FORMULES ET TECHNIQUES AVEC LES NOMBRES REELS I

LYCEE BERTHOLLET PCSI 1 2010-2011
FORMULES ET TECHNIQUES AVEC LES NOMBRES REELS
I. Formules `a connaˆıtre:
Propri´ et´ es: D´ eveloppements et factorisations
Soit (a, b)∈R2. Alors :
carr´ e cube
(a+b)2=a2+ 2ab +b2(a+b)3=a3+ 3a2b+ 3ab2+b3
(a−b)2=a2−2ab +b2(a−b)3=a3−3a2b+ 3ab2−b3
a2−b2= (a−b)(a+b)a3−b3= (a−b)(a2+ab +b2)
a3+b3= (a+b)(a2−ab +b2)
Remarque: On peut g´en´eraliser ces formules et obtenir les formules suivantes :
pour (a, b)∈R2et n∈Non a
(a+b)n=
n
X
k=0 n
kakbn−kavec n k=n! k!(n−k)!
Cette formule est appel´ee la formule du binˆome de Newton, que l’on reverra de fa¸con plus approfondie
dans le cours sur les entiers. les entiers n
kpeuvent ˆetre obtenus plus rapidement par le triangle de
Pascal :
01234
0
1
2
3
4
Cette formule g´en´eralise les deux premi`eres lignes du tableau pr´ec´edent.
On a aussi pour (a, b)∈R2et n∈N∗:
an−bn= (a−b)(an−1+an−2b+···+an−1−kbk+···+abn−2+bn−1)
ce que l’on peut ´ecrire avec le symbole somme :
an−bn= (a−b) n−1
X
k=0
an−1−kbk!
Et enfin pour (a, b)∈R2et n∈N∗et nimpair :
an+bn= (a+b)(an−1−an−2b+···+ (−1)kan−1−kbk+··· − abn−2+bn−1)
ce que l’on peut ´ecrire avec le symbole somme :
an+bn= (a+b) n−1
X
k=0
(−1)kan−1−kbk!
Ces formules g´en´eralisent les deux derni`eres lignes du tableau.
1

Exemple:
(x−1)4=
x3−1 =
x4−1 =
x5+ 1 =
a5+b5=
II. Trinˆome du second degr´e:
1. polynˆomes et racines:
D´ efinition:
Soit Pune fonction polynomiale.
Une solution de l’´equation P(x) = 0 est appel´ee une racine du polynˆome P.
Proposition:
Si Pest une fonction polynomiale et αune racine de P(i.e. P(α) = 0) alors on peut factoriser Ppar
(x−α), i.e. P(x) = (x−α)Q(x)avec Qune autre fonction polynomiale.
Exemple: x3+ 4x2+ 5x+ 2 =
2. Racines et signes d’un trinˆome du second degr´e ax2+bx +c:
Proposition:
Soient a, b, c ∈Ravec a6= 0. Consid´erons l’´equation (E)ax2+bx +c= 0 d’inconnue x∈R. On note
∆ = b2−4ac ∈R, le discriminant de (E). Alors :
•Si ∆>0: l’´equation (E)admet deux solutions r´eelles distinctes
x1=−b+√∆
2aet x2=−b−√∆ 2a
•Si ∆ = 0 : l’´equation (E)admet une solution r´eelle double x0=−b
2a.
•Si ∆<0: l’´equation (E)admet deux solutions complexes conjugu´ees distinctes
x1=−b+i√−∆
2aet x2=−b−i√−∆ 2a
Remarque: Il est INUTILE de calculer le discriminant d’un trinˆome du second degr´e lorsque l’un des
trois r´eels a, b, c est nul :
•si a= 0 c’est un polynˆome de degr´e 1,
•si b= 0 et a6= 0 alors ax2+bx +c= 0 ⇔ax2+c= 0 ⇔x2=−c
a...,
•si c= 0 et a6= 0 alors ax2+bx +c= 0 ⇔x(ax +b) = 0 ⇔x= 0 ou x=−b
a.
Propri´ et´ es: Signe du trinˆ ome ax2+bx +c
Soient a, b, c ∈Ravec a6= 0. Consid´erons le polynˆome du 2nd degr´e P(x) = ax2+bx +c.
On note ∆ = b2−4ac ∈R, le discriminant de P. Alors :
•Si ∆ = 0 :
pour x∈R− {x0}, P (x)est du signe de a.
•Si ∆>0:
pour x∈]− ∞, x1[∪]x2,+∞[, P (x)est du signe de aet pour ]x1, x2[, P (x)est du signe de −a.
2

Propri´ et´ es:
Soient a, b, c ∈Ravec a6= 0. Si x1et x2sont les solutions de l’´equations ax2+bx +c= 0 alors
x1+x2=−b
aet x1x2=c a.
R´eciproquement si x1et x2sont deux r´eels et si on note S=x1+x2leur somme et P=x1x2leur
produit, alors x1et x2sont les solutions de l’´equation x2−Sx +P= 0.
D´emonstration:
Remarque:
1) Calculs rapides des racines d’un trinˆ ome du 2nd degr´ e :
Si on trouve une racine ´evidente d’un trinˆome du 2nd degr´e, on peut donc obtenir l’autre rapidement
avec la somme ou le produit, et ceci sans calculer le discriminant.
2) Si on trouve deux r´eels dont la somme Set le produit Psont les coefficients de l’´equation x2−Sx+P= 0,
ces r´eels sont les solutions de cette ´equation.
Exemple: D´eterminer les racines de P(x) = x2−5x+6 et Q(x) = x2−3x+2 sans calculer le discriminant.
Exercice:
D´eterminer le param`etre r´eel mpour que l’´equation suivante d’inconnue xait deux racines r´eelles positives
distinctes : m2x2+ (m−3)x+ 4 = 0.
Pr´eciser la position de ces deux racines par rapport `a 1.
3. Mise sous forme canonique:
Exemple: L’ensemble des points Mdu plan de coordonn´ees (x, y) v´erifiant l’´equation x2+y2−3x−4y= 0
est un cercle :
3

III. Ordre dans R:
1. Manipulations d’in´equations:
Propri´ et´ es:
Soient (a, b, c, d)∈R4.
1) si a≤balors a+c≤b+c(addtion d’une mˆeme quantit´e aux deux membres)
2) si a≤bet c≤dalors a+c≤b+d(addition de deux in´egalit´es membre `a membre)
3) si a≤balors −a≥ −b
4) si c≥0et a≤balors ac ≤bc
si c≤0et a≤balors ac ≥bc (multiplication d’une in´egalit´e par un r´eel)
5) si c > 0et ac ≤bc alors a≤b(multiplication par 1/c)
6) si 0≤a≤bet 0≤c≤dalors 0≤
ac ≤bd
(multiplication membre `a membre de deux in´egalit´es
lorsque tout est positif)
7) si aet bsont deux r´eels positifs alors
a≤b⇔a2≤b2
(´equivalence en ´elevant au carr´e lorsque tout est
positif)
8) si 0< a ≤balors 1
a≥1 b
si a≤b < 0alors 1
a≥1 b(passage `a l’inverse lorsque les r´eels sont de
mˆeme signe)
Remarque:
– sur la propri´et´e 2) :
on peut additionner deux in´egalit´es membre `a membre, mais on ne peut pas les soustaire !
– sur la propri´et´e 6) :
on peut multiplier deux in´egalit´es membre `a membre lorsque tout est positif, mais on ne peut pas
les diviser !
2. Techniques de majoration et de minoration:
Technique 1 : Majorer, minorer une somme de r´ eels
1) Une somme de nr´eels est major´ee par nfois le plus grand terme de la somme.
2) Une somme de nr´eels est minor´ee par nfois le plus petit terme de la somme.
Technique 2 : Majorer, minorer un produit de r´ eels
1) On majore un produit de r´eels positifs en majorant chacun de ses termes et en faisant le produit des
majorants. En particulier un produit de nr´eels positifs est major´e par le plus grand terme du produit
`a la puissance n.
2) On minore un produit de r´eels positifs en minorant chacun de ses termes et en faisant le produit des
minorants. En particulier un produit de nr´eels positifs est minor´e par le plus petit terme du produit `a
la puissance n.
Technique 3 : Majorer, minorer un quotient de r´ eels
1) On majore un quotient de r´eels positifs en majorant le num´erateur et en minorant le
d´enominateur puis en faisant le quotient du majorant par le minorant.
2) On minore un quotient de r´eels positifs en minorant le num´erateur et en majorant le
d´enominateur puis en faisant le quotient du minorant par le majorant.
C’est `a dire, pour (a, b, x, y)∈R4
si 0 ≤a≤xet 0 < y ≤balors a
b≤x y
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Technique 4 :
1) Pour d´emontrer une in´egalit´e du type f(x)≥0, on peut (apr`es avoir essayer avec la m´ethode alg´ebrique)
faire une ´etude des variations de f.
2) Pour d´emontrer une in´egalit´e du type f(x)≥g(x), on peut se ramener au point pr´ec´edent en
consid´erant la fonction h=f−g.
Exercice:
1) Montrer que ∀n∈N∗,1
n+ 1 +1 n+ 2 +···+1 2n≤1.
2) Montrer que ∀n∈N,n
n+ 1 ≤n+ 1 n+ 2.
3) Montrer que ∀x∈R, ex≥1 + x.
4) D´eterminer l’ensemble de d´efinition des fonctions fet gd´efinies par
f(x) = √4x2−8x+ 3 et g(x) = rx−1
x+ 1
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