Chapitre 3 : équations différentielles

Math´ematiques appliqu´ees 2016-2017 Cl. Gabriel
Chapitre 3 : ´equations diff´erentielles
1 Introduction sur les ´equations diff´erentielles en g´en´eral
Une ´equation diff´erentielle est une ´equation liant une fonction et sa ou ses d´eriv´ee(s). La r´esoudre revient `a
trouver une expression g´en´erale pour toutes ses solutions. On se limitera dans ce cours aux ´equations lin´eaires,
du premier ordre `a coefficients fonctionnels et du deuxi`eme ordre `a coefficients constants.
1.1 D´efinition
Une ´equation diff´erentielle (E.D) est une ´egalit´e liant une fonction et ses d´eriv´ees successives. On peut l’´ecrire
de la mani`ere la plus g´en´erale :
R(f, f0, f00, ...f (n))(x) = g(x) (1)
o`u Rest une fonction de (n+ 1) variables et gune fonction de la variable x.
Les E.D font donc partie des ´equations fonctionnelles, dont l’inconnue est une fonction, et non un nombre.
R´esoudre une telle E.D signifie : d´eterminer toutes les fonctions qui satisfont `a l’´egalit´e.
Remarque : il existe une grande vari´et´e d’´equations diff´erentielles, et elles sont en g´en´eral beaucoup plus difficiles
`a r´esoudre que les ´equations simples. On se limitera dans ce cours aux exemples classiques.
2´ Equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre un
2.1 D´efinitions
Soient a,bet ctrois fonctions de la variable r´eelle, ane s’annulant pas. Soit fune fonction de Rdans C
d´erivable. Une ´equation diff´erentielle ordinaire lin´eaire d’ordre un est alors une relation de la forme :
(E) : ∀x∈R, a (x)f0(x) + b(x)f(x) = c(x) (2)
L’´equation diff´erentielle ordinaire lin´eaire homog`ene d’ordre un associ´ee `a cette derni`ere est :
(E0) : ∀x∈R, a (x)f0(x) + b(x)f(x) = 0 (3)
On appelle solution de l’´equation diff´erentielle toute fonction d´erivable v´erifiant la relation concern´ee. On ap-
pelle ensemble des solutions de l’´equation diff´erentielle les seules fonctions v´erifiant la relation concern´ee.
Exemples :
•Pr´eciser les valeurs de a(x), b(x) et c(x) dans l’´equation suivante et donner l’´equation homog`ene associ´ee.
xf0(x)−3f(x) = sin x
•Pr´eciser les valeurs de a(t), b(t) et c(t) dans l’´equation suivante et donner l’´equation homog`ene associ´ee,
sachant que la variable est tet que la fonction inconnue est not´ee y.
t2y0(t)−3y(t) = sin(t)
Un cas particulier important concerne le cas o`u ces fonctions sont constantes.
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2.2 R´esolution de l’´equation diff´erentielle y0=ay +b
L’´equation y0=ay +bavec aet br´eels est parmi les ´equations diff´erentielles les plus simples, mais aussi les
plus importantes.
Th´eor`eme 2.1 Soit aun r´eel non nul.
Les solutions sur Rde l’´equation diff´erentielle y0=ay sont les fonctions :
f(x) = keax (4)
o`u kest une constante r´eelle quelconque.
Preuve
Il suffit de d´eriver une telle fonction pour voir qu’elle est solution.
R´eciproquement, si on a une autre solution g, on pose φ(x) = g(x)e−ax.
En d´erivant, on trouve que φ0(x) = 0 donc φest constante et g(x) est de la forme annonc´ee.
Th´eor`eme 2.2 Solutions de l’´equation y0=ay +b
Soient aet bdes r´eels non nuls.
Les solutions sur Rde l’´equation diff´erentielle y0=ay +bsont les fonctions :
f(x) = keax −b
a,(5)
o`u kest une constante r´eelle quelconque.
Preuve
Il est ´evident qu’une telle fonction est solution.
R´eciproquement, si on a une autre solution f(x), posons g(x) = f(x) + b
a. Alors gest solution de l’´equation
sans second membre et d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent, elle se ram`ene `a la forme annonc´ee.
Exercice 1 R´esoudre les ´equations suivantes.
y0=y
y0=−2y
y0−2y= 3
5y0−2y= 3
2.2.1 La condition initiale
Le fait de fixer une seule valeur de la fonction solution suffit `a la d´efinir parfaitement.
Le sens physique de cette remarque est tr`es intuitif : un syst`eme physique r´egi par une ´equation diff´erentielle du
premier ordre voit son ´etat d´etermin´e par un seul nombre f(x) qui d´epend de la variable x(en g´en´eral le temps).
La connaissance de cet ´etat `a un instant donn´e (disons l’instant x= 0 par exemple) d´etermine l’´etat du syst`eme
`a tout instant.
C’est ce qu’on appelle la condition initiale.
Th´eor`eme 2.3 Th´eor`eme de Cauchy
Deux nombres r´eels x0et y0´etant donn´es, il existe une unique solution fde l’´equation y0=ay +bv´erifiant
f(x0) = y0.
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Preuve
Il suffit de voir que la donn´ee de x0et y0suffit `a fixer un unique k.
2.3 ´ Equations diff´erentielles lin´eaires quelconques `a coefficients constants
Soient a,bet ctrois nombres complexes, a´etant non-nul. Soit fune fonction de Rdans Cd´erivable. Une
´equation diff´erentielle ordinaire lin´eaire d’ordre un `a coefficients constants est alors une relation de la forme :
∀x∈R, af0(x) + bf (x) = c(6)
L’´equation diff´erentielle ordinaire lin´eaire homog`ene d’ordre un `a coefficients constants associ´ee `a cette derni`ere
est :
∀x∈R, af0(x) + bf (x) = 0 (7)
2.3.1 Solutions de l’´equation homog`ene
L’ensemble des solutions de l’´equation homog`ene est :
S=nAe−b
ax|A∈Co.(8)
Preuve
C’est un cas particulier ´evident de l’´equation diff´erentielle particuli`ere ´etudi´ee au paragraphe pr´ec´edent.
2.3.2 Solutions de l’´equation compl`ete
L’ensemble des solutions de l’´equation compl`ete est :
S=nAe−b
ax+c
b|A∈Co.(9)
Preuve
C’est un cas particulier ´evident de l’´equation diff´erentielle particuli`ere ´etudi´ee au paragraphe pr´ec´edent.
Exercice 2 R´esoudre les ´equations suivantes.
•y0=y;y(0) = 1
•y0=−2y;y(1) = 3
•y0−2y= 3 ; y(0) = 3
•5y0−2y= 3 ; y(−2) = 0
Exercice 3 ´ Equations homog`enes `a coefficients constants
•D´eterminer la solution g´en´erale de l’´equation y0+ 2y= 0
•D´eterminer la solution unique v´erifiant la condition initiale : y(0) = 2
Exercice 4 ´ Equations avec second membre `a coefficients constants
•D´eterminer la solution g´en´erale de l’´equation y0+ 2y= 3
•D´eterminer la solution unique v´erifiant la condition initiale : y(0) = −1
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2.4 Retour au cas g´en´eral des ´equations lin´eaires d’ordre un `a coefficients variables
2.4.1 Espaces vectoriels
La lin´earit´e d’une ´equation diff´erentielle a des cons´equences importantes facilitant la recherche de solutions.
•Les solutions d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire homog`ene forment un sous-espace vectoriel de l’espace
vectoriel des fonctions. Dans le cas d’une ´equation d’ordre 1, ce sous-espace est de dimension 1.
•Les solutions d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire forment un sous-espace affine de l’espace affine des
fonctions. Dans le cas d’une ´equation d’ordre 1, cet espace est de dimension 1.
Ces consid´erations g´eom´etriques donnent le th´eor`eme suivant, tr`es important dans la r´esolution en pratique.
Th´eor`eme 2.4 Les solutions d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre un sont la somme d’une solution `a
l’´equation homog`ene associ´ee et d’une solution particuli`ere de l’´equation compl`ete.
Le probl`eme est souvent de d´eterminer cette solution particuli`ere.
Par exemple, si aet bsont des constantes non nulles et cune fonction polynˆome ou trigonom´etrique, on cherchera
alors une solution particuli`ere de la forme :
•d’un polynˆome de degr´e nsi cest un polynˆome de degr´e n;
•d’une combinaison lin´eaire de cos(ωx +φ) et sin(ωx +φ) si c(x) = Acos(ωx +φ) + Bsin(ωx +φ).
Si cest la somme de plusieurs fonctions c1et c2, on peut chercher une solution particuli`ere de l’´equation
diff´erentielle de second membre c1, puis une solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle de second membre
c2, puis faire la somme de ces deux solutions particuli`eres. On obtient alors une solution particuli`ere de l’´equation
de d´epart.
2.4.2 La condition initiale
L’ensemble des solutions d’une E.D.L. du premier ordre ´etant un espace vectoriel de dimension 1, le fait de fixer
une seule valeur de la fonction solution suffit `a la d´efinir parfaitement.
Le th´eor`eme de Cauchy s’´etend donc `a toutes les ´equations diff´erentielles d’ordre un :
Th´eor`eme 2.5 Th´eor`eme de Cauchy
Deux nombres x0et y0´etant donn´es, il existe une unique solution `a une ´equation diff´erentielle lin´eaire
d’ordre un v´erifiant f(x0) = y0.
2.4.3 ´ Equation homog`ene associ´ee
L’´equation diff´erentielle lin´eaire homog`ene d’ordre un associ´ee `a l’´equation (E) est :
(E0) : ∀x∈R, a (x)f0(x) + b(x)f(x) = 0 (10)
2.4.4 Solutions de l’´equation homog`ene
L’ensemble des solutions de l’´equation diff´erentielle homog`ene d’ordre un est : :
S0=nAe−Φ(x)|A∈Co(11)
o`u Φ est une primitive de : x7→ b(x)
a(x).
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Preuve
En effet, dans le cas g´en´eral, l’´equation diff´erentielle lin´eaire homog`ene s’´ecrit
a(x)·y0+b(x)·y= 0 .
En travaillant sur un intervalle Io`u a(x) ne s’annule pas, cette ´equation est ´equivalente `a
y0+b(x)
a(x)·y= 0
Et, en notant A(x) une primitive de la fonction b(x)
a(x), c’est-`a-dire que A0(x) = b(x) a(x), par exemple :
A(x) = Zx
x0
b(t)
a(t)dt
(o`u x0est un r´eel que l’on fixe, par exemple 0)
l’´equation est ´equivalente `a
y0+b(x)
a(x)·y= 0
y0·eA(x)+y·b(x)
a(x)·eA(x)= 0
y0·eA(x)+y·A0(x)·eA(x)= 0
Cette forme est du type u0·v+u·v0, qui se simplifie en (u·v)0avec u(x) = y(x) et v(x) = eA(x), donc l’´equation
est ´equivalente `a : d
dx(y·eA(x))=0
L’´equation est ´equivalente `a :
y·eA(x)=C
L’ensemble des solutions est alors form´e des fonctions, d´efinies sur I, de la forme
y(x) = C·e−A(x)
o`u Cest une constante r´eelle dont la valeur se d´etermine par la donn´ee des conditions initiales.
Le calcul de primitive n´ecessaire n’est pas toujours r´ealisable `a l’aide des fonctions usuelles, la solution peut
donc n’avoir qu’une expression sous forme d’int´egrale.
2.4.5 Solution de l’´equation diff´erentielle compl`ete
L’ensemble des solutions g´en´erales de l’´equation diff´erentielle d’ordre un est :
S=A+Zx
x0
c(s)
a(s)e+Φ(s)ds·e−Φ(x)|A∈C(12)
Avec
Φ : x7→ Rx
x0
b(t)
a(t)dt.
Preuve
On r´esout de mani`ere g´en´erale une ´equation avec second membre ay0+by =cpar la m´ethode de variation des
constantes. Celle-ci consiste `a se ramener, par un changement de fonction variable, `a un probl`eme de calcul de
primitive.
On suppose que, sur l’intervalle d’´etude, la fonction ane s’annule pas.
On ´ecrit la solution g´en´erale de l’´equation homog`ene associ´ee ay0+by = 0
y(x) = Ke−A(x), K ∈R,
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