Trigonométrie cours 3e

Trigonométrie cours 3e
F.Gaudon
9 novembre 2004
Table des matières
1 Cosinus, sinus et tangente d’un
1.1 Cosinus (rappel) . . . . . . . .
1.2 Sinus . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Tangente . . . . . . . . . . . .
angle
. . . .
. . . .
. . . .
aigu
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
2 Application au calcul d’angles et de longueurs
2.1 Calcul du sinus, de la tangente ou du cosinus d’un angle dont
la mesure est connue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Calcul de la mesure d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Cas où l’on connaı̂t la mesure de l’angle . . . . . . .
2.2.2 Cas où l’on connaı̂t deux longueurs dans un triangle
rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Calcul de longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2
3
.
.
.
3
3
3
.
.
3
4
3 Relations trigonométriques
4
4 Valeurs particulières du cosinus, du sinus et de la tangente
6
5 Angles inscrits
6
1
1
Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu
C
H
coté opposé H
H
Z en B HH
à l’angle
H
Z
~
Z
A
1.1
HH
HH
Y
H
H
H
hypoténuse
H
H
H
H
B
coté adjacent
à l’angle en B
Cosinus (rappel)
Définition :
d = longueur du côté adjacent
cos(ABC)
longueur de l’hypoténuse
1.2
Sinus
Définition :
d le nombre noté sin ABC
d défini
On appelle sinus de l’angle aigu ABC,
par :
d = longueur du côté opposé
sin(ABC)
longueur de l’hypoténuse
1.3
Tangente
Définition :
d le nombre noté tan ABC
d défini
On appelle tangente de l’angle aigu ABC,
par :
d = longueur du côté opposé
tan(ABC)
longueur du côté adjacent
2
Remarque :
Le sinus et le cosinus d’un angle aigu sont compris entre 0 et 1, ce n’est pas
le cas de la tangente.
2
Application au calcul d’angles et de longueurs
La calculatrice doit être en mode DEGRÉS.
2.1
Calcul du sinus, de la tangente ou du cosinus d’un
angle dont la mesure est connue
Exemple :
Calcul de sin(60◦ ).
On tape 60 sin = ou sin 60 = suivant le modèle de calculatrice.
Il s’affiche 0,86602540.
Attention ce n’est qu’une valeur approchée de sin(60◦ ).
Arrondie à 0,01 près on a : sin(60◦ ) ≈ 0, 87.
2.2
2.2.1
Calcul de la mesure d’un angle
Cas où l’on connaı̂t la mesure de l’angle
Exemple :
Calcul de l’angle x dont la tangente vaut 1, 3.
On tape 1,3 tan−1 = ou tan−1 1,3 = ou 1,3 inv tan = ou1,3
etc. suivant les calculatrices.
Il s’affiche 52,43140797.
Attention, ce n’est qu’une valeur approchée.
Arrondie à 0,1 près on a : x ≈ 52, 4◦ .
2.2.2
1
tan
=,
Cas où l’on connaı̂t deux longueurs dans un triangle rectangle
Exemple :
Soit EF G un triangle rectangle en F avec EF = 2, 6 cm et EG = 4 cm.
d .
Calcul de l’angle EGF
3
Dans le triangle EF G rectangle en F , on connaı̂t le côté opposé à l’angle et
l’hypoténuse :
d = AB
sin EGF
CB
2, 6
=
4
= 0, 65
d mesure 40,5◦ environ.
Donc l’angle EGF
2.3
Calcul de longueurs
Exemple :
d = 40◦ .
Soit ABD un triangle rectangle en B tel que AB = 9 cm et BAD
Calcul de la longueur BD.
d et le côté
Dans le triangle ABD rectangle en B, on connaı̂t l’angle BAD
adjacent, on cherche le côté opposé :
d = BD
tan BAD
BA
BD
tan 40◦ =
9
c◦ × 9 c’est à dire BD ≈ 7, 6 cm.
Donc BD = tan 40
3
Relations trigonométriques
C
H
HH
HH
HH
HH
A
Propriété :
4
HH
HH
H
B
Lorsque deux angles sont complémentaires, le sinus de l’un est égal au
cosinus de l’autre. C’est à dire, pour tout angle aigu x,
cos(x) = sin(90 − x) et sin(x) = cos(90 − x)
Preuve :
AB
BC
d
= sin(ACB)
d =
cos(ABC)
d
= sin(90 − ABC)
Propriété :
Pour tout angle aigu x,
cos2 (x) + sin2 (x) = 1
où on note
(cos(x))2 = cos2 x
Preuve :
d + sin2 (ABC)
d = ( AB )2 + ( AC )2
cos2 (ABC)
BC
BC
AB 2 AC 2
+
=
AC 2 BC 2
AB 2 + AC 2
=
BC 2
D’après le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A :
BC 2 = AB 2 + AC 2 Donc
BC 2
BC 2
=1
d + sin2 (ABC)
d =
cos2 (ABC)
5
Propriété :
Pour tout angle aigu x tel que cos(x) 6= 0,
tan(x) =
sin(x)
cos(x)
Preuve :
d =
tan(ABC)
AC
AB
d
sin(ABC)
=
d
cos(ABC)
AC
BC
AB
BC
BC
AC
×
BC
AB
AC
=
AB
=
4
Valeurs particulières du cosinus, du sinus
et de la tangente
angle
0◦
30◦
cosinus
1
√
45◦
60◦
5
3
√2
2
2
1
2
sinus
0
tangente
0
1
√2
2
√2
3
2
√1
3
1
√
3
Angles inscrits
Définition :
Sur un cercle C de centre O, on considère trois points A, B et M. L’angle
d est appelé angle au centre. On dit que l’angle AM
dB est inscrit
AOB
dans le cercle si M se trouve du même côté que O par rapport à la droite
(AB).
6
Propriété :
dB a pour mesure la moitié de la mesure de l’angle AOB
d c’est
L’angle AM
à dire :
d = 2 × AM
dB
AOB
Preuve :
admise
7