Éléments de probabilités

Chapitre 1
Éléments de probabilités
1.1 Notion d’expérience aléatoire
Définition 1 Une expérience, dont on connait les issues possibles, est appelé expérience aléatoire s’il est impossible de savoir à
l’avance quelle en sera l’issue.
Exemple 1
– jeux de hasard (pile ou face, dé, loto, roulette, etc)
– sexe d’un enfant à naitre
– point d’impact d’un projectile
– temps d’attente d’un client au guichet d’une banque
– courbe des puissances appelées sur le réseau EDF pendant une période donnée
– durée de vie d’un atome radioactif
– ...
Définition 2 L’ensemble de toutes les issues possibles est appelé l’univers des possibles (ou simplement univers) associé à cette expé-
rience. Il est généralement noté Ωet ses éléments ω.
Exemple 2
– Pour un tirage à pile ou face on a Ω={P,F}.
– Pour un lancer de dé on a Ω={1,2,3,4,5,6}.
– Pour un problème de temps d’attente on peut prendre Ω=R+(= [0,+∞[) (même si de façon plus réaliste on peut majorer le
temps d’attente à 8 heures par exemple et plutot prendre Ω= [0,8]). On peut aussi prendre Ω=R+pour la durée de vie d’un
atome radioactif.
Intuitivement un évènement est l’occurence d’un résultat ou d’un ensemble de résultats parmi les résultas possibles. Ainsi on pose
Définition 3 On appelle évènement un sous-ensemble de Ω.
Chaque sous ensemble de Ωcontenant un seul élément, c’est à dire une seule issue possible est appelé événement élémentaire.
Exemple 3
– Ainsi, si on note ω1,...,ωnchaque issue possible, l’univers est alors Ω={ω1,...,ωn}et chaque {ωi}est alors un événement
élémentaire. Par exemple si on lance un dé, l’univers est Ω={1,2,3,4,5,6}et l’évènement {6}est l’évènement élémentaire
“obtenir un 6".
– Toujours pour un lancer de dé, l’évènement A={2,4,6}est l’évènement “obtenir un nombre pair".
– Dans le problème de temps d’attente (Ω=R+) l’ensemble A=]3,+∞[est l’évènement “attendre plus de 3 heures".
– Dans l’expérience aléatoire “tirer au hasard vers la Terre avec le super canon laser nouvellement installé sur la lune", on peut
prendre Ω=“la sur f ace de la Terre” et le sous-ensemble Aconstitué de l’aire située à 5 km à la ronde du point de latitude
49.08N et de longitude 06.10E est l’évènement “tirer sur la ville de Metz".
– ...
ATTENTION :
Parfois un évènement élémentaire peut ne jamais arriver dans la réalité. Il peut n’être en sorte que “virtuel", mais nécessaire pour
obtenir une description simple et pratique de l’expérience.
On pourra donc considérer que l’ensemble de tous les évènements est l’ensemble P(Ω)constitué de tous les sous-ensembles de Ω.
On dit l’ensemble de toutes les parties de Ω.
ATTENTION :
Quand Ωest fini on peut toujours considérer P(Ω)comme l’ensemble de tous les évènements. Mais c’est souvent FAUX
QUAND ΩEST INFINI. L’ensemble de tous les évènements est alors un ensemble Ainclu dans P(Ω)mais parfois strictement
plus petit. Un tel ensemble Adoit vérifier certaines bonnes propriétés concernant l’intersection, la réunion et le passage au
complémentaire, si tel est le cas on appelle ça une tribu, ou encore une σ-algèbre.
On dit alors que (Ω,A)est un espace probabilisable.
Exemple 4 (Ω,P(Ω)) est un espace probabilisable.
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1.2 Vocabulaire des événements
Soit E une expérience aléatoire et Ωl’univers des possibles associé à cette expérience. Soit (Ω,A)un espace probabilisable associée
à cette expérience (on pensera toujours à (Ω,P(Ω)) même si, en toute rigueur, ça peut être différent).
on a, pour A,Bdes sous-ensemble de Ω(c-àd des évènements), A,B∈A,
Définition 4 –Ωest l’évènement certain.
–/0 (l’ensemble vide) est l’évènement impossible.
– A ∪B est l’évènement “A est réalisé ou B est réalisé" (“ou" inclusif comme veut l’usage en français).
– A ∩B est l’évènement “A est réalisé et B est réalisé".
– Le complémentaire de A, ¯ A=Ω\A, est appelé l’évènement complémentaire de A. C’est l’évènement qui n’est réalisé que si A
ne l’est pas.
– On dit que deux évènement sont incompatibles si, par définition, A∩B=/0 (c-à-d A disjoint de B c-à-d A ⊂¯ B c-à-d B ⊂¯ A).
1.3 Notion de probabilité
Soit E une expérience aléatoire et Ωl’univers des possibles associé à cette expérience. Soit (Ω,A)un espace probabilisable associée
à cette expérience (on pensera toujours à (Ω,P(Ω)) même si, en toute rigueur, ça peut être différent).
Définition 5 On dit que P est une probabilité sur l’espace probabilisable (Ω,A)si P est une application de Adans [0,1]vérifiant
1. P(Ω) = 1
2. Si (Ai)i∈Nest une suite d’évènements deux à deux incompatibles (c-à-d (Ai)i∈Nest une suite d’éléments de Adeux à deux
disjoints) on a P([
i
Ai) = ∑
i
P(Ai)
On dit alors que (Ω,A,P)est un espace de probabilité.
Dans le cas où Ωest fini on peut simplifier la définition. On a
Définition 6 (CAS ΩFINI)
Si Ωest une ensemble fini on dit que P est une probabilité sur l’espace probabilisable (Ω,P(Ω)) si P est une application de P(Ω)
dans [0,1]vérifiant
1. P(Ω) = 1
2. Si A et B sont des évènement incompatibles on a P(A∪B) = P(A) + P(B).
Exemple 5
– Pour un univers fini Ω={ω1,ω2,...,ωn}, on définit la probabilité "équiprobable" en donnant à chaque évènement élémentaire
une probabilité égale c-à-d, pour tout ivariant de 1 à n,P({ωi}=1
n,nétant le cardinal de Ω.
On a donc, pour tout évènement A,P(A) = nombre d’éléments dans A
nombre d’éléments dans Ω
C’est la probabilité qui régit le lancer de pièce de monnaie ou le lancer de dé, si la pièce ou le dé ne sont pas truqués.
– Si on dispose d’une pièce truquée qui tombe deux fois plus sur “face" que sur “pile" on a Ω={f,p}avec P({f}) = 2
3et
P({p}) = 1
3.
C’est également la probabilité décrivant, par exemple, le tirage d’une boule dans une urne contenant 20 boules blanches et 10
boules noires.
On déduit aisément de la définition les propriétés suivantes
Proposition 1
1. Pour tout évènement A, 06P(A)61.
2. P(/0) = 0.
3. Si A ⊂B alors P(A)6P(B).
4. P(¯ A) = 1−P(A).
5. Pour tout évènement A et B on a P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B).
Démonstration. Le faire en exercice.
Remarque 1 (CAS ΩFINI)Pour un univers fini Ω={ω1,ω2,...,ωn}le fait de connaitre tous les P({ωi})pour i variant de 1à n
détermine entièrement P. En effet si A est un évènement il peut s’écrire A ={ωj1,ωj2,...,ωjp}avec p 6n et on a
P(A) = P({ωj1}) + P({ωj2}) + ... +P({ωjp}),puisque les {ωi}sont des évènements deux à deux indépendants.
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1.4 Probabilités conditionnelles
1.4.1 Définitions
Définition 7 Soit (Ω,A,P)un espace de probabilité. Soit A un évènement de probabilité non nulle.
On définit l’application P
Ade Adans R+par, pour tout B ∈A,P A(B) = P(A∩B)
P(A)
On dit que P
A(B)est la probabilité que l’événement B soit réalisé sachant que A l’est déjà.
On note souvent P
A(B)par P(B|A)et on dit “probabilité de B sachant A".
On l’appelle probabilité conditionnelle (relative à A).
Proposition 2 P
Aest une probabilité sur l’espace probabilisable (Ω,A).
Démonstration. Le faire en exercice.
Remarque 2 Soit AAl’ensemble constitué de tous les sous-ensembles de Ωs’écrivant X ∩A avec X ∈A. On a alors : P
Aest une
probabilté sur l’espace probabilisable (A,AA). Dans le cas où Ωest fini, on a AA=P(A).
Proposition 3 Soient A et B deus évènements de probabilité non nulle. On a
P(A∩B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)
Démonstration. Le faire en exercice.
Exemple 6
Deux machines M1 et M2 fabriquent des tiges. Elles produisent respectivement 1/3 et 2/3 de la production. La machine M1 sort 5%
de tiges défectueuses et M2 en sort 6%. Soit les événements A : « la tige est fabriquée par M1 », B : « la tige est fabriquée par M2 » et
D : « la tige est défectueuse ».
1. Quelle est la probabilité que la tige soit fabriquée par M1 ?
2. On tire une tige de la production de M1. Quelles est la probabilité qu’elle soit défectueuse ?
3. On tire une tige de la production. Quelle est la probabilité pour qu’elle provienne de M1 et qu’elle soit défectueuse ?
4. On tire une tige de la production. Quelle est la probabilité pour qu’elle soit défectueuse ?
5. Quelle est la probabilité qu’une pièce défectueuse ait été fabriquée par M1 ?
6. Trouver les probabilités de tous les évènements élémentaires.
Solutions :
1. C’est P(A) = 1/3.
2. C’est p(D|A) = 5/100.
3. C’est P(A∩D) = p(D|A)P(A) = 1/60.
4. C’est P(D) = P((A∩D)∪(B∩D)) = P(A∩D) + P(B∩D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) = 17/300 .
5. C’est P(A|D) = P(A∩D)
P(D)=1 60 .300 17 =5 17 .
1.4.2 Évènements indépendants
Définition 8 Soit (Ω,A,P)un espace de probabilité. Deux évènements A et B sont dits indépendants si, par définition,
P(A∩B) = P(A)P(B).
Par la formule des probabilités conditionnelles on obtient
Proposition 4 Soient A et B deux évènements de probabilité non nulles.
A et B sont indépendants SI et SEULEMENT SI
1. P(A∩B) = P(A)P(B)
2. P(B|A) = P(B)
3. P(A|B) = P(A)
Donc deux évènements sont indépendants si et seulement si la réalisation de l’un n’influe en rien sur la réalisation de l’autre.
ATTENTION :
L’indépendance et l’incompatibilité sont deux notions totalement différentes !
La proposition suivante en apporte une preuve.
Proposition 5 Si A et B sont des évènements incompatibles, chacun de probabilité non nulle alors ils ne sont pas indépendants.
Démonstration.Aet Bsont incompatibles c-à-d A∩B=/0 et donc P(A∩B) = 0. Or Aet Bsont de probabilité non nulle donc
P(A)P(B)6=0 et donc P(A)P(B)6=P(A∩B)c-à-d Aet Bne sont pas indépendants (ou encore Aet Bsont dépendants).
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1.5 Variables aléatoires
1.5.1 Définition
Définition 9 Soit (Ω,A,P)un espace de probabilité. Une variable aléatoire X est une fonction de Ωdans R
telle que, pour a,b∈Ret a 6b,on a X−1([a,b]) = {ω∈Ωtels que X (ω)∈[a,b]}est un élément de A.
Dans notre cas nous n’aurons jamais à vérifier la condition car nous ne considèrerons que des variables aléatoires classiques dont on
admettra qu’elles vérifient la condition.
Exemple 7
– Pour l’expérience “pile ou face", Ω={p,f},on peut considérer la variable aléatoire Xdéfinie par X(f) = 0 et X(p) = 1.
– Pour l’expérience aléatoire “2 lancers de dé" (ou “lancer de 2 dé" c’est la même chose) on a
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),...,(6,5),(6,6)}soit 36 éléments tels que (i,j)signifie “iest le résultat
du premier lancer, jest le résultat du second". On peut alors définir de nombreuses variables aléatoires, par exemple
– la variable Xdéfini par X(i,j) = i+j, somme des résultats des 2 lancers (ou des 2 dés).
– la variable Ydéfini par Y(i,j) = |i−j|l’écart entre les résultats des deux lancers.
Notations : Pour a,b∈R,a6b,aou béventuellement infini, on définit
X−1([a,b]) = {ω∈Ωtels que X(ω)∈[a,b]}={ω∈Ωtels que a6X(ω)6b}l’ensemble des éléments de Ωtels que X(ω)est
compris entre aet b.
On note aussi cet ensemble par {a6X6b}.
Si a=−∞on note alors cet ensemble par {X6b}et si b= +∞par {X>a}. Si a=bon note {X=a}l’ensemblr des ωtels que
X(ω) = a.
On omet parfois les accolades.
A partir de toute variable aléatoire Xon va définir une probabilité sur un espace probabilisable dont l’univers est R. Comme Rest
infini la question du choix d’une tribu Ase pose car, pour des raisons que l’on ne peut exposer ici, on ne peut pas prendre P(R)tout
entier.
On définit la tribu Bcomposée de tous les sous-ensembles de Robtenus par une suite, éventuellement infinie, d’intersections, de
réunion ou de passage au complémentaire sur des intervalles de type [a,b].Best appelé l’ensemble des boréliens.
Définition 10 Soit X une variable aléatoire définie sur l’espace de probabilité (Ω,A,P). On définit alors une loi de probabilité P
Xsur
l’espace probabilisable (R,B)par
P
X([a,b]) = P(X−1([a,b]).
(R,B,P
X)est alors un espace de probabilité.
Par les notations précédentes on a donc P
X([a,b]) = P(a6X6b)et on dit “probabilité pour que la valeur de X soit comprise entre
a et b".
P
Xest appelée loi de probabilité de la variable aléatoire X ou plus simplement loi de X.
1.5.2 Détermination de la loi d’une variable aléatoire
Fonction de répartition
Définition 11 Soit X une variable aléatoire définie sur l’espace de probabilité (Ω,A,P). La fonction de répartition de X est la fonction
FX:R−→ Rdéfinie, pour tout x ∈R, par
FX(x) = P(X6x)
Proposition 6 (Propriétés de la fonction de répartition)
1. FX(−∞):=lim
x→−∞FX(x) = 0
2. FX(+∞):=lim
x→+∞FX(x) = 1
3. FXdétermine complètement P
X.
Exemple 8 Pour Xdéfinie par X(f) = 0 et X(p) = 1 dans l’expérience “pile ou face" on a FX(x) = 
0si x <0
1
2si 06x<1
1si x >1
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Fonction de densité
Pour la prochaine notion nous avons besoin d’un peu plus de vocabulaire de théorie des ensembles.
– Un ensemble dénombrable est un ensemble infini mais que l’on peut énumérer, c-à-d où chaque élément peut-être “étiqueté" par
un nombre entier. Un ensemble dénombrable est donc de la forme {ω1,ω2,ω3,...,ωk,...}.
– Un ensemble discret est soit un ensemble fini, soit un ensemble dénombrable.
– Si un ensemble infini n’est pas dénombrable on dira qu’il est continu.
Si toutes les valeurs possibles que peut prendre une v.a. donnée Xforment un ensemble discret on dira que Xest une variable
aléatoire discrète. Sinon on dit que Xest une variable aléatoire continue (c-à-d que Xpeut prendre une infinité non dénombrable de
valeurs).
Exemple 9
– Les v.a. décrites à l’exemple 7 sont toutes discrètes.
– Si on considère pour univers tous les étudiants de l’université de Metz et que l’on considère la v.a. qui à tout étudiant associe son
sexe (codé 1 pour un homme, 2 pour une femme), c’est encore une v.a. discrète puisque les seules valeurs possibles sont 1 ou 2.
– Toujours sur les étudiants, la v.a. qui à chacun associe leur performance sur une course de 100m est continue, en effet une valeur
possible est 12 s mais une autre est 12 s 3 dixièmes, une autre 12 s 3 dixièmes 6 centièmes, une autre 12 s 3 dixièmes 6 centièmes
5 millièmes, etc. On suppose évidemment, de façon irréaliste, que l’on dispose d’un chronomètre de précision infinie.
– De façon plus réaliste on sera souvent obligé de discrétiser une telle variable. En effet si on dispose d’un chrono précis au centième
et en supposant que personne ne mette plus de 30s à courir le 100m, la v.a. ne pourra au plus que 3000 valeurs différentes. Et donc
une v.a. discrète.
Si Xest une v.a. discrète finie c-à-d si Xne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs distinctes. On note x1,x2,...,xnces valeurs.
On a alors Ω=
n
[
i=1{X=xi}et {X=xi}∩{X=xj}=/0 si i6=j(en effet ω∈ {X=xi} ⇔ X(ω) = xi.Donc X(ω)6=xjpuisque xi6=xjet
donc ω6∈ {X=xi}). Donc les {X=xi}pour iallant de 1 à nforment une famille d’évènement deux à deux incompatibles. On a donc
1=P(Ω) = P(
n
[
i=1{X=xi}) =
n
∑
i=1
P(X=xi)
Définition 12 Soit X une v.a. discrète finie sur l’espace de probabilité (Ω,A,P). Soient x1,x2,...,xnles n valeurs distinctes pouvant
être prises par X.
La fonction fX(x) = P(X=xi)si x =xipour un i entre 1et n
0si x 6=xipour tous les i entre 1et n s’appelle fonction de densité de la v. a. X.
Proposition 7 Avec les notations de la définition précédente on a
P(X6x) = FX(x) = ∑
it. q. xi6x
fX(xi) = ∑
it. q. xi6x
P(X=xi)
et donc fXdéfinie complètement P.
Si Xest une v.a. discrète infinie (dénombrable) Avec un peu de précautions on peut définir les mêmes notions et écrire les mêmes
formules en remplaçant npar +∞.
Si Xest une v.a. continue
Définition 13 Soit X une v. a. discrète sur l’espace de probabilité (Ω,A,P).
S’il existe fXtelle que P(X6x) = FX(x) = Zx
−∞
fX(u)du on dit que fXest la fonction de densité de X.
ATTENTION :
Il existe des v. a. continues dont la fonction de répartition ne peut pas être définie par une fonction de densité.
1.5.3 Espérance et variance
CAS d’une v.a. discrète CAS d’une v.a. continue
Définition 14 Soit X une v.a. discrète finie sur l’espace de pro-
babilité (Ω,A,P). Soient x1,x2,...,xnles n valeurs distinctes
pouvant être prises par X.
–E(X) =
n
∑
i=1
xifX(xi) =
n
∑
i=1
xiP(X=xi)est appelée espérance
de X.
– Var(X) =
n
∑
i=1
(xi−E(X))2fX(xi) =
n
∑
i=1
(xi−E(X))2P(X=xi)
est appelée variance de X.
Définition 15 Soit X une v.a. continue sur l’espace de probabi-
lité (Ω,A,P), admettant une fonction de densité fX.
–E(X) = Z+∞
−∞
x fX(x)dx est appelée espérance de X.
– Var(X) = Z+∞
−∞(x−E(X))2fX(x)dx est appelée variance de
X.
Dans tous les cas l’écart-type est la racine carrée de la variance.
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