Exercice 1 : Méthode pratique de détermination des diviseurs

TS spé – Fiche d’exercices 1A : Divisibilité dans l’ensemble des entiers relatifs
Exercice 1 : Méthode pratique de détermination des diviseurs positifs d’un nombre entier
Exemple : Déterminer tous les diviseurs positifs de 180
180
1
90
2
60
3
45
4
36
5
30
6
20
9
18
10
15
12
On obtient ci-contre la liste des diviseurs par essais successifs en réunissant les nombres figurant
dans la colonne de gauche et dans celle de droite. Il est inutile de poursuivre les divisions après 12
car, s’ils existent, les diviseurs apparaissent déjà dans la colonne de gauche.
On note :
D+ (180) = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 ; 12 ; 15 ; 18 ; 20 ; 30 ; 36 ; 45 ; 60 ; 90 ; 180}
Si l’on veut tous les diviseurs de 180, il suffit d’ajouter à la liste l’opposé de chacun des entiers
trouvés.
1 – Déterminer la liste des diviseurs positifs des entiers 72 ; 144 et 200.
2 – Les côtés d’un rectangle ont pour mesures des nombres entiers.
L’aire de ce rectangle est égale à 105. Quelles peuvent être ses dimensions ?
Exercice 2 : On forme un nombre de quatre chiffres dans le système décimal en respectant les deux étapes
suivantes :
on écrit de droite à gauche quatre chiffres consécutifs (par exemple : 1234)
on permute les deux chiffres de gauche (par exemple : 2134)
Démontrer que le nombre obtenu est un multiple de 11.
Exercice 3
1 – On veut déterminer les entiers relatifs n tels que n – 2 divise n + 7.
a)
b)
Justifier que n – 2 divise n + 7 si, et seulement si, n − 2 divise 9.
Trouver les valeurs de n solutions du problème.
2 – En appliquant cette méthode, déterminer les entiers relatifs n tels que n + 4 divise 3n + 24.
Exercice 4 – Résolution par analyse synthèse
x et y désignent des entiers naturels avec x > y
1 – a) Analyse : Démontrer que si x 2 y − xy2 = 6 , alors les entiers x, y et x − y divisent 6.
b) Synthèse : Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que x 2 y − xy2 = 6 et x > y .
2 – [Réflexion] Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que : x 2 y − 2 xy + y = 18
Exercice 5 :
Soit a et b deux entiers relatifs tels que b ≠ 0 . On admet que
a
appartient à Z si, et seulement si b a .
b
n désigne un entier naturel.
1 – Vérifier que : n3 − n = (n + 2)(n 2 − 2n + 3) − 6 .
2 – En déduire les valeurs de n pour lesquelles
n3 − n
est un entier.
n+2