FORMULES ET TECHNIQUES AVEC LES NOMBRES REELS I

LYCEE BERTHOLLET PCSI 1
2010-2011
FORMULES ET TECHNIQUES AVEC LES NOMBRES REELS
I. Formules à connaı̂tre:
Propriétés: Développements et factorisations
Soit (a, b) ∈ R2 . Alors :
carré
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
cube
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
Remarque: On peut généraliser ces formules et obtenir les formules suivantes :
pour (a, b) ∈ R2 et n ∈ N on a
n X
n
n!
n k n−k
(a + b) =
a b
avec
=
k
k
k!(n − k)!
n
k=0
Cette formule est appelée la formule du binôme
de Newton, que l’on reverra de façon plus approfondie
dans le cours sur les entiers. les entiers nk peuvent être obtenus plus rapidement par le triangle de
Pascal :
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
Cette formule généralise les deux premières lignes du tableau précédent.
On a aussi pour (a, b) ∈ R2 et n ∈ N∗ :
an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + an−1−k bk + · · · + abn−2 + bn−1 )
ce que l’on peut écrire avec le symbole somme :
n
n
a − b = (a − b)
n−1
X
a
n−1−k k
k=0
b
!
Et enfin pour (a, b) ∈ R2 et n ∈ N∗ et n impair :
an + bn = (a + b)(an−1 − an−2 b + · · · + (−1)k an−1−k bk + · · · − abn−2 + bn−1 )
ce que l’on peut écrire avec le symbole somme :
an + bn = (a + b)
n−1
X
(−1)k an−1−k bk
k=0
Ces formules généralisent les deux dernières lignes du tableau.
1
!
Exemple:
(x − 1)4 =
x3 − 1 =
x4 − 1 =
x5 + 1 =
a5 + b 5 =
II. Trinôme du second degré:
1. polynômes et racines:
Définition:
Soit P une fonction polynomiale.
Une solution de l’équation P (x) = 0 est appelée une racine du polynôme P .
Proposition:
Si P est une fonction polynomiale et α une racine de P (i.e. P (α) = 0) alors on peut factoriser P par
(x − α), i.e. P (x) = (x − α)Q(x) avec Q une autre fonction polynomiale.
Exemple: x3 + 4x2 + 5x + 2 =
2. Racines et signes d’un trinôme du second degré ax2 + bx + c:
Proposition:
Soient a, b, c ∈ R avec a 6= 0. Considérons l’équation (E) ax2 + bx + c = 0 d’inconnue x ∈ R. On note
∆ = b2 − 4ac ∈ R, le discriminant de (E). Alors :
• Si ∆ > 0 : l’équation (E) admet deux solutions réelles distinctes
√
√
−b + ∆
−b − ∆
x1 =
et x2 =
2a
2a
b
.
2a
• Si ∆ < 0 : l’équation (E) admet deux solutions complexes conjuguées distinctes
√
√
−b + i −∆
−b − i −∆
x1 =
et x2 =
2a
2a
• Si ∆ = 0 : l’équation (E) admet une solution réelle double x0 = −
Remarque: Il est INUTILE de calculer le discriminant d’un trinôme du second degré lorsque l’un des
trois réels a, b, c est nul :
• si a = 0 c’est un polynôme de degré 1,
c
• si b = 0 et a 6= 0 alors ax2 + bx + c = 0 ⇔ ax2 + c = 0 ⇔ x2 = − . . . ,
a
b
• si c = 0 et a 6= 0 alors ax2 + bx + c = 0 ⇔ x(ax + b) = 0 ⇔ x = 0 ou x = − .
a
Propriétés: Signe du trinôme ax2 + bx + c
Soient a, b, c ∈ R avec a 6= 0. Considérons le polynôme du 2nd degré P (x) = ax2 + bx + c.
On note ∆ = b2 − 4ac ∈ R, le discriminant de P . Alors :
• Si ∆ = 0 :
pour x ∈ R − {x0 }, P (x) est du signe de a.
• Si ∆ > 0 :
pour x ∈] − ∞, x1 [∪]x2 , +∞[, P (x) est du signe de a et pour ]x1 , x2 [, P (x) est du signe de −a.
2
Propriétés:
Soient a, b, c ∈ R avec a 6= 0. Si x1 et x2 sont les solutions de l’équations ax2 + bx + c = 0 alors
b
c
x1 + x2 = − et x1 x2 = .
a
a
Réciproquement si x1 et x2 sont deux réels et si on note S = x1 + x2 leur somme et P = x1 x2 leur
produit, alors x1 et x2 sont les solutions de l’équation x2 − Sx + P = 0.
Démonstration:
Remarque:
1) Calculs rapides des racines d’un trinôme du 2nd degré :
Si on trouve une racine évidente d’un trinôme du 2nd degré, on peut donc obtenir l’autre rapidement
avec la somme ou le produit, et ceci sans calculer le discriminant.
2) Si on trouve deux réels dont la somme S et le produit P sont les coefficients de l’équation x2 −Sx+P = 0,
ces réels sont les solutions de cette équation.
Exemple: Déterminer les racines de P (x) = x2 −5x+6 et Q(x) = x2 −3x+2 sans calculer le discriminant.
Exercice:
Déterminer le paramètre réel m pour que l’équation suivante d’inconnue x ait deux racines réelles positives
distinctes : m2 x2 + (m − 3)x + 4 = 0.
Préciser la position de ces deux racines par rapport à 1.
3. Mise sous forme canonique:
Exemple: L’ensemble des points M du plan de coordonnées (x, y) vérifiant l’équation x2 +y 2 −3x−4y = 0
est un cercle :
3
III. Ordre dans R:
1. Manipulations d’inéquations:
Propriétés:
Soient (a, b, c, d) ∈ R4 .
1) si a ≤ b alors a + c ≤ b + c
2)
si a ≤ b et c ≤ d alors a + c ≤ b + d
3)
si a ≤ b alors −a ≥ −b
4)
si c ≥ 0 et a ≤ b alors ac ≤ bc
(addtion d’une même quantité aux deux membres)
(addition de deux inégalités membre à membre)
si c ≤ 0 et a ≤ b alors ac ≥ bc
(multiplication d’une inégalité par un réel)
5)
si c > 0 et ac ≤ bc alors a ≤ b
(multiplication par 1/c)
6)
si 0 ≤ a ≤ b et 0 ≤ c ≤ d alors 0 ≤
ac ≤ bd
(multiplication membre à membre de deux inégalités
lorsque tout est positif)
7)
si a et b sont deux réels positifs alors
a ≤ b ⇔ a2 ≤ b 2
(équivalence en élevant au carré lorsque tout est
positif)
8)
si 0 < a ≤ b alors
1
1
≥
a
b
1
1
si a ≤ b < 0 alors ≥
a
b
(passage à l’inverse lorsque les réels sont de
même signe)
Remarque:
– sur la propriété 2) :
on peut additionner deux inégalités membre à membre, mais on ne peut pas les soustaire !
– sur la propriété 6) :
on peut multiplier deux inégalités membre à membre lorsque tout est positif, mais on ne peut pas
les diviser !
2. Techniques de majoration et de minoration:
Technique 1 : Majorer, minorer une somme de réels
1) Une somme de n réels est majorée par n fois le plus grand terme de la somme.
2) Une somme de n réels est minorée par n fois le plus petit terme de la somme.
Technique 2 : Majorer, minorer un produit de réels
1) On majore un produit de réels positifs en majorant chacun de ses termes et en faisant le produit des
majorants. En particulier un produit de n réels positifs est majoré par le plus grand terme du produit
à la puissance n.
2) On minore un produit de réels positifs en minorant chacun de ses termes et en faisant le produit des
minorants. En particulier un produit de n réels positifs est minoré par le plus petit terme du produit à
la puissance n.
Technique 3 : Majorer, minorer un quotient de réels
1) On majore un quotient de réels positifs en majorant le numérateur et en minorant le
dénominateur puis en faisant le quotient du majorant par le minorant.
2) On minore un quotient de réels positifs en minorant le numérateur et en majorant le
dénominateur puis en faisant le quotient du minorant par le majorant.
C’est à dire, pour (a, b, x, y) ∈ R4
si 0 ≤ a ≤ x et 0 < y ≤ b alors
4
a
x
≤
b
y
Technique 4 :
1) Pour démontrer une inégalité du type f (x) ≥ 0, on peut (après avoir essayer avec la méthode algébrique)
faire une étude des variations de f .
2) Pour démontrer une inégalité du type f (x) ≥ g(x), on peut se ramener au point précédent en
considérant la fonction h = f − g.
Exercice:
1) Montrer que ∀n ∈ N∗ ,
1
1
1
+
+ ··· +
≤ 1.
n+1 n+2
2n
n+1
n
≤
.
2) Montrer que ∀n ∈ N,
n+1
n+2
3) Montrer que ∀x ∈ R, ex ≥ 1 + x.
4) Déterminer l’ensemble de définition des fonctions f et g définies par
r
√
x−1
2
f (x) = 4x − 8x + 3 et g(x) =
x+1
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IV. Equations, inéquations et radicaux:
Principes de résolutions d’équations et inéquations :
1) Les équations et inéquations doivent la plupart du temps être résolues par équivalence en faisant très
attention au fait qu’il y ait bien équivalence à chaque fois (i.e. que l’on peut remonter dans les équivalents).
2) Pour des (in)équations, il faut en premier lieu déterminer les valeurs pour lesquelles cette
(in)équation est bien définie. En particulier si l’équation contient un radical, il faut déterminer les valeurs
pour lesquelles ce radical est défini.
3) Pour des (in)équations contenant un radical, il faut isoler celui-ci dans un des deux membres de
l’(in)équation pour ensuite élever avec précaution au carré. Attention, élever au carré dans une
(in)équation ne donne pas en général une assertion équivalente. Il faut vérifier que les deux membres
de l’(in)équation sont positifs.
Remarque:
Résoudre une une inéquation de type f (x) ≥ 0 ne revient en aucun cas à résoudre une équation du type
f (x) = 0 sauf dans le cas simple ou f est un trinôme du 2nd degré (cf signe d’un trinôme en fonction du
coefficient devant x2 et des racines).
Technique : Résolution d’(in)équation avec radical
Soient f : I → R et g: J → R et x ∈ I ∩ J tel que f (x) ≥ 0. Alors :
p
g(x) ≥ 0
1) f (x) = g(x) ⇔
2
f (x) = g(x)
p
g(x) ≥ 0
2) f (x) < g(x) ⇔
2
 f (x) < g(x)
 g(x) < 0
p
ou
3) f (x) > g(x) ⇔

(g(x) ≥ 0 et f (x) > g(x)2 )
Exercice:
√
1) Résoudre l’équation x − 1 = x
√+ 2 d’inconnue x réelle.
2) Résoudre l’inéquation x − 1 ≤ x + 2 d’inconnue x réelle.
Exercice:
√
1) Donner une CNS sur le réel a pour que l’ équation x − a = x d’inconnue x ∈ R possède au moins
une solution.√
2) Résoudre x2 + 2x − 3 > x − 1 d’inconnue x réelle.
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V. Valeur absolue:
Définition:
La valeur absolue de x ∈ R est
|x| = max(x, −x) =
x si x > 0
−x si x < 0
Propriétés: immédiates
Soit (x, y, M ) ∈ R3 .
1) |x| ≥ 0 et −|x| ≤ x ≤ |x|,
2) | − x| = |x|,
x |x|
.
3) |xy| = |x| × |y|, et si de plus y 6= 0 alors =
y
|y|
√
4) x2 = |x|,
5) |x| ≤ M ⇔ −M ≤ x ≤ M ,
6) x2 ≤ y 2 ⇔ |x| ≤ |y|.
Remarque: |x − y| est la distance entre les deux réels x et y. En particulier pour ǫ > 0, |x − y| < ǫ
signifie que la distance entre les deux réels x et y est < à ǫ.
De plus |x − y| < ǫ ⇔ y ∈]x − ǫ, y + ǫ[.
On dit que y est une valeur approchée de x à ǫ près.
Proposition:
Soit (x, y) ∈ R2 .
1ère inégalité triangulaire :
|x + y| ≤ |x| + |y| et aussi |x − y| ≤ |x| + |y|.
2ème inégalité triangulaire :
||x| − |y|| ≤ |x + y| et aussi ||x| − |y|| ≤ |x − y|.
Proposition:
Soit (x, y) ∈ R2 . Alors
max(x, y) =
x + y + |x − y|
x + y − |x − y|
et min(x, y) =
2
2
Démonstration:
Exercice:
Résoudre l’équation x2 +m|x|−6m2 = 0 d’inconnue réelle x, en discutant suivant les valeurs du paramètre
réel m. De même avec l’équation x2 + |m|x − 6m2 = 0.
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