loi binomiale échantillonnage

LOI BINOMIALE
ÉCHANTILLONNAGE
Activité de recherche :
On appelle "expérience" le fait de jeter 15 fois un dé cubique parfaitement équilibré dont les
faces sont numérotées de 1 à 6. On s’intéresse au nombre d’obtentions de la face n°6.
1. On souhaite obtenir exactement 3 fois la face n°6 lors de cette expérience. Déterminer à
l’aide d’un arbre pondéré le nombre de chemins favorables à cet événement.
2. En déduire que la probabilité d’obtenir exactement 3 fois la face n°6 lors de cette expé-
rience est à peu près égal à 0,236.
3. Créer un algorithme permettant de simuler cette expérience.
4. Modifier l’algorithme précédent pour répéter 1000 fois l’expérience et vérifier le résultat
de la question 2.
I : Épreuve de Bernoulli et loi binomiale :
1. Schéma de Bernoulli :
Exemple :
On lance deux fois une pièce de monnaie parfaitement équilibrée.
Les deux lancers sont indépendants (c’est-à-dire que le résultat du
second lancer ne dépend pas du résultat du premier). À chaque
lancer, on a p(F) = p(P) = 1
2.
On peut représenter la succession des deux lancers par un arbre et
faire figurer les probabilités sur chaque branche de cet arbre (On
dit dans ce cas qu’il s’agit d’un arbre pondéré).
F
F
1/2
P
1/2
1/2
P
F
1/2
P
1/2
1/2
La probabilité d’obtenir deux fois "Face" est p(F, F ) = 1
2×1 2=1 4
La probabilité d’obtenir deux fois "Pile" est p(P, P ) = 1
2×1 2=1 4
La probabilité d’obtenir "Face" suivi de "Pile" est p(F, P ) = 1
2×1 2=1 4
La probabilité d’obtenir "Pile" suivi de "Face" est p(P, F ) = 1
2×1 2=1 4
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Exercice 1. :
Une pièce n’est pas parfaitement équilibrée. En effectuant un grand nombre de lancers,
on a remarqué que "Face" est obtenu dans 40% des cas et "Pile" dans 60% des cas.
On admet donc qu’à chaque lancer, on a p(F) = 2
5et p(P) = 3 5.
On lance deux fois cette pièce de monnaie. Les deux lancers sont indépendants.
(a) Représenter la situation par un arbre et faire figurer les probabilités sur chaque
branche de cet arbre.
(b) Déterminer p(P,P) et p(F,F).
(c) Déterminer la probabilité de l’événement E :
« obtenir une fois "Pile" et une fois "Face" »
(d) On considère la variable aléatoire X qui à chaque éventualité fait correspondre le
nombre de fois que l’on a obtenu "Face".
Donner la loi de probabilité de X et calculer l’espérance mathématique de X.
Exercice 2. :
On utilise une pièce de monnaie dont on ne sait pas si elle est équilibrée.
Pour cette pièce on suppose que la probabilité d’obtenir "Face" est un nombre réel p de
l’intervalle [0; 1].
(a) Donner la valeur de la probabilité d’obtenir "Pile".
(b) On lance deux fois cette pièce de monnaie. Les deux lancers sont indépendants.
i. Représenter la situation par un arbre pondéré.
ii. On considère la variable aléatoire X qui à chaque éventualité fait correspondre
le nombre de fois que l’on a obtenu "Face". Donner la loi de probabilité de X
et calculer l’espérance mathématique de X.
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Définition : On appelle épreuve de Bernoulli une épreuve ayant deux éventualités : S
(succès) et E (échec).
La loi de Bernoulli de paramètre p associe à l’événement S la probabilité p et à E la
probabilité 1−p.
Exemple :
On considère une épreuve de Bernoulli, les deux éventualités sont S : "Succès" et E :
"Échec". Notons p(S) = pet p(E) = 1 −p.
On répète trois fois cette épreuve, de manière indépendante, et on s’intéresse au nombre
de Succès que l’on obtient sur les trois essais.
On peut traduire la situation par un arbre de probabilités :
S
S
S
E
E
S
E
E
S
S
E
E
S
E
p
p
p
1−p
1−pp
1−p
1−p
p
p
1−p
1−pp
1−p
D’après l’arbre, la probabilité d’obtenir la suite (S;S;E)est : p×p×(1 −p) = p2(1 −p)
De même la probabilité de (S;E;S)est p2(1 −p)et la probabilité de (E;S;S)est aussi
p2(1 −p)
La probabilité d’obtenir exactement deux Succès sur les trois essais est la probabilité de
l’événement :{(S;S;E); (S;E;S); (E;S;S)}. Elle est donc égale à 3p2(1 −p).
En notant xile nombre de Succès obtenus sur les trois essais, on peut justifier que
l’obtient la loi de probabilité ci-dessous :
xi0 1 2 3
pi(1 −p)33p(1 −p)23p2(1 −p)p3
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Exercice 3. :
La société qui imprime des tickets pour un jeu de grattage a reçu la consigne d’imprimer
5% de tickets gagnants. Ces tickets gagnants sont soigneusement mélangés avec les autres
tickets qui eux sont perdants.
Lorsqu’une personne achète un ticket, on note :
G l’événement : « le ticket est gagnant » ;
P l’événement : « le ticket est perdant ».
Une personne achète trois tickets.
(a) Représenter un arbre pondéré qui illustre la situation.
(b) Quelle est la probabilité que les trois tickets achetés soient gagnants?
(c) Justifier que la probabilité qu’un seul des trois tickets soit gagnant est égale à
0,135375.
(d) On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de tickets gagnants obtenus (sur
les trois tickets achetés).
Donner la loi de probabilité de X.
Calculer l’espérance mathématique de X.
Définition : On appelle schéma de Bernoulli, la répétition n fois, de manière identique
et indépendante, d’une épreuve de Bernoulli.
Si X est la variable aléatoire correspondant au nombre de succès à l’issue du schéma de
Bernoulli, on appelle loi binomiale la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
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2. Coefficients binomiaux :
Définition : On répète n fois, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli et on
considère l’arbre correspondant à cette répétition.
On appelle coefficient binomial n
kle nombre de chemins de l’arbre réalisant k succès.
Exemple :
Si l’on considère l’arbre de l’exemple page 2 correspondant à 3 répétitions, on peut établir
les 8 chemins suivants : SSS ; SSE ; SES ; SEE ; ESS ; ESE ; EES ; EEE
Un seul chemin réalise 3 succès : c’est SSS. On a donc 3
3= 1 .
Trois chemins réalisent 2 succès : ce sont SSE; SES ; ESS. On a donc 3
2= 3 .
Trois chemins réalisent 1 succès : ce sont SEE ; ESE ; EES. On a donc 3
1= 1.
Un seul chemin réalise 0 succès : c’est EEE . On a donc 3
0= 1 .
Exercice 4. :
Faire un arbre correspondant à un schéma de Bernoulli à 4 répétitions.
En déduire que : 4
4=.... ;4
3=.... ;4
2=.... ;4
1=.... ;4
0=.....
Remarque(s) :
Les coefficients binomiaux peuvent être donnés par une calculatrice ou un ordinateur.
Pour déterminer le coefficient 4
2
Calculatrice TI : 4 MATH PRB nCr 2 ENTER
Calculatrice Casio : 4 OPTN PROB nCr 2
Tableur : =COMBIN(4 ;2)
Exercice 5. :
Observer le tableau ci-dessous qui donne les coefficients binomiaux et complétez-le :
k 012345678910
n
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5
6
7
8
9
10
Propriété : Dans un schéma de Bernoulli comportant n répétitions, si p est la probabilité
du succès de l’épreuve de Bernoulli, la probabilité d’obtenir k succès (avec 0≤k≤n)
est : p(X=k) = n
kpk(1 −p)n−k.
On dit que la loi binomiale a pour paramètres n et p. On la note B(n ; p).
Exemple :
Une pièce de monnaie n’est pas équilibrée et la probabilité d’obtenir "Pile" est égale à
0,6. On jette 10 fois cette pièce.
La probabilité d’obtenir 7 fois "Pile" est :
p(X= 7) = 10
7×0,67×(1 −0,6)10−7=10 7×0,67×0,43.
Montrez à l’aide de votre calculatrice que cette probabilité est environ égale à : 0,21499 .
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