td ingenieur epo

EPO– Ingénieur tronc commun Année académique 2021-2022
TD: Algèbre pour ingénieur
Exercice 1.
Trouver dle pgcd, et trouver u et v tels que d=ua +vb puis déterminer mle ppcm des nombres
suivants : a= 1599, b = 3471.
Exercice 2.
1. Déterminer le reste de la division euclidienne de: 2210 par 7;32189 par 25.
2. Montrer que (a+b)p≡ap+bpmod p.
Exercice 3.
Soit p un nombre premier impair. Montrer que pour tout entier a > 0, non divisible par p, on a
ap−1
2≡1 mod poù ap−1 2≡ −1 mod p.
(Utiliser le petit théorème de Fermat).
Exercice 4.
Résoudre les équations suivantes:
1. 2520x−3960y= 6480
2. x≡7 mod 9
x≡2 mod 8
3. 
x≡1 mod 3
x≡5 mod 7
x≡4 mod 11
Exercice 5.
Soit un entier n > 1.
1. Crible d’Ératosthène. Montrer que si n n’est pas un nombre premier alors il admet un facteur
m > 1tel que m≤√n.
2. En utilisant l’idée ci-dessus montrer que si l’entier n peut être factorisé avec au moins k facteurs
(non nécessairement distincts), alors il existe un nombre premier p tel que pk≤n.
Application : factorise 77077 sachant qu’il a au moins 4 facteurs (non nécessairement distincts).
Exercice 6.
1. Ecrire l’algorithme étendu d’Euclide pour les entiers a= 1206 et b= 2721.
2. Résoudre dans N×Nl’équation 9y2−(x+ 1)2= 32.
Exercice 7.
Soit pun nombre premier impair
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1. Soit aun entier tel que pne divise pas a. Montrer que aest un carré ou résidu quadratique
modulo p( respectivement non résidu quadratique modulo p) si et seulement si a(p−1)/2≡1
mod p(respectivement a(p−1)/2≡ −1 mod p).
2. En déduire le critère d’Euler: a
p≡a(p−1)/2mod poù a∈Z.
3. Soient a, b des entiers. Montrer que
•a+bp
p=a p
•ab
p=a pb p
Exercice 8.
Soit pun nombre premier impair. Montrer que −1
pest égale à 1 si p≡1 mod 4 et égale à −1
si p≡3 mod 4.
Exercice 9.
Soit p un nombre premier impair. Montrer que 5 est un résidu quadratique modulo p si et seulement
si p≡ ±1 mod 10.
Exercice 10.
Calculer les symboles de Jacobi suivants: 58
77 ;143 239 ;713 1009 ;19 41 ;77 91 
Exercice 11.
1. Soit p un nombre premier. Calculez le symbole de Legendre 7
pen fonction du reste de la
division euclidienne de p par 28.
2. Calculer le symbole de Jacobi 2007
9817 
3. Le nombre 67 est-il un carré modulo 127.
4. Le nombre 37 est-il un carré modulo 221.
Exercice 12.
On souhaite implémenter un système RSA avec n= 221.
1. Calculer ϕ(n).
2. Peut-on choisir 7 comme exposant de chiffrement.
3. Chiffrer le message M= 3 pour ce exposant
4. Calculer l’exposant de déchiffrement. Préciser alors la clé publique et la clé privée.
5. Déchiffrer le message C= 2.
Exercice 13.
Soit (n, e)la clé publique d’un système RSA.
1. Déterminer tous les epossibles pour n= 35.
2. Si n= 211 ×499, peut-on prendre e= 1623?
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3. On pose (492153,2237),déterminer la clé privée.
4. Même question avec (2173,361).Lequel de ces deux choix de clé privé est le plus judicieux? Que
doit-on éviter dans les choix de pet q?
Exercice 14.
Soit N=pq impair avec p>q.
1. Vérifier que N=t2−s2= (t+s)(t−s)avec t=p+q
2et s=p−q 2.
2. On suppose que pest très proche de q, montrer que test supérieur à √Net très proche de √N.
3. Utiliser ces remarques pour factoriser N= 4397231.
Exercice 15.
Soit (N, e) = (35,5) la clé publique d’un système RSA. Vous recevez le message C= 10. Retrouver
le message original m.
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