Adhérence et intérieur de l`ensemble des matrices diagonalisables

Adhérence et intérieur de l’ensemble des matrices diagonalisables
de Mn(C)?
Montrons que toute matrice de Mn(C)est limite d’une suite de matrices
diagonalisables ; soit M∈M
n(C),onpeuttrigonaliser
M=PTP−1
où P∈GL
n(C),T∈T
+
n(C).Notons,sik∈N,Tkla matrice dont tous
les coefficients non diagonaux sont égaux à ceux de T,etlescoefficients
diagonaux sont :
(Tk)i,i =Ti,i +1
i+k
Alors, assez clairement, Tk−− − −→
k→+∞T,donc(linéarité,donccontinuitéde
A→ P AP −1)PT
kP−1−− − −→
k→+∞M.Quiplusest,àpartird’uncertainrang,
les coefficients diagonaux de Tksont deux à deux distincts (une justification :
si tous les Ti,i sont égaux, c’est assez clair. Sinon, soit δ>0le plus petit des
|Ti,i −Tj,j |non nuls. A partir d’un certain rang k0,onaura n
k2<δ,etalors,
si i=j
(Tk)i,i =(Tk)j,j ⇒Ti,i −Tj,j =i−j
(k+i)(k+j)⇒0<|Ti,i −Tj,j |<δ
qui montre par l’absurde ce qu’on voulait). Donc Tkest diagonalisable, et
PT
kP−1aussi. La caractérisation de l’adhérence par les suites montre :
L’adhérence dans Mn(C)de l’ensemble des matrices diagonalisables est Mn(C)
Cherchons maintenant (plus difficile) l’intérieur ; l’exemple simple
01/p
00
−− − −→
p→+∞
00
00
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montre que la matrice nulle, diagonalisable, est limite d’une suite de matrices
non diagonalisables, donc la matrice nulle n’est pas dans l’intérieur de l’en-
semble des matrices diagonalisables. S’inspirant de cet exemple, on peut pen-
ser qu’une matrice diagonalisable ayant au moins une valeur propres double
n’est pas intérieure à l’ensemble des matrices diagonalisables. Soit en effet
Mune telle matrice ; elle s’écrit
M=PDP−1
avec Pinversible et Ddiagonale, et où l’on peut supposer D1,1=D2,2=λ.
Soit Tp=D+1
pE1,2(les coefficients de Tpsont ceux de D,sauflecoefficient
(1,2)). Tpn’est pas diagonalisable (le rang de Tp−λInest n−mλ+1 où mλ
est le nombre d’apparitions de λsur la diagonale, c’est-à-dire la multiplicité
de λ.DoncladimensiondeKer(Tp−λIn)est mλ−1,cequifaitqueTpn’est
pas diagonalisable). Comme
PT
pP−1−− − −→
p→+∞PDP−1=M
Mest dans l’adhérence de l’ensemble des matrices non diagonalisables, elle
n’est donc pas dans l’intérieur des matrices diagonalisables.
On conclut provisoirement que :
L’intérieur dans Mn(C)de l’ensemble des matrices
diagonalisables est inclus dans l’ensemble des matrices
ayant nvaleurs propres distinctes
L’inclusion réciproque est le passage délicat. Soit (Mp)une suite de matrices
convergeant vers une matrice M.OnsupposequeManvaleurs propres
distinctes. Montrons qu’alors, à partir d’un certain rang, Mpaelleaussin
valeurs propres distinctes. Notons λ1,...,λ
nles valeurs propres de M.Soit
δ>0,etsupposonsqueMpn’ait pas de valeur propre dans le disque D(λ1,δ).
Le polynôme caractéristique de Mps’écrit
χp(X)=
n
i=1
(X−µi,p)
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où les µi,p sont les valeurs propres de Mp,comptéesavecleurmultiplicité.
On aurait, pour tout i,|µi,p −λ1|≥δ,donc
|χp(λ1)|≥δn
Or, par continuité du déterminant,
χp(λ1)=det(λ1In−Mp)−− − −→
p→+∞det(λ1In−M)=0
Donc, à partir d’un certain rang,
|χp(λ1)|<δ
n
ce qui permet de conclure que, pour tout δ>0,ilexisteunrangàpartir
duquel MpaaumoinsunevaleurpropredansledisqueD(λ1,δ).Idempour
les autres λi. Choisissons alors δstrictement inférieur à la moitié de la plus
petite distance entre deux λi:
0<δ<1
2min{|λi−λj|;i=j}
Apartird’uncertainrang,Mpaaumoinsunevaleurpropredanschacun
des D(λi,δ),orcesdisquessontdisjoints,doncMpaaumoinsnvaleurs
propres distinctes, donc Mpest diagonalisable. Il n’existe donc pas de suite
de matrices non diagonalisables qui converge vers M.DoncMn’appartient
pas à l’adhérence de l’ensemble des matrices non diagonalisables. Donc M
appartient à l’intérieur de l’ensemble des matrices diagonalisables.
L’intérieur dans Mn(C)de l’ensemble des matrices dia-
gonalisables est l’ensemble des matrices ayant nvaleurs
propres distinctes
Remarque : Il y a bien d’autres manières d’aborder cette question. Ici, on
aévitédeseposerdesproblèmesdecontinuitédel’applicationquiàune
matrice associe son polynôme caractéristique, de « continuité » des racines
d’un polynôme. . .
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Commutant d’une matrice ou d’un endomorphisme
La recherche du commutant d’une matrice ou d’un endomorphisme est un
problème important, parfois sous-jacent à certains énoncés : par exemple,
si on donne une matrice carrée A,sioncherchelesmatricesXtelles que
X2+X=A,oncommenceraparremarquerqu’unetellematricecommute
nécessairement avec A.
1. Cas des endomorphismes diagonalisables
Soit Eun espace vectoriel de dimension n,fun endomor-
phisme de E.Lecommutantdefest Cf,ensembledesendo-
morphismes de Equi commutent avec f.C’estunsous-espace
vectoriel de L(E).
(a) Trouver les matrices qui commutent avec une matrice car-
rée diagonale à coefficients distincts.
Soit Dune matrice diagonale de Mn(K)àcoefficientsdiagonaux
distincts (on les notera diplutôt que di,i). Soit A∈M
n(K).Alors
AD =DA ⇔∀(i, j)∈{1,...,n}2(AD)i,j =(DA)i,j
⇔∀(i, j)∈{1,...,n}2ai,j dj=diai,j
On obtient donc assez facilement (en distinguant ci-dessus les cas
i=jet i=j):
AD =DA ⇔(Adiagonale)
(b) Si fest diagonalisable, déterminer la dimension de Cf
en fonction des dimensions des sous-espaces propres de
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f(on pourra remarquer qu’un endomorphisme qui com-
mute avec flaisse stables les sous-espaces propres de f,
et éventuellement poser le problème matriciellement).
Soit fdiagonalisable, λ1,...,λ
pses valeurs propres (distinctes) ;
pour chaque i,onnoteEile sous-espace propre Ei= Ker(f−λiId),
et nila dimension de Ei(qui est aussi la multiplicité de λi,fétant
diagonalisable).
Si g∈C
f,gcommute avec f,doncavecf−λiId,doncglaisse
stable Ei(cours).
Mais la réciproque est vraie : supposons que glaisse stable chaque
Ei;six∈Ek,(f◦g)(x)=fg(x)=λkg(x)(car g(x)∈Ek); et
(g◦f)(x)=g(λkx)=λkg(x).g◦fet f◦gcoïncident sur chaque
Ek,or
p
k=1
Ek=E(car fest diagonalisable), donc f◦g=g◦f.
On a montré :
Si fest diagonalisable, les endomorphismes qui commutent
avec fsont les endomorphismes qui laissent stables les
sous-espaces propres de f
Maintenant, il reste à utiliser ceci pour calculer la dimension de
Cf.
Une première méthode (matricielle) : Soit Bune base adap-
tée à la décomposition E=E1⊕E2⊕...⊕Ep(les n1premiers
vecteurs de Bsont une base de E1,lesn2suivants une base de E2,
etc. . .). On vient de voir que gétait dans Cfsi et seulement si g
laissait stables tous les Ek,doncsietseulementsilamatricedeg
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