Algèbre : Notes de TD - Dualité, Formes Quadratiques

Université Claude Bernard-Lyon 1
Carnet de voyage en Algébrie
Is(T)'S4
Notes de TD de :
Chrystel Bouvier
Elisabeth Bruyère
Encadrées par :
Philippe Caldero

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J’aimerais vivre en Théorie, parce qu’en Théorie, tout va bien...

Table des matières
I Algèbre linéaire 5
I.1 Dualité............................... 5
I.1.1 Généralités ........................ 5
I.1.2 Trace et dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.1.3 Dualité et topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.2 Rang................................ 11
I.3 Valeurspropres.......................... 16
I.4 Réduction et arithmétique des polynômes . . . . . . . . . . . 17
I.5 Topologie matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I.6 Dunford, exponentielle et topologie . . . . . . . . . . . . . . . 34
II Formes quadratiques 37
II.1 Fondamentaux .......................... 37
II.2 Matrices symétriques réelles et réduction . . . . . . . . . . . . 39
II.3 Formes quadratiques et polynômes réels . . . . . . . . . . . . 42
III Actions de groupes par isométries 45
III.1Letétraèdre............................ 45
III.2Lecube .............................. 49
III.3Dictionnaires ........................... 50
IV Combinatoire et arithmétique 53
IV.1 Combinatoire et fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . 53
IV.2Arithmétique ........................... 61
IV.2.1 Arithmétique et théorème de Lagrange . . . . . . . . . 61
IV.2.2 Théorème chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
IV.2.3 Résidus quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
IV.3CodageRSA ........................... 72
Référence 75
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4TABLE DES MATIÈRES

Chapitre I
Algèbre linéaire
I.1 Dualité
I.1.1 Généralités
Exercice I.1.1. Soit Eun espace de dimension n,(ei)1≤i≤nune base de E
et (e∗
i)1≤i≤nsa base duale dans E∗.
1. On considère un vecteur vdans E. Montrer que les coordonnées de v
dans la base (ei)sont données par
v=
n
X
i=1
e∗
i(v)ei.
2. On considère une forme linéaire ϕdans E∗. Montrer que les coordon-
nées de ϕdans la base duale sont données par
ϕ=
n
X
i=1
ϕ(ei)e∗
i.
Soluce. 1. Si on note v=Pn
i=1 vieila décomposition de vdans la base
(ei), on a par définition
e∗
j(v) = e∗ j
n
X
i=1
viei=
n
X
i=1
vie∗
j(ei) = vj.
D’où la formule qui décompose vdans la base (ei).
2. On décompose ϕ=Pn
i=1 ϕie∗
idans la base duale et on évalue l’égalité
en ej:
ϕ(ej) = 
n
X
i=1
ϕie∗
i(ej) =
n
X
i=1
ϕie∗
i(ej) = ϕj.
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