emonstration. 1. D´ecidabilit´e de la structure la plus riche. Tout abord, grˆace `a
[DS] (o`u l’on travaille avec un langage `a deux sortes, mais il est ici indiff´erent
de consid´erer Pcomme ext´erieur `a Gou de l’identifier `a une orbite), on sait que
hQ,2Z,+,f,V
2,≤2
Ziest d´ecidable, sa th´eorie T0(de langage L0=L\ {≤} ∪ {≤
2Z,V
2}) exprimant: c’est un P-groupe valu´edansleZ-groupe P,detype(Z,V 2),
de groupe r´esiduel Z/2Zet P-divisible. Au-dessus d’un mod`ele, un ´el´ement ne peut
ˆetre que valuationnel ou imm´ediat. Le type d’un ´el´ement imm´ediat est d´etermin´e
par une suite de Cauchy maximale l’approchant. Le type d’un ´el´ement de Pest
d´etermin´e par son type au sens du groupe ordonn´e P.
On peut alors superposer la structure ordonn´ee et la structure valu´ee, comme
fait van den Dries dans sa th`ese ([vdD1]). C’est ici beaucoup plus facile, pour
les raisons suivantes: on consid`ere des structures divisibles, c’est-`a-dire closes dans
l’absolu et non pas relativement `a une valuation d’un type particulier, ou `aun
ordre: nous travaillons dans l’´equivalent des corps alg´ebriquement clos. Comme en
plus il n’y a pas de conjugaison (les mod`eles premiers sont d´efinissables point par
point), ¸ca devient trivial.
Soit T00 la th´eorie du langage
L00 := L∪{V
2
}=L∪L
0
obtenue en ajoutant `a Tles axiomes suivants
V2n’est pas d´efini en 0,
P(x)↔V2(x)=x,
V
2
(−x)=V
2
(x),
V2(x+y)≥min(V2(x),V
2(y)),
P(x)→V(x.y)=x.V2(y),
V2(x)=1→V
2
(x−1) >1.
(Alors T00 `T0.) La compl´etude de T00 se montre comme pr´ec´edemment par va-et-
vient entre deux mod`eles ω1-satur´es Met N, les isomorphismes partiels se faisant
entre sous-mod`eles d´enombrables M0et N0de T00 v´erifiant P(M0)≺P(M)et
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QMUNI DE L’ARITHM´ ETIQUE FAIBLE DE PENZIN EST D´ ECIDABLE 2715
P(N0)≺P(N). Les axiomes suppl´ementaires adjoints `a T´etant universels, il
suffit `a M0d’ˆetre mod`ele de Tpour ˆetre mod`ele de T00. Le va-et-vient s’amorce
avec hQ,2Z,+,f,V
2,≤i et, pour le prolongement, il suffit comme pr´ec´edemment de
consid´erer les deux cas suivants.
Premier cas:Pest inchang´e. Alors xne peut ˆetre que limite au sens de V2.Son
type au sens de Test d´etermin´e par sa coupure au sens de l’ordre, et son type au
sens de T0par une suite pseudo-convergente l’approchant au sens de V2. Les deux
sont r´ealisables simultan´ement grˆace au th´eor`eme de Stone de la section 4.
Deuxi`eme cas:x∈P. Alors le type au sens de Pde xd´etermine son type au
sens de Tet au sens de T0.
2. Aucune des deux structures interm´ediaires n’interpr`ete l’autre. Prenons une ex-
tension ´el´ementaire ω1-satur´ee Q∗de Qau sens de L00. D’apr`es le th´eor`eme de
Stone, pour qarbitraire dans Q2\Q(Q2est le corps des nombres 2-adiques), il existe
x∈Q∗r´ealisant sur Q`alafoisletypede√
2, par exemple, pour l’ordre et de qpour
V2. Autrement dit il y a dans Q∗beaucoup de L-automorphismes partiels qui ne
respectent pas V2.Lemˆeme argument montre que V2n’interpr`ete pas l’ordre. Par
voie de cons´equence, hQ,2Z,+,f,≤2
Z
i,r´eduite commune `a hQ,2Z,+,f,V
2,≤2
Z
i
et hQ,2Z,+,f,≤i en est une r´eduite propre.
3. La structure hQ,0,+,2Z,1,2,fiest axiomatis´ee par
t1. hG, +,0iest un groupe sans torsion divisible,
t2. P(1),P(2) et hP, f P2,1,2i≡hZ,+,0,1i,
t3. ce groupe Pagit par automorphismes sur Gpar f,f(2,x)=x+x=: 2xet
P(x)↔P(2x),
t4. pour tout entier net toute suite (ε1,...,ε
n)de−1oude1,
∀y
1
,...,y
n∈P
^^
1≤i<j≤n
yi6=yj
⇒[∀t∃!xXεif(yi,x)=t].
Unepreuvedirectedelacompl´etude est ais´ee (voir [S2]), la preuve d’origine consiste
`a remarquer que tout mod`ele d´enombrable hG, P ide t1+t2+t3+t4 peut s’enrichir
en un mod`ele de T0. Commen¸cons par ordonner Pde fa¸con `aceque
hP, f P2,1,2,<i≡hZ,+,0,1,<i
(ce qui est possible puisque Pest une extension de Zpar un groupe divisible), puis
consid´erons, plong´edansG,leP-groupe G1de type (Z,V
2)premiersurP(G 1
est isomomorphe `a k(P)). On voit que G, en tant que groupe sur lequel Pagit,
c’est-`a-dire en tant que k(P)-espaces vectoriel, est somme directe de au plus ℵ0
copies de G1.On´etend la valuation de G1`atoutGen plongeant chaque autre
copie de G1dans la clˆoture imm´ediate maximale de G1, en respectant bien sˆur la
structure de k(P)-espace vectoriel. La superstabilit´e vient alors de ce que, comme
pr´ec´edemment, on peut obtenir toute extension en ajoutant d’une part des ´el´ements
de P, dont le type est le type au sens de P, qui est superstable, et des ´el´ements
n’augmentant pas P, qui ont tous le mˆeme type (si non r´ealis´e).
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