Variables continues usuelles

Variables continues usuelles
I)
Variables uniformes
1.1 Densités
Nous avons déjà rencontré ce type de variables.
Définition 1
On dit que la variable suit une loi uniforme continue sur 0,1 si sa fonction densité de
0 si
0
probabilité est donnée par : 1 si 0 1.
0 si
1
On écrit que ,
Définition 2
On dit que la variable suit une loi uniforme continue sur , si sa fonction densité de
0 si
probabilité est donnée par : si .
0
On écrit que ,
si
1.2) Fonctions de répartition
On a vu que
0
Si , , sa fonction de répartition est 1
si
0
si 0 1.
si
1
0 si
0
!
Si , , sa fonction de répartition est si 0 1.
1 si
1
Théorème
1.3) Espérances et variances
Soit ,
On a
On a
Donc
"
#
"
)
#
%
)
1 1 - ' - ) , , )
& #
& ( + ' 3 '
3
3
'
$%
%
1 )
1 ) ' ) , & #
& ( + ' 2 '
2
2
'
$%
)
, ) ) ' 2 , ) ' )
) , , )
'0
1 /
3
2
12
12
Si , , on fait 0 et 1 dans les formules ci-dessus.
On trouve :
1
"
2
1
/
12
II)
La loi exponentielle
2.1) Densité de probabilité
0
si 0
Soit λ un réel strictement positif. La fonction définie sur ℝ par 3 6!
45
si 0
est une densité de probabilité.
Si est une variable aléatoire dont est une densité, on dit que suit une loi exponentielle
de paramètre λ.
Théorème et définition
La fonction est bien évidemment positive, continue sauf en 0.
On a
On a également
On a donc
# & 0
7
# 45
6!
7
%
& 4 # 5
Donc
Et donc
6!
7
5 6!
1 5 67
& 4 ('
+ 48 '
9 1 ' 5 67
4 4
4
lim 1 ' 5 67 1
7<$%
#
$%
#
$%
%
& 1
& 1
La fonction est bien une densité de probabilité.
2 .2) Fonction de répartition
Soit une variable qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. On pourra écrire =4
Sa fonction de répartition est définie sur ℝ par :
!
Nous avons vu que
On a
> # ?
&?
%
# ?
&? 0
%
@ 0, 0
Si 0, on aura
!
!
# ?
&? # 45
%
On a donc
6A
!
&? 4 # 5
6A
0
3
1 ' 5 6!
!
5 6A
&? 4 ('
+ 1 ' 5 6!
4 si 0
si 0
2.3) Espérance et variance
On a sous réserve de convergence
Comme # & 0, on aura #
%
On a pour I
0
7
$%
%
"
#
$%
%
& #
&
$%
&
7
7
# & # 45 6! & 4 # 5 6! &
On procède par intégration par parties :
On a J de classe K , et J 5 6! est continue.
On pose :
L donc LO 1
1
P O 5 6! donc P ' 5 6!
4
On a donc
On a
Donc
7
7
1 7
4 # 5 6! & 4 8Q' 5 6! R , # 5 6! &9
4
4 7
I
4 S' 5 67 T , # 5 6! &
4
67
1
5
'I5 67 , '
4
4
1 5 67 1
lim 'I5 67 , '
par croissance comparée
7<$%
4
4
4
#
& Et donc
"
#
$%
%
Calculons " ) .
Sous réserve de convergence, on a :
On déterminer l’intégrale
$%
" ) #
7
# 45
)
& $%
%
1
4
) & #
6!
7
1
4
$%
) &
& 4 # ) 5 6! &
On procède encore à une intégration par parties.
La fonction J ) est de classe K sur ℝ et la fonction J 5 6! est continue sur ℝ.
On pose
L ) donc LO 2
1
P O 5 6! donc P ' 5 6!
4
On a donc
7
7
) 6!
2 7 6!
) 6!
# 5 & (' 5 + , # 5 &
4
4 Donc
I ) 67 2 7 6!
, # 5 &
' 5
4 4
7
7
4 # ) 5 6! & 'I5 67 , 2 # 5 6! &
On a par croissance comparée
On a donc
Donc
lim 'I5
7<$%
2
1 5 67
'I5 67 , 8'I5 67 , '
9
4
4
4
67
2
1 5 67
2
67
, 8'I5
, '
9 )
4
4
4
4
" ) 2
4)
/
" ) ' "
) 2
1
1
'
4) 4) 4)
Théorème
Soit une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. Alors admet une
espérance et une variance données par les formules :
1
1
"
/
)
4
4
2.4) Discrétisation d’une loi exponentielle
On considère une variable continue qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.
Soit X une variable à valeur dans YZ définie par
@[ \ YZ , X [
[ ' 1 [
Quelle est la loi de la variable X ?
On a puisque [ ' 1 0
>X [
>[ ' 1 [
[
' [ ' 1
^1 ' 5 6_ ` ' ^1 ' 5 6_
`
5 6_
' 5 6_
5 6_
^1 ' 5 6 `
Posons a 1 ' 5 6 . On a 4 0, donc 0 1 ' 5 6 1.
On a
5 6_
^5 6 `
_
1 ' a
_
>X [
1 ' a
_ a
La variable X suit donc une loi géométrique de paramètre 1 ' 5 6 .
On a donc
III)
La loi normale
3.1) Des fonctions de densité particulières
Considérons la fonction définie sur ℝ par
1
5
!d
)
√2c
Cette fonction est évidemment définie, continue et positive sur ℝ.
On démontre et nous admettrons qu’elle remplit également la propriété :
#
$%
%
Cette fonction est une densité de probabilité.
& 1
Soit e un nombre réel quelconque et σ un nombre réel strictement positif.
Soit f la fonction définie sur ℝ par
!h
d
1
f
5 )id
g√2c
Cette fonction est évidemment définie, continue et positive sur ℝ.
L'intégrale généralisée #
$%
%
f
& est convergente.
En effet par croissance comparée, on a facilement
lim 5
)
? , 5
!<$%
Ce qui implique qu’il existe ? 0, tel que
Ce qui permet de conclure en +∞.
De même, on a
@
lim 5
!<%
)
!h
d
)id
!h
d
)id
!h
d
)id
0
1
)
0
On aura donc les mêmes conclusions en considérant la fonction de Riemann sur un intervalle
' ∞, ? où ? 0.
Posons
'e
?
g
$%
!h
d
1
Procédons au changement de variable en ? dans l'intégrale #
5 )id &
% g√2c
Quand < '∞, on a aussi ? < '∞. Quand < ,∞, on a également ? < ,∞.
On a
1
&? &
g
On peut donc écrire :
#
$%
1
!h
d
)id &
$%
1
5
#
5
g√2c
% g√2c
La fonction f est donc une densité de probabilité.
%
Ad
) g&?
#
$%
%
1
√2c
5
Ad
) &?
#
$%
%
?
&? 1
Théorème
Soit e un réel quelconque et σ un nombre réel quelconque strictement positif. Alors la
fonction f définie sur ℝ par :
!h
d
1
5 )id
f
g√2c
est une densité de probabilité.
Dans le cas particulier où e 0 et g 1, on trouve la fonction définie sur ℝ par :
1 !d
5 )
√2c
Cette fonction est aussi une densité de probabilité.
3.2) Etude et représentation des fonctions s et t
a) Etude et représentation de la fonction On a vu que
De plus
@ \ ℝ, '
1
uv ℝ
√2c
5
!
d
)
1
√2c
5
!d
)
La fonction est paire.
On peut donc limiter son étude à ℝ$ et compléter les résultats trouvés par symétrie.
La fonction est continue et dérivable.
On a
!d
O 5 )
'
√2c
Cette quantité est du signe de – . Sur ℝ$ , elle est décroissante.
Cette dérivée s’annule pour 0. Donc au point d’abscisse 0, la courbe xv représentative de la
fonction admet une tangente horizontale.
On a
lim 0
!<$%
La droite I 0
est donc asymptote horizontale en ,∞ (et par raison de symétrie, également en
'∞
.
On a également
OO ) ' 1
√2c
5
!d
)
' 1
, 1
√2c
5
!d
)
Sur ℝ$ , cette dérivée seconde s’annule en 1 en changeant de signe : la courbe xv admet un point
d’inflexion au point d’abscisse 1 (et donc par raison de symétrie également au point d’abscisse '1 ).
On peut maintenant dresser le tableau de variations sur ℝ de la fonction .
O '∞
,
0
'
0
√)€
,∞
0
0
Donnons l’allure de la courbe xv .
1
Cette courbe est appelée courbe en cloche ou courbe de Gauss.
b) Etude et représentation de la fonction f
On a :
f
1
5
!h
d
)id
g√2c
Montrons que la droite e
est un axe de symétrie pour la courbe représentative de la fonction f,
courbe que l’on nommera xy .
Pour cela prenons deux nombres réels symétriques par rapport à e, c’est-à-dire de la forme e ' z et
e , z, où z est un nombre réel positif.
On a
h${h
d
{d
1
1
)id
fe , z
5
5 )id
g√2c
g√2c
h{h
d
{d
1
1
d
d
)i
)i
fe ' z
5
5
g√2c
g√2c
On a donc pour tout réel z positif,
fe ' z
fe , z
Si | est le point de la courbe d’abscisse } e , z et d’ordonnée I} f} et si |~ est le point de
la courbe d’abscisse } e ' z et d’ordonnée I} f} , alors
I} I}
Graphiquement cela correspond à la situation suivante :
I
|~
ƒ
|
e
e'z
e
e,z
La mise en évidence d’un axe de symétrie permet de déduire l’ensemble d’étude à e, ,∞
On a alors des résultats de même nature que ceux rencontrés pour la fonction.
On a
lim f
0
!<$%
On a
!h
d
'e
5 )id
O f
'
g)
g√2c
On en déduit que la fonction est décroissante sur e, ,∞.
On a enfin
d
1 ) ' 2e , e) ' g ) !h
)id
5
fOO g
g√2c
!h
d
1
)
)
' e
' g 5 )id
g ‚ √2c
!h
d
1
' e ' g
' e , g
5 )id
‚
g √2c
Cette dérivée seconde s’annule en changeant de signe en e , g et en e ' g.
Il s’agit des deux points d’inflexion de la courbe.
1
Le tableau de variation est la suivant :
O '∞
,
0
L’allure de la courbe représentative sera donc :
e
0
i√)€
'
,∞
0
e
e'g
e,g
On retrouve une courbe en cloche.
3.3) Espérance mathématique et variance
Considérons une variable dont la fonction densité de probabilité est la fonction f.
!h
d
1
f
5 )id
g√2c
Sous réserve de convergence, on a
$%
!h
d
1
"
# 5 )id &
g√2c
%
Il est facile de voir que les intégrales
$%
!h
d
!h
d
1
1
d
)i
# 5
& et # 5 )id &
g√2c
% g√2c
puisque on a
!h
d
!h
d
1
1
)
d
lim 5 )i lim 5 )id ) 0
!<$% g√2c
!<% g√2c
(par croissance comparée).
Donc "
existe.
On peut écrire
$%
!h
d
1
"
# 5 )id &
g√2c %
$%
!h
d
1
# ' e , e
5 )id &
g√2c %
Or pour les mêmes raisons que précédemment, les deux intégrales suivantes convergent :
#
On peut donc écrire
"
$%
%
1
' e
5
g√2c
1
g√2c
1
g√2c
#
!h
d
)id
$%
' e
5
%
$%
#
' e
5
%
$%
#
%
' e
5
Il reste à calculer la première intégrale.
On a
& et #
!h
d
)id
!h
d
)id
$%
%
& ,
e5
e
g√2c
& , e #
!h
d
)id &
!h
d
)id
,e
#
$%
%
$%
%
&
5
f
&
!h
d
)id
&
#
$%
%
' e
5
!h
d
)id &
Nous avons vu précédemment que
Donc
On en déduit que
h
# ' e
5
%
!h
d O
85 )id 9
#'e
5
h
# ' e
5
%
!h
d
)id &
'e
5
'
g)
!h
d
)id
!h
d
)id &
h
7<% 7
$%
h
On en déduit que
#
'g
$%
%
Et donc que
7<%
)
' e
5
' e
5
!h
d
)id &
!h
d
)id &
!h
d
)id &
!h
d h
) )id
('g 5
+
lim ' g ) „
#
!h
d
)id
lim # ' e
5
lim
' e
5
h
!h
d
)id
& 'g ) 5
7<%
On démontre exactement de la même façon que
,#
$%
!h
d
)id &
7
7h
d
g ) 5 )id
g)
0
"
e
Déterminons " ' e
) .
D’après le théorème du transfert, sous réserve de convergence, on a :
$%
!h
d
1
" ' e
) # ' e
)
5 )id &
g√2c
%
Cette intégrale est convergente car par croissance comparée :
!h
d
!h
d
1
1
)
)
)
d
)i
lim ' e
5
lim ' e
5 )id ) 0
!<%
!<$%
g√2c
g√2c
On écrit alors :
h
$%
!h
d
!h
d
1
1
5 )id & , # ' e
)
5 )id &
" ' e
) # ' e
)
g√2c
g√2c
%
h
On a vu que
85
On en déduit que
Donc
!h
d OO
)id
9 …'
) 8'σ
'e
5
'e
5
g)
!h
d
)id
!h
d O
)id 9
O
!h
d
1
)
) 5 )id
† 
' e
' g
g
' e
) ' g ) 5
!h
d
)id
7
Donc
!h
d
) 5 )id
g
# ' e
'
h
Ce qui donne
)
7
# '
h
7
!h
d
) )id
e
5
# '
h
& ('g
& ' g # 5
Car
De même, on montre que :
7
& g # 5
$%
' e
) 5
h
!h
d
)id
!h
d
)id
7<$%
# '
!h
d
) )id
e
5
!h
d 7
)id +
h
& 'g
!h
d
)id
& ' g
& g ) #
lim I'e
5
h
%
h
)
Ou encore par croissance comparée
h
'e
5
7
)
!h
d
) )id
e
5
#
) 7h
d
)id
5
h
0
& g #
)
$%
$h
%
5
'g
Et donc que
1
g√2c
Donc
#
#
%
$%
%
'
!h
d
) )id
e
5
' e
) 5
!h
d
)id
& g #
& g )
)
1
$%
'e
5
) I
'e
5
!h
d
)id
!h
d
)id
%
g√2c
" ' e
) g )
5
#
!h
d
)id
$%
%
'e
5
) I
On en déduit an ajoutant membre à membre les égalités trouvées que
$%
) I
5
7h
d
)id
7h
d
)id
7h
d
)id
&
&
&
!h
d
)id
& g )
" ) ' 2e , e) g )
Donc
" ) ' 2e"
, e) g )
Donc
" ) ' 2e) , e) g )
Donc
" ) ' e) g )
Donc
Donc
Et donc enfin
" ) ' "
) g )
/
g )
Dans le cas particulier où e 0 et g 1 qui correspond à la fonction densité , on a :
"
0 et /
1
3.4) Distribution normale ou gaussienne
Définition
Soit e un nombre réel quelconque et g un nombre réel strictement positif.
Soit f la fonction définie sur ℝ par :
f
1
!h
d
)id
5
g√2c
La fonction f est une densité de probabilité.
Soit une variable aléatoire dont f est la densité de probabilité.
Alors "
et /
existent. On a
"
e et /
g )
On dit que suit la loi normale (ou loi de Laplace-Gauss) de paramètres e et g.
On écrit
ˆe, g
Les paramètres traditionnels d’une loi normale sont donc l’espérance mathématique (que l’on appelle
souvent « moyenne » par abus de langage) et l’écart-type car g ‰/
g
Actuellement, il y a une « évolution » de ces paramètres. On donne toujours e, mais / qui est la
variance au lieu de σ.
On a alors
/
/
La formule donnant la densité s’écrit alors :
!h
d
!h
d
1
1
5 )Š 5 )Š
f
√2c/
√/ √2c
3.5) Fonction de répartition
Soit une variable à densité qui suit une loi normale de moyenne e et de variance /.
Sa densité est donc la fonction f donnée par :
!h
d
1
)Š
f
5
√2c/
La fonction de répartition est donnée par la formule
!
@ \ ℝ, > # f?
&?
%
Mais nous ne pouvons pas aller plus loin car la primitive de la fonction J 5 par des fonctions usuelles.
3.6) La loi normale centrée réduite
‹Œ
d
dŽ
ne s’exprime pas
On considère une variable aléatoire qui suit une loi normale de moyenne e et de variance / g )
avec g 0.
On peut associer à la variable centrée réduite Z définie par :
'e
Z g
Z
Déterminons la fonction de répartition de On a
i!$h
'e
> Z > 0
1 > g , e
#
f?
&?
g
%
On a donc
i!$h
Ah
d
1
Z
5 )id &?
> #
g√2c
%
?'e
g
Quand ? tend vers '∞, L tend vers '∞.
g , e ' e
Quand ? g , e, L g
On a :
Posons L &L Donc
On en déduit que
> Z #
!
1
1
&?
g
&? g&L
% g√2c
5
d
) g&L
#
!
1
5
‘d
) &L
% √2c
Nous reconnaissons la fonction de répartition associée à la fonction densité de probabilité que nous
avons appelée .
Nous avons bien " Z 0, / Z 1, résultats que nous attendions pour une variable centrée
réduite.
Mais nous avons ici un renseignement supplémentaire : Z suit une loi normale de moyenne 0 et de
variance 1.
On a donc le théorème suivant :
Théorème et définition
On dit qu’une variable aléatoire ’ suit une loi normale centrée réduite (ou réduite centrée) si
sa fonction de densité est la fonction définie sur ℝ par :
1 !d
5 )
√2c
On a alors "’
0 et /’
1.
Si suit une loi normale de moyenne e et d’écart type σ, la variable Z définie par :
'e
Z g
suit une loi normale centrée réduite.
On écrit que
Z ˆ0,1
3.7) Importance de la loi normale centrée réduite
Le théorème précédent permet de passer de n’importe quelle loi normale à une loi normale
particulière : la loi normale centrée réduite.
L’idée est alors d’élaborer une table de probabilité pour cette loi.
En voici un petit extrait :
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,00
0,50000
0,53983
0,57926
0,61791
0,65542
0,69146
0,01
0,50399
0,54380
0,58317
0,62172
0,65910
0,69497
0,02
0,50798
0,54776
0,58706
0,62552
0,66276
0,69847
0,03
0,51197
0,55172
0,59095
0,62930
0,66640
0,70194
0,04
0,51595
0,55567
0,59483
0,63307
0,67003
0,70540
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
0,72575
0,75804
0,78814
0,81594
0,84134
0,86433
0,88493
0,90320
0,91924
0,72907
0,76115
0,79103
0,81859
0,84375
0,86650
0,88686
0,90490
0,92073
0,73237
0,76424
0,79389
0,82121
0,84614
0,86864
0,88877
0,90658
0,92220
0,73565
0,76730
0,79673
0,82381
0,84849
0,87076
0,89065
0,90824
0,92364
0,73891
0,77035
0,79955
0,82639
0,85083
0,87286
0,89251
0,90988
0,92507
Comment se lit cette table ?
Après la transformation de en Z , on sait que Z ˆ0,1
.
Si nous cherchons par exemple la probabilité de l’évènement Z 1,23, on écrit
1,23 1,2 , 0,03
On lit alors cette probabilité à l’intersection de la ligne 1,2 et de la ligne 0,03.
1,2
0,00
0,88493
0,01
0,88686
0,02
0,88877
0,03
0,89065
0,04
0,89251
La probabilité recherchée est
> Z 1,23
0,89065
La table de la loi normale centrée réduite donne la fonction de répartition de cette loi, c’est-àdire > Z pour variant de 0 à 4 environ (suivant les tables) de 0,01 en 0,01.
Considérons une variable aléatoire donc on sait qu’elle suit une loi normale de moyenne 1500 et de
variance 10000.
On veut déterminer la probabilité de l’évènement 1623.
On a donc comme écart type
Soit définie par
Z
On sait que
On a
g
g √10000 100
Z ' 1500
100
Z ˆ0,1
' 1500 1623 ' 1500
> 1623
> 0
1
100
100
> 1623
> Z 1,23
0,89065
En général on ne conserve que deux ou trois chiffres après la virgule.
On écrira
> 1623
0,89
Ce qui donne
IV)
La loi normale centrée réduite
4.1) Utilisation directe de la table
Nous avons vu comment on lisait la probabilité d’une valeur comprise entre 0 et 4 (au mieux).
Mais la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite que l’on note souvent — est définie
sur ℝ.
Si ’ ˆ0,1
, on a
!
1 Ad
5 ) &?
—
>’ #
√2c
%
Quand nous lisons sur la table que
>’ 1,23
0,89065
nous avons graphiquement :
Cette aire vaut
O,89065
1,23
Comment procède-t-on dans le cas d’une valeur négative ?
Considérons un nombre α positif et cherchons à évaluer >’ '˜
.
On a
™
1 !d
>’ '˜
#
5 ) &
% √2c
Posons L '
Quand < '∞, on a L < ,∞.
Quand '˜, on a L ˜.
On a également
&L '& donc & '&L
On a donc
™
™
$%
1 ‘d
1 ‘d
1 ‘d
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>’ '˜
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√2c
√2c
√2c
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Or
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1 ‘d
1 ‘d
1 ‘d
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5 ) &L #
5 ) &L 1
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% √2c
% √2c
Donc
$%
™
1 ‘d
1 ‘d
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#
5
&L 1 ' #
5 ) &L 1 ' >’ ˜
1 ' —˜
√2c
√2c
™
%
On a donc
Par exemple
>’ '˜
1 ' >’ ˜
>’ '1,31
1 ' >’ 1,31
1 ' 0,90490 0,09510
On retrouve graphiquement cette propriété :
>’ '˜
>’
'˜
˜
˜
Examinons maintenant le cas d’un encadrement.
Soit à calculer > ’ .
Nous savons que
> ’ >’ ' >’ —
' —
On a par exemple
>0,12 ’ 1,22
—1,22
' —0,12
0,88877 ' 0,54776 0,34101
On a également
>'0,44 ’ 1,01
—1,01
' —'0,44
—1,01
' ^1 ' —0,44
`
—1,01
, —0,44
' 1
0,84375 , 0,67003 ' 1
0,51378
On a enfin
>'1,34 ’ '0,5
—'0,5
' —'1,34
^1 ' —0,5
` ' ^1 ' —1,34
`
—1,34
' —0,5
0,90988 ' 0,69146
0,21842
4.2) Lecture inverse
Nous savons que la fonction φ est ici de classe K sur ℝ puisque la fonction densité :
1 ! d
5 )
√2c
est continue.
Nous savons également qu’elle est croissante. Elle est même dans ce cas strictement croissante
puisque
— O 0
Elle réalise donc une bijection de ℝ sur ]0,1[.
Donc
@I \0,1, il existe unique dans ℝ tel que —
I
La recherche de connaissant I est un problème fréquent.
Par exemple si ’ ˆ0,1
, on veut trouver tel que >’ 0,9
On cherche donc tel que —
0,9
Cherchons 0,9 dans la table.
On trouve
1,2
0,08
0,89973
0,09
0,90147
—1,28
0,89973
—1,29
0,90147
On a
La fonction φ étant croissante, on a
—1,28
0,9 —1,29
ž 1,28 1,29
Approximativement 0,9 est à peu près « au milieu » de l’intervalle [0,89973; 0,90147
On prendra donc
1,285
En fait il est un peu plus près de 0,89973 que de 0,90147. On serait donc tenté de prendre plutôt
1,284.
En pratique cela n’a pas beaucoup d’importance parce que la loi normale est un « modèle
approximatif » du réel et le résultat que l’on trouve est certainement déjà une valeur approchée quelle
que soit la précision que l’on prend.
En fait
1,282
Examinons maintenant le cas d’un intervalle :
Il n’est pas possible de trouver et tel que par exemple
> ’ 0,5
Non pas parce qu’il n’existe pas de tel couple, au contraire : il existe une infinité de couple possible.
Examinons la situation sur un tableur en fixant la valeur de pour trouver celle de ¡
-2
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
— 0,02275013
0,03593032
0,05479929
0,08075666
0,11506967
0,15865525
0,2118554
0,27425312
0,34457826
0,42074029
—
, 0,5
0,52275013
0,53593032
0,55479929
0,58075666
0,61506967
0,65865525
0,7118554
0,77425312
0,84457826
0,92074029
0,05705707
0,09018606
0,13779629
0,20382957
0,29255716
0,40879584
0,55881321
0,75292703
1,01345374
1,41006863
En fait la présence de deux inconnues et ne permet pas une résolution de l’équation.
La situation est différente si l’on a un encadrement avec une seule inconnue.
Le plus classique est celui-ci : on cherche tel que >' ’ 0,5
En effet, on peut écrire
>' ’ —
' —'
—
' ^1 ' —
`
2—
' 1
Ce résultat est général
>' ’ 2—
' 1
>' ’ 0,5 ¢ 2—
' 1 0,5 ¢ —
0,75
On trouve dans la table
0,675
Application
On a pu estimer que le poids des rations de viande à la cantine suit une loi normale de moyenne 140 et
d’écart type 10.
On nommera cette variable aléatoire.
Déterminer dans quel intervalle centré en 140, on trouvera 95% des rations de viande.
On cherche donc un nombre α tel que
>140 ' ˜ 140 , ˜
0,95
On a
140 ' ˜ ' 140 ' 140 140 , ˜ ' 140
>140 ' ˜ 140 , ˜
> 0
1
10
10
10
˜
˜
> S'
Z T
10
10
On sait que
Z ˆ0,1
On a
˜
˜
˜
> S'
Z T 2— S T ' 1
10
10
10
On est donc ramené à résoudre l’équation
˜
2— S T ' 1 0,95
10
Soit
˜
— S T 0,975
10
On en tire dans la table
˜
1,96
10
Donc
˜ 19,6
On en tire
>140 ' 19,6 140 , 19,6
0,95
95% des rations de viande ont un poids compris entre 120,4 et 159,6.
On aura ici
4.3) Quelques intégrales intéressantes
Nous savons que
On en tire que
Et donc que
On a
#
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%
1
√2c
#
1
√2c
#
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5
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On démontre cette égalité par le changement de variable L ' dans la première intégrale.
Or
Et
Donc
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#
5
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5
%
Et donc
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On sait que si ’ ˆ0,1
, on a
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Ce qui ici n’apporte rien puisque l’on retrouve alors
Or
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On peut par contre déterminer #
En effet, on a
On en déduit que
Or
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Toujours par le changement de variable L ', on montre que
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Comme évidemment (par le même changement de variable L '
, on montre que
On en tire que
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