PREUVES DES PROPRIÉTÉS DES LIMITES DE LA SECTION 1.2 Dans cette annexe, nous démontrons les théorèmes 1.2.1 et 1.2.4. THÉORÈME 1.2.1 Propriétés des limites Si L, M, c et k sont des nombres réels et si lim f(x) L et lim g(x) M, xlc xlc alors les propriétés suivantes sont vérifiées. lim [ f(x) g(x)] L M 1. Limite d’une somme xlc La limite de la somme de deux fonctions est égale à la somme des limites des fonctions. lim [ f(x) g(x)] L M 2. Limite d’une différence xlc La limite de la différence de deux fonctions est égale à la différence des limites des fonctions. lim [f(x) 䡠 g(x)] L 䡠 M 3. Limite d’un produit xlc La limite du produit de deux fonctions est égale au produit des limites des fonctions. Il est possible de généraliser ce résultat à des produits formés de plusieurs fonctions ; en particulier, s’il s’agit toujours de la même fonction, nous avons : Limite d’une puissance entière lim [f(x)]n Ln xlc positive 4. Limite d’un multiple de fonction lim [k 䡠 f(x)] k 䡠 L xlc La limite du produit d’une fonction par une constante est égale au produit de la constante par la limite de la fonction. f(x) L lim 5. Limite d’un quotient , M0 M xlc g(x) La limite du quotient de deux fonctions est égale au quotient des limites des fonctions à condition que la valeur de lim g(x) soit xlc différente de 0 en x 5 c. 6. Limite d’une puissance rationnelle s lim [f(x)]r / s lim (f(x)) r Lr / s xlc où xlc (r et s sont des entiers, s ⫽ 0) à condition que Lr/s soit un nombre réel. La limite d’une puissance rationnelle d’une fonction est égale à la puissance de la limite de la fonction à condition que celle-ci soit un nombre réel. Preuve de la propriété de la limite d’une somme Soit ⑀ ⬎ 0. Nous voulons trouver un nombre positif ␦ tel que, pour tout x 0 ⬍ x 2 c ⬍ ␦ ⇒ f (x) ⫹ g(x) ⫺ (L 1 M) ⬍ ⑀ . En regroupant, nous obtenons : f (x) ⫹ g(x) ⫺ (L 1 M) ⫽ ( f (x) ⫺ L) 1 (g(x) ⫺ M) ⭐ f (x) ⫺ L 1 g(x) ⫺ M) . Inégalité du triangle a ⫹ b ⭐ a ⫹ b Puisque lim f(x) ⫽ L, il existe un nombre ␦1 ⬎ 0 tel que pour tout x xlc 0 x c d1 ⇒ f(x) L e / 2. De même, puisque lim g(x) ⫽ M, il existe un nombre ␦2 ⬎ 0 tel que pour tout x xlc 0 x c d2 ⇒ g(x) M e / 2. Soit ␦ la plus petite valeur parmi ␦1 et ␦2. Si 0 ⬍ x 2 c ⬍ ␦, alors x 2 c ⬍ ␦1, donc f(x) ⫺ L ⬍ ⑀ /2 et x 2 c ⬍ ␦2 et donc g(x) ⫺ M ⬍ ⑀ /2. Par conséquent, f(x) g(x) (L M) e e e, 2 2 ce qui prouve que lim ( f(x) ⫹ g(x)) ⫽ L ⫹ M. xlc La propriété de la limite d’une différence se démontre en remplaçant g(x) par ⫺g(x) et M par ⫺M dans la preuve ci-dessus. La limite d’un multiple de fonction est un cas particulier (g(x) ⫽ k) de la limite d’un produit. La propriété de la limite d’une puissance rationnelle est démontrée dans des cours plus avancés. Nous démontrons ci-dessous les propriétés des limites d’un produit et d’un quotient. Preuve de la propriété de la limite d’un produit Nous allons démontrer que pour tout ⑀ ⬎ 0, il existe un ␦ ⬎ 0 tel que pour tout x appartenant à l’intersection D des domaines de f et g 0 x c d ⇒ f(x) g(x) LM e . Soit ⑀ un nombre positif. Exprimons f(x) et g(x) sous la forme f(x) ⫽ L ⫹ ( f(x) ⫺ L), g(x) ⫽ M ⫹ (g(x) ⫺ M). Multiplions ces deux équations membre à membre et soustrayons LM : f(x) 䡠 g(x) LM (L ( f(x) L))(M (g (x) M)) LM LM L(g(x) M) M( f(x) L) ( f(x) L)(g(x) M) LM L( g(x) M) M( f(x) L) ( f(x) L)(g(x) M) . (1) Puisque f et g ont pour limites L et M lorsque x l c, il existe des nombres positifs ␦1, ␦2, ␦3 et ␦4 tels que pour tout x de D : 0 x c d1 ⇒ f(x) L e / 3 0 x c d2 ⇒ g(x) M e / 3 0 x c d3 ⇒ f(x) L e / (3(1 M )) 0 x c d4 ⇒ g(x) M e / (3(1 L )) . (2) Si nous appelons ␦ la plus petite des valeurs parmi ␦1, ␦2, ␦3 et ␦4, les inégalités de droite de (2) seront vérifiées simultanément pour 0 ⬍ x 2 c ⬍ ␦. Dès lors, pour tout x de D, 0 ⬍ x 2 c ⬍ ␦ implique que f(x) 䡠 g(x) LM ⱕ L g(x) M M f(x) L f(x) L g(x) M Inégalité du triangle appliquée à (1) ⱕ (1 L ) g(x) M (1 M ) f(x) L f(x) L g(x) M ⱕ e e 3 3 3e 3e e . Valeurs obtenues de (2) Preuve de la propriété de la limite d’un quotient Nous allons démontrer que lim (1/g(x)) ⫽ 1/M. Nous pourrons alors déduire de la propriété de la limite xlc d’un produit lim xlc f(x) 1 lim f(x) 䡠 lim g(x) L 䡠 1 L . lim f(x) 䡠 M M xlc xlc g(x) g(x) xlc Soit ⑀ ⬎ 0. Pour prouver que lim (1/g(x)) ⫽ 1/M, nous devons montrer xlc qu’il existe un ␦ ⬎ 0 tel que pour tout x 0xcd ⇒ 1 1 e. g(x) M Puisque M ⬎ 0, il existe un nombre positif ␦1 tel que pour tout x 0 x c d1 ⇒ g(x) M M . 2 (3) On peut montrer que pour tout nombre A et B, A ⫺ B ⭐ A ⫺ B et B ⫺ A ⭐ A ⫺ B . Il s’ensuit que A ⫺ B ⭐ A ⫺ B . En posant A ⫽ g(x) et B ⫽ M, nous avons g(x) ⫺ M ⭐ g(x) ⫺ M . En remplaçant cette inégalité dans le membre de droite de l’inégalité (3), nous obtenons M g(x) M 2 M M g(x) M 2 2 3M M (4) g(x) 2 2 M 2 g(x) 3 M 1 g(x) Donc, 0 ⬍ x 2 c ⬍ ␦1 implique que 3 2 . M g(x) 1 1 M g(x) ⱕ 1 䡠 1 䡠 M g(x) M g(x) g(x) M Mg(x) 1 䡠 2 䡠 M g(x) . M M (5) Inéquation (4) Puisque (1/ 2) M 2 ⑀ ⬎ 0, il existe un nombre ␦2 ⬎ 0 tel que pour tout x e (6) 0 x c d2 ⇒ M g(x) M 2 . 2 En posant ␦ la plus petite valeur parmi ␦1 et ␦2, les conclusions de (5) et de (6) sont vérifiées pour tout x tel que 0 ⬍ x 2 c ⬍ ␦. En combinant ces conclusions, nous obtenons 0xcd ⇒ THÉORÈME 1.2.4 1 1 e. g(x) M Théorème du sandwich Soit g(x) ⱕ f(x) ⱕ h(x) pour tout x d’un intervalle ouvert contenant c, sauf peut-être en x ⫽ c. Soit lim g(x) lim h(x) L xlc xlc alors lim f(x) L . x씮c Preuve pour la limite à droite Soit lim g(x) ⫽ lim h(x) ⫽ L . Alors, pour xlc xlc tout ⑀ ⬎ 0, il existe un nombre ␦ ⬎ 0 tel que pour tout x, l’inéquation c ⬍ x ⬍ c ⫹ ␦ implique L ⫺ ⑀ ⬍ g(x) ⬍ L ⫹ ⑀ et L ⫺ ⑀ ⬍ h(x) ⬍ L ⫹ ⑀. En combinant ces inégalités avec g(x) ⱕ f(x) ⱕ h(x), nous obtenons L e g(x) ⱕ f(x) ⱕ h(x) L e, L e f(x) L e, e f(x) L e . Par conséquent, pour tout x, l’inégalité c ⬍ x ⬍ c ⫹ ␦ implique que f(x) 2 L ⬍ ⑀. Preuve pour la limite à gauche Soit lim g(x) ⫽ lim h(x) ⫽ L. Alors, pour xlc xlc tout ⑀ ⬎ 0, il existe un nombre ␦ ⬎ 0 tel que pour tout x, l’inéquation c ⫺ ␦ ⬍ x ⬍ c implique que L ⫺ ⑀ ⬍ g(x) ⬍ L ⫹ ⑀ et L ⫺ ⑀ ⬍ h(x) ⬍ L ⫹ ⑀. On conclut comme précédemment que pour tout x, c ⫺ ␦ ⬍ x ⬍ c implique que f(x) 2 L ⬍ ⑀. Preuve pour la limite Soit lim g(x) ⫽ lim h(x) ⫽ L, alors g(x) et h(x) xlc xlc tendent vers L lorsque x l c⫹ et x l c⫺ ; par conséquent, lim f (x) ⫽ L et xlc lim f(x) ⫽ L. Donc, lim f(x) existe et est égale à L. xlc xlc