I-Forme algébrique d`un nombre complexe

CH1_Les nombres complexes
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CHAPITRE 1 : LES NOMBRES COMPEXES :
I-Forme algébrique d’un nombre complexe :
I.1) Définitions :
On appelle nombre complexe tout nombre de la forme z=a+ib où a et b sont des nombres
réels et où la quantité i vérifie i²=-1.
Quand le nombre complexe est écrit sous la forme z=a+ib on parle de la forme algébrique. Le réel a
est alors appelé la partie réelle du nombre complexe et s’écrit a=Re
(z)
, et le réel b est appelé partie
imaginaire et est noté b=Im
(z)
.
L’ensemble des nombres complexes est noté C.
Remarque : L’ensemble des nombres réels est inclus dans l’ensemble des nombres complexes. Par
exemple, le réel 1 peut s’écrire 1+0i.
Propriété : Soit deux nombres complexes z=a+ib et z’=a’+ib’, alors z=z² si et seulement si a=a’ et
b=b’.
I.2) Calculs en écriture algébrique :
I.2.1) Addition et produit :
Théorème : Soit z=a+ib et z’=a’+ib’ deux nombres complexes. Alors:
z+z’=(a+a’)+(b+b’)i,
z-z’=(a-a’)+(b-b’)i
zz’=(aa’-bb’)+i(ab’+ba’)
Exemple : La forme algébrique du nombre complexe z=(3+i)(5-i) est : z=15-3i+5i+1
z=16+2i
I.2.2) Conjugué d’un nombre complexe :
Définition : Soit z=a+ib un nombre complexe. On appelle nombre complexe conjugué de z le nombre
complexe, noté z défini par z=a-ib.
Exemple : Le conjugué de z=-3-6i est -3+6i.
Propriété : Soit deux nombres complexes z=a+ib et z’=a-ib. Alors :
zz=a²+b²
z+z’=z+z’
zz’=z.z’
( )\=
Exemple : = = = = + i.
I.3) Interprétation géométrique :

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Définition : Le plan étant rapporté à un repère orthonormal (O ;  ;  ), tout nombre complexe
z=a+ib est associé :
-Soit à un point M de coordonnées (a ; b)
-Soit au vecteur  de coordonnées 
 ou du vecteur
de coordonnées 
.
M est le point image de z’ et est le vecteur image de z.
Remarque : Le plan complexe est la représentation des nombres complexes sous la forme d’un plan.
Dans ce plan, l’axe des abscisses représente l’ensemble des réels et l’axe des ordonnées représente
l’axe des Imaginaires purs.
Propriété 1 : Si z=a+ib est l’affixe d’un point M ((a ;b) du plan, le conjugué du point M’(a ;-b) qui est
le symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses.
Propriété 2 : Soit A et B deux points d’affixes z
A
et z
B
dans le plan muni d’un repère orthonormal.
Alors l’affixe z du vecteur est donnée par Z =Z
B
-Z
A
.
I.4) Calculs sous forme trigonométrique :
I.4.1) Produit de deux nombres complexes :
Soit z et z’ deux nombres complexes non nuls, |z.z’|=|z|.|z’| ; arg(z.z’)=arg(z)+arg(z’)+2kπ, k
appartenant à l’ensemble des nombres relatifs (nombres sans virgule).
Exemple : Soit z
1
=1+i et z
2
=3i. Ecrire Z=z
1
.z
2
sous forme trigonométrique :
|z
1
|=  =
|z
2
|=  =3
Donc |z|=3.
Soit Φ
1
un argument de z
1
:
cos Φ
1
= =
sin Φ
1
= =
Donc Φ
1
=
Soit Φ
2
un argument de z
2
:
cos Φ
2
=0
sin Φ
2
=1
Donc Φ
2
=
Soit Φ un argument de Z :
Φ=
I.4.2) Puissance d’un nombre complexe :

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Soit z un nombre complexe non nul et n un entier relatif, |z
n
|=|z|
n
; arg(z
n
)=n.arg(z)+2kπ, k
appartenant à l’ensemble des nombres entiers relatifs.
I.4.3) Inverse d’un nombre complexe :
Soit z un nombre complexe non nul, 
=
; arg =-arg(z)+2kπ, k appartenant à l’ensemble des
nombres entiers relatifs.
I.4.4) Quotient de deux nombres complexes :
Soit z et z’ deux nombres complexes non nuls, 
=
; arg =arg(z)-arg(z’)+2kπ, k appartenant à
l’ensemble des entiers relatifs.
II-Forme trigonométrique :
II.1) Module et argument d’un nombre complexe :
Définition : Soit ( ) un repère orthonormal du plan complexe. Soit z=a+ib un nombre
complexe non nul, affixe d’un point M du plan.
-On appelle module de z, noté |z| la distance OM
-On appelle argument de z, noté arg(z), une mesure quelconque de l’angle ( ).
Remarques : -Le module d’un nombre complexe est un Réel positif.
-Le nombre complexe 0 a pour module 0 et n’a pas d’argument.
II.2) Forme trigonométrique :
Soit z un nombre complexe non nul de forme algébrique z=a+ib.
 Calcul du module de z : En utilisant Pythagore dans le triangle OMH (H correspond à la
base), on obtient OM²=OH²+MH²=a²+b², donc |z|=  
 Détermination d’un argument de z : arg(z)=Φ
• cos Φ= =
• sin Φ=
On a alors z=a+ib =cosΦ+.isinΦ|z|=|z|.(cosΦ+i.sinΦ).
Définition : Un nombre complexe non nul de module ρ et d’argument Φ s’écrit
Z=ρ(cosΦ+i.sinΦ)=[ρ ;Φ]. Cette écriture est appelé forme trigonométrique du nombre complexe z.
Exemple : Déterminer la forme trigonométrique du nombre complexe z
1
=1+i :
|z
1
|=  =  =.
Soit Φ argument de z
1
.
On a cosΦ= =
Et sinΦ= =
Donc Φ=
.
z
1
=

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Remarque : Si la forme trigonométrique de z est z=[ρ ; Φ], alors la partie réelle de z est a=ρ.cosΦ et
la partie imaginaire de z b=ρ.sinΦ.
Exemple : Déterminer la forme algébrique du nombre complexe z
2
=
:
z
2
=2cos +2i.sin
z
2
= +i.
z
2
=+i.
Théorème : Soit deux nombres complexes non nuls z=ρ(cosΦ+i.sinΦ) et z’=ρ’(cosΦ’+i.sinΦ’), alors
z=z’ si et seulement si ρ=ρ’ et Φ=Φ’+2kπ ; kЄZ.
II.3) Différence de deux nombres complexes :
Proposition : Soit  un repère orthonormal du plan complexe. Soit A et B deux points
distincts d’affixes respectives z
A
et Z
B
. Alors on a : AB=|Z
B
-Z
A
| et l’angle 
 a pour mesure un
argument de Z
B
-Z
A
.
III-Forme exponentielle :
III.1) Définition :
Définition : Pour tout réel Φ, on pose  =cosθ+i.sinθ. Ainsi, tout nombre complexe z non nul
s’écrit sous la forme ρ . Cette forme est appelée la forme exponentielle de z.
Conséquences : | |=1 ; arg( )=θ.
Remarque : Pour déterminer une forme exponentielle d’un nombre complexe z, on cherche le
module et un argument de z.
Exemple : Différentes écritures des nombres complexes z
1
et z
2
:
Forme algébrique
Forme trigonométrique
Forme
exponentielle
Z
1
=
-
1+i
Z
1
=
Z
1
=
Z
1
=
Z
2
= Z
2
=2(cos +i.sin ) Z
2
=2
III.2) Règles de calcul:
Le premier intérêt de la notation exponentielle est qu’elle vérifie les propriétés des
puissances :
Propriété : Pour tous θ, θ’ЄR, tous ρ, ρ’ réels positifs, tout n entier naturel,
ρe
iθ
.ρ’e
iθ’
=ρ.ρ’e
i(θ+θ’)
=ρ
n
e
inθ
=

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Pour les calculs de type « somme » ou « différence », on utilisera la forme algébrique. On préfèrera la
forme exponentielle pour les calculs de produits et de quotients.
Exemple : Soit z
1
= et 2 :
z
1
z
2
=2
z
1
4
=4
=
Proposition : 
Exemple :  =
VI-Formules de Moivre et d’Euler :
VI.1) Formule de Moivre :
Rappel : θ un réel,  =cosθ+i.sinθ,
(cosθ+i.sinθ)
n
=cos(nθ)+i.sin(nθ)
D’où n entier naturel, θ réel :
(cosθ+i.sinθ)
n
=cos(nθ)+i.sin(nθ)
VI.2) Formule d’Euler :
cosθ=
sinθ=