Compacité

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Compacité
Valeurs d’adhérences d’une suite
Exercice 1 [ 01170 ] [Correction]
Soit uune suite d’éléments de E. Établir que
Adh(u)=\
n∈Nnup|p≥no
et en déduire que Adh(u) est une partie fermée.
Exercice 2 [ 03216 ] [Correction]
Soit (un) une suite réelle vérifiant
un+1−un→0
Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de uest un intervalle.
Exercice 3 [ 02946 ] [Correction]
Soit aune suite de réels telle que an+1−antend vers 0. Montrer que l’ensemble des
valeurs d’adhérence de aest un intervalle.
Exercice 4 [ 01162 ] [Correction]
Soit Kune partie compacte d’un espace vectoriel normé E.
Montrer que si une suite (un) d’éléments de Kn’a qu’une seule valeur d’adhérence alors
cette suite converge vers celle-ci.
Exercice 5 [ 03263 ] [Correction]
Soient f:R→Rcontinue et u=(un)∈RNvérifiant
∀n∈N,un+1=f(un)
On suppose que la suite upossède une unique valeur d’adhérence, montrer que celle-ci
converge.
Exercice 6 [ 01163 ] [Correction]
Soit (un) une suite réelle bornée telle que un+1
2u2n→0.
Montrer que si aest une valeur d’adhérence de (un) alors −2al’est aussi.
En déduire que (un) converge.
Exercice 7 [ 02947 ] [Correction]
Déterminer les suites réelles bornées telle que un+u2n
2n≥0converge.
Exercice 8 [ 03466 ] [Correction]
On munit E=R[X] des normes données par les relations
kPk∞=sup
t∈[0;1]
|P(t)|et kPk1=Z1
0
|P(t)|dt
et l’on considère la suite (Xn)n∈Nd’éléments de E.
(a) Vérifier que la suite (Xn)n∈Nest bornée pour k.k∞et converge vers 0 pour la norme
k.k1.
(b) Comparer k.k1et k.k∞.
(c) En déduire que, bien que bornée, la suite (Xn)n∈Nne possède pas de valeur
d’adhérence pour k.k∞.
Partie compacte
Exercice 9 [ 01159 ] [Correction]
Montrer que On(R)=A∈ Mn(R)
tAA =Inest une partie compacte de Mn(R).
Exercice 10 [ 01160 ] [Correction]
Montrer que toute partie fermée d’une partie compacte est elle-même compacte.
Exercice 11 [ 01164 ] [Correction]
Soient Ket Ldeux compacts d’un espace vectoriel normé E.
Établir que K+L={x+y|x∈K,y∈L}est un compact de E.
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Exercice 12 [ 01171 ] [Correction]
Soient Eet Fdeux espaces normés, Aune partie fermée de Eet Bune partie compacte de
F.
Soit f:A→Bune application vérifiant :
—f−1({y}) est compact pour tout y∈B;
— l’image de tout fermé de Aest un fermé de B.
Montrer que Aest compact.
Exercice 13 [ 03271 ] [Correction]
[Théorème de Riesz] Soit Fun sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace
normé E.
(a) Montrer que pour tout a∈E, il existe x∈Fvérifiant
d(a,F)=ka−xk
(b) On suppose F,E. Montrer qu’il existe a∈Evérifiant
d(a,F)=1 et kak=1
(c) On suppose le K-espace vectoriel de dimension infinie. Montrer qu’il existe une suite
(an) d’éléments de Evérifiant
∀n∈N,kank=1 et d(an+1,Vect(a0,...,an))=1
Conclure que la boule unité de En’est pas compacte.
Exercice 14 [ 02778 ] [Correction]
Soient (E,kk) un espace vectoriel normé et Fun sous-espace vectoriel de dimension finie
de E.
(a) Montrer
∀x∈E,∃y∈F,d(x,F)=kx−yk
(b) Montrer, si F,E, qu’il existe u∈Etel que d(u,F)=kuk=1.
(c) Montrer que Eest de dimension finie si, et seulement si, la boule unité fermée
B=x∈Ekxk≤1est une partie compacte.
Exercice 15 [ 03472 ] [Correction]
Soient Kune partie compacte d’un espace de dimension finie et r>0.
Montrer la compacité de la partie
Kr=[
x∈K
Bf(x,r).
Compacité et continuité
Exercice 16 [ 01175 ] [Correction]
Soit Eun espace vectoriel normé de dimension finie.
(a) Soit Aune partie non vide de E. Montrer que l’application x7→ d(x,A) est continue
sur E.
(b) Soit Kun compact non vide inclus dans un ouvert U.
Montrer qu’il existe α > 0 tel que
∀x∈K,B(x, α)⊂U
Exercice 17 [ 04089 ] [Correction]
Soientt Kun compact non vide d’un espace normé Eet f:K→Ktelle que
∀(x,y)∈K2,x,y=⇒
f(x)−f(y) < x−y
(a) Montrer que fpossède au plus un point fixe.
(b) Justifier qu’il existe c∈Ktel que
∀x∈K,
f(x)−x ≥ f(c)−c
(c) En déduire que fadmet un point fixe.
Exercice 18 [ 02775 ] [Correction]
Soient (E,k.k) un espace vectoriel normé, Kun compact non vide de Eet f:K→Ktelle
que
∀(x,y)∈K2,x,y=⇒kf(x)−f(y)k<kx−yk
(a) Montrer qu’il existe un unique point fixe cde fsur K.
(b) Soit (xn) telle que xn+1=f(xn) et x0∈K. Montrer que la suite (xn) converge vers c.
Exercice 19 [ 01176 ] [Correction]
Soit Kun compact non vide d’un espace vectoriel normé Ede dimension finie.
On considère une application f:K→Kvérifiant
∀x,y∈K,x,y=⇒d(f(x),f(y)) <d(x,y)
Montrer que fadmet un unique point fixe.
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Exercice 20 [ 02955 ] [Correction]
Soient Eun R-espace vectoriel de dimension finie, udans L(E) et Cun compact convexe
non vide de Estable par u.
Si n∈N∗, soit
un=1
n
n−1
X
i=0
ui
(a) Montrer que :
∀n∈N,un(C)⊂C
(b) Ndésgine une norme sur Eet x∈un(C). Proposer un majorant de N(x−u(x)).
(c) Montrer que
\
n∈N∗
un(C),∅
(d) Montrer que upossède un point fixe dans K.
Exercice 21 [ 03410 ] [Correction]
Soient fune application continue de Rdans Ret Iun segment inclus dans l’image de f.
Montrer qu’il existe un segment Jtel que
f(J)=I
Exercice 22 [ 03471 ] [Correction]
Soit Eun espace normé et fune application vérifiant
∀x,y∈E,kf(x)−f(y)k=kx−yk
Soit Kune partie compacte de Etelle que f(K)⊂K.
(a) Pour x∈Kon considère la suite récurrente (xn) donnée par
x0=xet ∀n∈N,xn+1=f(xn)
Montrer que xest valeur d’adhérence de la suite (xn).
(b) En déduire que f(K)=K.
Exercice 23 [ 03857 ] [Correction]
Soit Kune partie compacte non vide d’un espace vectoriel normé Ede dimension finie.
On considère une application f:K→Kvérifiant ρ-lipschitzienne i.e. vérifiant
∀x,y∈K,kf(y)−f(x)k≤ρky−xk
(a) On suppose ρ < 1. Montrer que fadmet un point fixe.
(b) On suppose ρ=1 et Kconvexe. Montrer à nouveau que fadmet un point fixe. On
pourra introduire, pour a∈Ket n∈N∗, les fonctions
fn:x7→ a
n
+n−1
nf(x)
Exercice 24 [ 01173 ] [Correction]
Soient Eet Fdeux espaces vectoriels normés de dimensions finies.
Soient Kun compact de Eet f:K→Fune application continue injective.
(a) On pose L=f(K). Montrer que Lest compact.
(b) Montrer que f−1:L→Kest continue.
Exercice 25 [ 04074 ] [Correction]
Soit fune fonction numérique continue sur [0 ; +∞[ telle que fait une limite finie `en
+∞.
Démontrer que fest uniformément continue sur [0 ; +∞[.
Exercice 26 [ 04103 ] [Correction]
Edésigne un espace vectoriel euclidien et fun endomorphisme de E.
(a) Soit x∈Eet r>0. Justifier que la boule Bf(x,r) est compacte. Que dire de
f(Bf(x,r)) ?
(b) Soit x∈Eet un réel rtel que 0 <r<kxk. On note K=Bf(x,r) et on suppose
f(K)⊂K.
On fixe a∈Ket on pose, pour tout n∈N∗
yn=1
n
n−1
X
k=0
fk(a)
Justifier que (yn)n≥1est une suite d’éléments de Ket que f(yn)−yntend vers 0E. En
déduire qu’il existe un vecteur w∈Ktel que f(w)=w.
(c) On reprend les notations précédentes et on suppose toujours f(K)⊂K.
Montrer que 1 ∈Sp fet Sp f⊂[−1; 1].
(d) À l’aide d’un exemple choisi en dimension 3, montrer que fn’est pas
nécessairement diagonalisable.
(e) Dans cette dernière question, on choisit dim E=3, B=(e1,e2,e3) base orthonormée
de Eet
K=(x.e1+y.e2+z.e3|x2
a2+y2 b2+z2 c2≤1)(avec a,b,c>0)
On suppose f(K)=K. Montrer que 1 ou −1 est valeur propre de f.
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Raisonnement de compacité
Exercice 27 [ 01161 ] [Correction]
Soient Kune partie compacte non vide d’un espace vectoriel normé Eet x∈E.
Montrer qu’il existe y∈Ktel que
d(x,K)=ky−xk
Exercice 28 [ 01165 ] [Correction]
Soient Fun fermé et Kun compact d’un espace vectoriel normé E.
Établir que la partie F+K=x+yx∈F,y∈Kest fermée.
Exercice 29 [ 01166 ] [Correction]
Soit Kun compact d’un espace vectoriel normé Etel que 0 <K.
On forme F={λ.x|λ∈R+,x∈K}. Montrer que Fest une partie fermée.
Exercice 30 [ 01167 ] [Correction]
Soient Ket Ldeux compacts disjoints d’un K-espace vectoriel.
Montrer que d(K,L)>0.
Exercice 31 [ 01174 ] [Correction]
Soient Ket Ldeux compacts non vides et disjoints. Montrer
d(K,L)=inf
x∈K,y∈Lky−xk>0
Exercice 32 [ 01168 ] [Correction]
Soit Fune partie fermée non vide d’un espace vectoriel normé de dimension finie E.
(a) Montrer que, pour tout x∈E, la distance de xàFest atteinte en un certain élément
y0∈F.
(b) Y a-t-il unicité de cet élément y0?
Exercice 33 [ 02772 ] [Correction]
Soient fune fonction de Rdans Ret
Γf={(x,f(x)) |x∈R}
son graphe.
(a) On suppose fcontinue. Montrer que Γfest fermé.
(b) On suppose fbornée et Γfest fermé dans R2. Montrer que fest continue.
(c) Le résultat précédent subsiste-t-il si l’on ne suppose plus fbornée ?
Exercice 34 [ 01177 ] [Correction]
Soit f:X⊂E→Favec Fespace vectoriel normé de dimension finie.
On suppose que fest bornée et que
Γf=(x,y)∈X×Fy=f(x)
est une partie fermée de E×F.
Montrer que fest continue.
Exercice 35 [ 03274 ] [Correction]
Soit Aune partie bornée non vide d’un R-espace vectoriel de dimension finie E.
(a) Montrer qu’il existe une boule fermée de rayon minimal contenant A.
(b) On suppose l’espace Eeuclidien, montrer l’unicité de la boule précédente.
Exercice 36 [ 03305 ] [Correction]
(a) Soit Fune partie fermée d’un K-espace vectoriel Ede dimension finie.
L’ensemble F0=Sx∈FB(x,1) est-il fermé ?
(b) Qu’en est-il si on ne suppose plus l’espace Ede dimension finie ?
Exercice 37 [ 02776 ] [Correction]
Soient E1et E2deux espaces vectoriels normés réels, fune application de E1dans E2
telle que pour tout compact Kde E2,f−1(K) soit un compact de E1. Montrer, si Fest un
fermé de E1, que f(F) est un fermé de E2.
Exercice 38 [ 01183 ] [Correction]
Soit (Fn) une suite décroissante de fermés non vides et bornés d’un espace vectoriel
normé Ede dimension finie. On suppose que δ(Fn)→0 en notant
δ(Fn)=sup
x,y∈Fn
ky−xk
Montrer que Tn∈NFnest un singleton.
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Exercice 39 [ 01179 ] [Correction]
Soit Fun sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel normé E.
(a) On suppose Ede dimension finie. Montrer que ¯ F=F.
(b) On ne suppose plus Ede dimension finie, montrer qu’il est possible que ¯ F,F.
Exercice 40 [ 02637 ] [Correction]
On note (.|.)le produit scalaire canonique sur Rnet k.kla norme associée. On rappelle
l’inégalité de Cauchy-Schwarz : si x,y∈Rn,(x|y)≤kxk kykavec égalité si, et seulement
si, xet ysont colinéaires et de même sens.
(a) Soit x,a,b∈Rntel que a,bet kx−ak=kx−bk. Montrer que
x−a+b
2
<kx−ak
(b) Soit Fun fermé non vide de Rnet x∈Rn. Montrer qu’il existe a∈Ftel que
kx−ak=inf
y∈Fkx−yk
On supposera d’abord que Fest borné avant d’étudier le cas général.
(c) Soit Aun convexe fermé non vide de Rn. Montrer qu’il existe un unique a∈Atel que
kx−ak=inf
y∈Akx−yk
On note a=P(x) ce qui définit une application P:Rn→Aappelée projection sur le
convexe A.
(d) Montrer que s’il existe a∈Atel que (x−a|y−a)≤0 pour tout y∈A, on a a=P(x).
(e) On suppose qu’il existe un y∈Atel que
(x−P(x)|y−P(x))>0
En considérant les vecteurs de la forme ty +(1 −t)P(x) avec t∈[0 ; 1], obtenir une
contradiction.
(f) Déduire de d) et e) que a=P(x) si, et seulement si, a∈Aet (x−a|y−a)≤0 pour
tout y∈A.
(g) Établir que pour tout x,y∈Rn,
(x−y|P(x)−P(y)) ≥kP(x)−P(y)k2
En déduire que Pest continue.
Exercice 41 [ 04090 ] [Correction]
Soit A∈ Mn(K) telle que la suite (Ap)p∈Nsoit bornée. On étudie la suite Bpp≥1avec
Bp=1
p
p−1
X
k=0
Ak
(a) Montrer que la suite Bpp≥1admet une valeur d’adhérence B.
(b) Montrer que Bvérifie B(In−A)=Onet B2=B.
(c) En déduire que Best une projection sur ker(A−In) parallèlement à Im(A−In).
(d) Conclure que la suite Bpp≥1converge vers B.
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