Preuves des propriétés des limites de la section 1.2
Dans cette annexe, nous démontrons les théorèmes 1.2.1 et 1.2.4.
PREUVES DES PROPRIÉTÉS DES LIMITES
DE LA SECTION 1.2
THÉORÈME 1.2.1 Propriétés des limites
Si L, M, c et ksont des nombres réels et si
alors les propriétés suivantes sont vérifiées.
1. Limite d’une somme
La limite de la somme de deux fonctions est égale à la somme des
limites des fonctions.
2. Limite d’une différence
La limite de la différence de deux fonctions est égale à la différence
des limites des fonctions.
3. Limite d’un produit
La limite du produit de deux fonctions est égale au produit des limites
des fonctions.
Il est possible de généraliser ce résultat à des produits formés de
plusieurs fonctions ; en particulier, s’il s’agit toujours de la même
fonction, nous avons :
Limite d’une puissance entière
positive
4. Limite d’un multiple de fonction
La limite du produit d’une fonction par une constante est égale
au produit de la constante par la limite de la fonction.
5. Limite d’un quotient
La limite du quotient de deux fonctions est égale au quotient des
limites des fonctions à condition que la valeur de soit
différente de 0 en x5c.
6. Limite d’une puissance rationnelle
(ret ssont des entiers, s0)
à condition que Lr/s soit un nombre réel.
La limite d’une puissance rationnelle d’une fonction est égale à
la puissance de la limite de la fonction à condition que celle-ci soit
un nombre réel.
lim
xlc [f(x)]r
/
s Lr
/
s
lim
xlc (f(x)) r
s
g(x)lim
xlc
lim
xlc f(x)
g(x) L
M
, M 0
lim
xlc [k 䡠 f(x)] k 䡠
L
lim
xlc [f(x)]n Ln
lim
xlc [f(x) 䡠 g(x)] L 䡠
M
lim
xlc [ f(x) g(x)] L
M
lim
xlc [ f(x) g(x)] L
M
et ,lim
xlc g(x) Mlim
xlc f(x) L
où
Preuve de la propriété de la limite d’une somme Soit
0. Nous voulons
trouver un nombre positif
tel que, pour tout x
0
x2c
⇒
f(x) g(x) (L1M)
.
En regroupant, nous obtenons :
f(x) g(x) (L1M)
(f(x) L) 1(g(x) M)
f(x) L
1
g(x) M)
.
Puisque f(x) L, il existe un nombre
10 tel que pour tout x
De même, puisque g(x) M, il existe un nombre
20 tel que pour tout x
Soit
la plus petite valeur parmi
1et
2. Si 0
x2c
, alors
x2c
1,
donc
f(x) L
/2 et
x2c
2 et donc
g(x) M
/2. Par conséquent,
ce qui prouve que (f(x) g(x)) LM.
La propriété de la limite d’une différence se démontre en remplaçant g(x)
par g(x) et Mpar Mdans la preuve ci-dessus. La limite d’un multiple de
fonction est un cas particulier (g(x) k) de la limite d’un produit. La propriété
de la limite d’une puissance rationnelle est démontrée dans des cours plus
avancés. Nous démontrons ci-dessous les propriétés des limites d’un produit et
d’un quotient.
Preuve de la propriété de la limite d’un produit Nous allons démontrer
que pour tout
0, il existe un
0 tel que pour tout xappartenant à l’inter-
section Ddes domaines de fet g
Soit
un nombre positif. Exprimons f(x) et g(x) sous la forme
f(x) L(f(x) L), g(x) M(g(x) M).
Multiplions ces deux équations membre à membre et soustrayons LM :
(1)
Puisque fet gont pour limites Let Mlorsque xlc, il existe des nombres
positifs
1,
2,
3et
4tels que pour tout xde D:
(2)
0
x c
d4 ⇒
g(x) M
e
/
(3(1
L
))
.
0
x c
d3 ⇒
f(x) L
e
/
(3(1
M
))
0
x c
d2 ⇒
g(x) M
e
/
3
0
x c
d1 ⇒
f(x) L
e
/
3
f
(x) 䡠g(x) LM (L(f(x) L))(M(g(x) M)) L
M
L(
g
(x) M) M(
f
(x) L) (
f
(x) L)(
g
(x) M)
.
( f(x) L)(g(x) M) LM
LM L(g(x) M) M(f(x) L)
0
x c
d ⇒
f(x) g(x) LM
e
.
lim
xlc
f(x) g(x) (L M)
e
2 e
2 e
,
0
x c
d2 ⇒
g(x) M
e
/
2.
lim
xlc
0
x c
d1 ⇒
f(x) L
e
/
2.
lim
xlc
Inégalité du triangle
a b
a
b
Si nous appelons
la plus petite des valeurs parmi
1,
2,
3et
4, les inégalités
de droite de (2) seront vérifiées simultanément pour 0
x2c
. Dès lors,
pour tout xde D, 0
x2c
implique que
Inégalité du triangle
appliquée à (1)
Preuve de la propriété de la limite d’un quotient Nous allons démontrer que
(1/g(x)) 1/M. Nous pourrons alors déduire de la propriété de la limite
d’un produit
Soit
0. Pour prouver que (1/g(x)) 1/M, nous devons montrer
qu’il existe un
0 tel que pour tout x
Puisque
M
0, il existe un nombre positif
1tel que pour tout x
(3)
On peut montrer que pour tout nombre Aet B,
A
B
AB
et
B
A
AB
. Il s’ensuit que
A
B
AB
. En posant Ag(x)
et BM, nous avons
g(x)
M
g(x)M
.
En remplaçant cette inégalité dans le membre de droite de l’inégalité (3), nous
obtenons
(4)
Donc, 0
x2c
1implique que
(5)
Inéquation (4)
1
M
䡠 2
M
䡠
M g(x)
.
1
g(x) 1
M
M g(x)
Mg(x)
ⱕ 1
M
䡠 1
g(x)
䡠
M g(x)
1
g(x)
2
M
3
g(x)
.
M
2
g(x)
3
M
M
2
g(x)
3
M
2
M
2
g(x)
M
M
2
g(x)
M
M
2
0
x c
d1 ⇒
g(x) M
M
2
.
0
x c
d ⇒
1
g(x) 1
M
e
.
lim
xlc
.lim
xlc f(x)
g(x) lim
xlc
f(x) 䡠 1
g(x)
lim
xlc f(x) 䡠 lim
xlc g(x) L 䡠 1
M L
M
lim
xlc
ⱕ e
3 e
3
e
3
e
3 e
.
ⱕ (1
L
)
g(x) M
(1
M
)
f(x) L
f(x) L
g(x) M
ⱕ
L
g(x) M
M
f(x) L
f(x) L
g(x) M
f(x) 䡠 g(x) LM
Valeurs
obtenues de (2)
Puisque (1/ 2)
M
2
0, il existe un nombre
20 tel que pour tout x
(6)
En posant
la plus petite valeur parmi
1et
2, les conclusions de (5) et de (6)
sont vérifiées pour tout xtel que 0
x2c
. En combinant ces conclu-
sions, nous obtenons
Preuve pour la limite à droite Soit g(x) h(x) L. Alors, pour
tout
0, il existe un nombre
0 tel que pour tout x, l’inéquation
cxc
implique
L
g(x) L
et L
h(x) L
.
En combinant ces inégalités avec g(x) ⱕf(x) ⱕh(x), nous obtenons
Par conséquent, pour tout x, l’inégalité cxc
implique que
f(x) 2L
.
Preuve pour la limite à gauche Soit g(x) h(x) L. Alors, pour
tout
0, il existe un nombre
0 tel que pour tout x, l’inéquation
c
xcimplique que
L
g(x) L
et L
h(x) L
.
On conclut comme précédemment que pour tout x, c
xcimplique
que
f(x) 2L
.
Preuve pour la limite Soit g(x) h(x) L, alors g(x) et h(x)
tendent vers Llorsque xlcet xlc; par conséquent, f(x) Let
f(x) L. Donc, f(x) existe et est égale à L.
lim
xlc
lim
x
lc
lim
x
lc
lim
xlc
lim
xlc
lim
x
lc
lim
x
lc
e
f
(x) L e
.
L e f(x) L e,
L e g(x) ⱕ f(x) ⱕ h(x) L e,
lim
x
lc
lim
x
lc
0
x c
d ⇒
1
g(x) 1
M
e
.
0
x c
d2 ⇒
M g(x)
e
2
M
2
.
THÉORÈME 1.2.4 Théorème du sandwich
Soit g(x) ⱕf(x) ⱕh(x) pour tout xd’un intervalle ouvert contenant c, sauf
peut-être en xc.
Soit
alors
.
f(x)
L
lim
x씮c
lim
xlc g(x) lim
xlc h(x)
L
1
/
4
100%
