Analyse et Algèbre pour les sciences, 1M001

Analyse et Algèbre pour les sciences, 1M001
Sylvie Guerre-Delabrière
Professeur à l’Université Pierre et Marie Curie

Avant-propos
Ce texte est un plan détaillé du cours de mathématique de L1 du premier semestre, appelé
1M001, destiné aux étudiants de mathématique, de physique, de mécanique et d’ingénie-
rie. Il présente les notions indispensables d’analyse et d’algèbre pour continuer des études
scientifiques.
Dans ce texte, il n’y a ni démontrations, ni exemples, ni motivations. Ces éléments seront
fournis par les enseignants pendant les cours magistraux. Certains chapitres pourront être
présentés dans un ordre différent.
Ce texte sera accessible à tous, enseignants et étudiants, sur le site internet de la licence,
niveau L1. Pour apprendre à travailler, il est souhaitable que tous les étudiants l’im-
priment, l’apportent en cours et le complètent à la main par les ajouts de leur enseignant.
Les questions de cours comptant pour la note d’examen seront prises parmi les résultats
figurant dans ce cours, qu’il faut donc savoir par coeur.
Paris, le 15 septembre 2013
S. D.
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Table des matières
1R, ordre, intervalles 1
1.1 Le corps R.................................. 1
1.2 L’ordre sur R................................ 1
1.3 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Limites 3
2.1 Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.4 Propriété des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Continuité 5
3.1 Continuité d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Dérivabilité 7
4.1 Dérivabilité d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Fonctions dérivables sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.3 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.4 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5 Fonctions usuelles 9
5.1 Fonctions puissances entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2 Fonction Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.3 Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.4 Fonction puissance quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.5 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.6 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6 Fonctions réciproques 13
6.1 Injectivité, surjectivité, bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.2 Fonctions continues, fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.3 Réciproques des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7 Th. des accroissements finis, formules de Taylor 17
7.1 Théorèmes de Rolle et des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . 17
7.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7.4 Développements limités des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . 19
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