Module, inégalité de Cauchy-Schwarz, borne supérieure, borne

Liste 1
Module, inégalité de Cauchy-Schwarz,
borne supérieure, borne inférieure
Analyse I, 1re partie 2015–2016 – Bachelier en sciences mathématiques
Exercice 1. Résoudre dans Rles équations et inéquations suivantes :
(a) |x−2|= 3
(b) −4 = |x+ 6|
(c) | − 3x+ 4|+| − 5 + x|= 10
(d) |x2+x−6|=|x−2|
(e) | − 2x+ 4| ≤ 7
(f) 5≤ |3x+ 1|
(g) |2x−1| ≤ |x+ 2|
(h) |x4−3x3+ 2x2−1|>−1
Exercice 2. Soient les points xet yde R4dont les coordonnées sont x= (−1,0,−1
2,1) et y= (3,−1,1 2,1).
Calculer hx, yi,|x|et |2x+y|.
Exercice 3. Montrer que, pour tout (x, y)∈[−1,1] ×[−1,1], on a l’inégalité
xp1−y2+yp1−x2≤1.
Quand a-t-on l’égalité ?
Exercice 4. Si xk, yk∈Rd(k= 1, . . . , K avec K∈N0), montrer que
K
X
k=1
hxk, yki
2
≤ K
X
k=1
|xk|2!
K
X
j=1
|yj|2
.
Exercice 5.
(a) Si xet ysont des points de Rddifférents de 0, démontrer que
x
|x|2−y |y|2
=|x−y|
|x||y|.
(b) En déduire que
|x||y−z| ≤ |y||z−x|+|z||x−y|
pour tous x, y, z ∈Rd.
Exercice 6. Soient x, y, z des points de Rd. Montrer que |x−y|=|x−z|+|z−y|si et seulement s’il
existe r∈[0; 1] tel que z=rx + (1 −r)y.
Exercice 7. Trouver, si elles existent, les bornes supérieures et inférieures des ensembles suivants et
établir si elles sont réalisées :
A1={0}∪{x∈R: 1 <x<3}, A2={(−1)m/m :m∈N0}, A3=2−1/m2:m∈N0.

Exercice 8.
(a) Soient Aet Bdeux parties non vides et bornées de R. Montrer que si Aet Bsont inclus dans
]0,+∞[, alors on a sup
x∈A,y∈B
(xy) = sup
x∈A
(x) sup
y∈B
(y).
(b) Soit Aune partie non vide et bornée de Ret posons −A={−a:a∈A}. Montrer que
sup
x∈−A
(x) = −inf
y∈A(y).
(c) En déduire des points précédents que si Aet Bsont deux parties non vides et bornées de Rtelles
que Aest inclus dans ]0,+∞[et Best inclus dans ]−∞,0[ alors on a inf
x∈A,y∈B(xy) = sup
x∈A
(x) inf
y∈B(y).
Exercice 9. Soit Bune partie non vide et bornée de Rd. Démontrer que l’ensemble
Br=nx∈Rd: d(x, B)≤ro
est borné quel que soit r≥0. Etablir ensuite la relation
sup
x∈Br
|x|= sup
y∈B
|y|+r.
Exercice 10. Montrer que si Eest un borné non vide de R, alors diam(E) = sup
x∈E
x−inf
x∈Ex.
Exercices proposés
Exercice 11. Résoudre dans Rles équations et inéquations suivantes :
(a) |3x−5|=|x+ 3|
(b) |8x2+ 2x−3|=|2x−1|
(c) |6x2−3x+ 2|<−|x+ 2|
(d) |3x+2|>|6x3+7x2−16x−12|
(e) |4x+ 2|>5
(f) | − 3x2+x| ≤ |x2−3|
Exercice 12. Si xet ysont deux points de Rd, démontrer que
|x+y|
1 + |x+y|≤|x| 1 + |x|+|y| 1 + |y|et 1 + |x+y|2≤21 + |x|21 + |y|2.
Exercice 13. Trouver, si elles existent, les bornes supérieures et inférieures des ensembles suivants et
établir si elles sont réalisées :
(a) ]10,36] (b) (−1)kk
k+ 1 :k∈N(c) {x2:x∈]−1,1/2[}
Exercice 14. Soit r∈R. Si Aest une partie non vide et bornée de R, montrer que
sup
x∈A
(rx) = 
rsup
x∈A
xsi r≥0
rinf
x∈Axsi r < 0.
Exercice 15. Déterminer inf{x2−y: 0 < x ≤1et 0≤y < 1}.
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 1-2

Liste 2
Topologie
Analyse I, 1re partie 2015–2016 – Bachelier en sciences mathématiques
Exercice 1. Dans l’espace topologique Rmuni de la distance euclidienne, calculer l’intérieur, l’adhérence
et la frontière des ensembles [0,1[,{0}∪]1,2[,∅,N,Qet R.
Exercice 2. Si Xest un espace topologique, existe-t-il toujours des ensembles à la fois ouverts et fermés ?
Est-il possible d’avoir des ensembles qui ne sont ni ouverts ni fermés ?
Exercice 3. Montrer que pour tous ensembles A, B, on a
(1) (A∩B)◦=A◦∩B◦
(2) A◦∪B◦⊂(A∪B)◦
(3) (A∪B)−=A−∪B−
(4) (A∩B)−⊂A−∩B−
(5) A◦∪B◦= (A∪B)◦\(A•∩B•)
(6) A−∩B◦= (A∩B)−∩B◦.
Peut-on transformer les inclusions en égalités ? Justifier.
Exercice 4. Montrer que si Fest un fermé alors F•◦ =∅. En déduire que, pour tout ensemble A, on a
A−•• =A−• et A••• =A••.
Exercice 5. Montrer que, pour tout ensemble A, on a
(1) A◦◦ =A◦
(2) (Ac)−= (A◦)c
(3) A◦−◦ ⊂A−◦ ⊂A−◦− ⊂A−
(4) A−◦−◦ =A−◦
(5) A−• ⊂A•=A−∩(Ac)−
(6) A◦• ⊂A••.
Exercice 6. Considérons les applications
d2:Rd×Rd→R,(x, y)7→ v
u
u
t
d
X
i=1
(yi−xi)2et d∞:Rd×Rd→R,(x, y)7→ sup
i∈{1,...d}
|yi−xi|.
(a) Montrer que les applications d2et d∞sont deux distances équivalentes.
(b) Dans le cas d= 2, représenter les boules unités Bd2(0,1) et Bd∞(0,1).
Exercice 7. Calculer \
A∈{∅}
A, \
A∈∅
A, [
A∈∅
Aet [
A∈{∅}
A.
Exercices proposés
Exercice 8. Montrer que si Oest un ouvert alors O•◦ =∅. En déduire que, pour tout ensemble A, on a
A◦•◦ =∅et A◦•• =A◦•.
Exercice 9. Montrer que, pour tous ensembles A, B, on a
(1) A◦−◦ ⊂A◦− ⊂A−◦−
(2) A◦−◦• =A◦−•
(3) A•• ⊂A•
(4) A−∪B◦=A−∪(A∪B)◦
(5) (A∪B)◦\A−⊂B◦
(6) (A•∩B◦)∪(A◦∩B•)⊂(A∩B)•
(7) A◦∆B◦⊂(A∆B)◦où ∆repré-
sente la différence symétrique,
i.e. E∆F= (E∪F)\(E∩F).
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 3-4

Liste 3
Suites & suites récurrentes
Analyse I, 1re partie 2015–2016 – Bachelier en sciences mathématiques
Exercice 1 (Illustration de différentes méthodes de convergence).Considérons la suite (xj)j∈N0définie
par xj=1
jn(n∈N0).
(a) Montrer que la suite (xj)j∈N0est de Cauchy.
(b) En utilisant la définition de la convergence, montrer que la suite (xj)j∈N0converge vers 0.
(c) Sans utiliser la définition de la convergence, montrer que la suite (xj)j∈N0converge vers 0.
Exercice 2 (Illustration de la convergence vers l’infini).
(a) Trouver une suite réelle qui converge vers ∞mais qui ne converge ni vers −∞, ni vers +∞.
(b) Considérons les suites (xj)j∈Net (yj)j∈Ndéfinies par
xj=0si jest pair
jsinon yj=jsi jest pair 0sinon .
Montrer que ces deux suites ne convergent pas vers ∞. Montrer que la suite (zj)j∈Ndéfinie par
zj= (xj, yj)converge vers ∞.
Exercice 3. Etablir la convergence de la suite (xj)j∈N0lorsque
(a) xj=2j2+ 5j+ 1
3j2+ 1
(b) xj=j8/3−2j+ 1
j2−2
(c) xj=
3
p8j2+ 5j−2
pj3−2j+ 1
(d) xj=pjpj+ 1 −pj
(e) xj=j−3
pj2+j3
(f) xj=rj+qj+pj−pj.
Exercice 4 (Suites de base).
(a) Pour tout a∈R, étudier la convergence de la suite (aj/j!)j∈N0.
(b) Etudier la convergence de la suite (aj)j∈N0pour toutes les valeurs réelles du paramètre a.
(c) Pour tout a > 0fixé, étudier la convergence de la suite (a1/j )j∈N0.
(d) Etudier la convergence de la suite (j
√j)j∈N0.
Exercice 5. Si a∈Ret b, c ∈]0; +∞[, étudier la convergence des suites (xj)j∈N0de terme général égal à
(a) xj=πj2
p(j!)π
(b) xj=(j!)2
(2j)!
(c) xj=aj
1 + a2j
(d) xj=bj−cj
bj+cj
(e) xj= (pj2+ 2 −3
pj3+ 3j)aj
(f) xj=j−pj2+ 2(a+ 1)j+ 5
1−(a+ 1)j.
Exercice 6. Si a∈R, étudier la convergence des suites (xj)j∈N0de terme général égal à
(a) xj=j, −1
j,(−1)j j2(b) xj=2jaj,j2
3j.
Exercice 7. Etablir que la suite (xj)j∈Ndéfinie par récurrence selon
x0=√3et xj+1 =p3+2xj, j ∈N
converge vers 3.

Exercice 8. Etablir que, pour tout a > 0, la suite (rj)j∈Ndéfinie par récurrence selon
r0>0et rj+1 =1
2rj+a rj, j ∈N
converge vers √a.
Exercice 9. Soit a∈R, étudier la convergence des suites (xj)j∈N0de terme général égal à
(a) xj=
j
X
k=0
1
(j+k)2
(b) xj=
j
X
k=1
1
k(k+ 1)
(c) xj=1
j
j
X
k=1
k
√a.
Exercices proposés
Exercice 10. Si a∈Ret b > 0, étudier la convergence de la suite (xj)j∈N0lorsque
(a) xj=pj2+j+ 1 −pj2−j+ 1
(b) xj=j−3
pj3+j2
(c) xj=j3
√j
(a−1)2j−1
(d) xj=−3j4+ 5j3+ 2j−1
j5+ 2j−1
(e) xj=jr1 + 1
j−1
(f) xj=j
pj2,j!
jj
(g) xj= (ln b
2+ 1)j(3
pj+ 1 −3 pj).
Exercice 11. Etudier la convergence des suites (xj)j∈Ndéfinies par récurrence selon
(a) x0=−2et xj+1 =xj
3−xj
, j ∈N
(b) x0=√3et xj+1 =p3+2xj, j ∈N
(c) x0=−2et xj+1 =2 + xj
1+2xj
, j ∈N
(d) x0=√2et xj=p2 + xj−1, j ∈N0
(e) x0>0et xj+1 =xj(2x2
j+ 1)
x2
j+ 5 , j ∈N.
Exercice 12. Etudier la convergence de la suite (xj)j∈N0lorsque
(a) xj=1 + √a+. . . +j
√a
j(a > 0)
(b) xj=1
j(1 + √2 + 3
√3 + . . . +j
pj)
(c) xj=1
j
j
X
k=1
k2
√k
T. Kleyntssens et A. Deliège – Répétition 5-6