EPO– Ingénieur tronc commun Année académique 2021-2022 TD: Algèbre pour ingénieur Exercice 1. Trouver d le pgcd, et trouver u et v tels que d = ua + vb puis déterminer m le ppcm des nombres suivants : a = 1599, b = 3471. Exercice 2. 10 1. Déterminer le reste de la division euclidienne de: 22 par 7; 32189 par 25. 2. Montrer que (a + b)p ≡ ap + bp mod p. Exercice 3. Soit p un nombre premier impair. Montrer que pour tout entier a > 0, non divisible par p, on a a p−1 2 ≡1 mod p où a p−1 2 ≡ −1 mod p. (Utiliser le petit théorème de Fermat). Exercice 4. Résoudre les équations suivantes: 1. 2520x − 3960y = 6480 x ≡ 7 mod 9 2. x ≡ 2 mod 8 x ≡ 1 mod 3 x ≡ 5 mod 7 3. x ≡ 4 mod 11 Exercice 5. Soit un entier n > 1. 1. Crible d’Ératosthène. Montrer que si n n’est pas un nombre premier alors il admet un facteur √ m > 1 tel que m ≤ n. 2. En utilisant l’idée ci-dessus montrer que si l’entier n peut être factorisé avec au moins k facteurs (non nécessairement distincts), alors il existe un nombre premier p tel que pk ≤ n. Application : factorise 77077 sachant qu’il a au moins 4 facteurs (non nécessairement distincts). Exercice 6. 1. Ecrire l’algorithme étendu d’Euclide pour les entiers a = 1206 et b = 2721. 2. Résoudre dans N × N l’équation 9y 2 − (x + 1)2 = 32. Exercice 7. Soit p un nombre premier impair 1/3 1. Soit a un entier tel que p ne divise pas a. Montrer que a est un carré ou résidu quadratique modulo p( respectivement non résidu quadratique modulo p) si et seulement si a(p−1)/2 ≡ 1 mod p(respectivement a(p−1)/2 ≡ −1 mod p). 2. En déduire le critère d’Euler: a p ≡ a(p−1)/2 mod p où a ∈ Z. 3. Soient a, b des entiers. Montrer que • a+bp = ap p b • ab = ap p p Exercice 8. Soit p un nombre premier impair. Montrer que si p ≡ 3 mod 4. −1 p est égale à 1 si p ≡ 1 mod 4 et égale à −1 Exercice 9. Soit p un nombre premier impair. Montrer que 5 est un résidu quadratique modulo p si et seulement si p ≡ ±1 mod 10. Exercice 10. Calculer les symboles de Jacobi suivants: 58 77 ; 143 239 ; 713 1009 ; 19 41 77 91 ; Exercice 11. 1. Soit p un nombre premier. Calculez le symbole de Legendre division euclidienne de p par 28. 2. Calculer le symbole de Jacobi 2007 9817 7 p en fonction du reste de la 3. Le nombre 67 est-il un carré modulo 127. 4. Le nombre 37 est-il un carré modulo 221. Exercice 12. On souhaite implémenter un système RSA avec n = 221. 1. Calculer ϕ(n). 2. Peut-on choisir 7 comme exposant de chiffrement. 3. Chiffrer le message M = 3 pour ce exposant 4. Calculer l’exposant de déchiffrement. Préciser alors la clé publique et la clé privée. 5. Déchiffrer le message C = 2. Exercice 13. Soit (n, e) la clé publique d’un système RSA. 1. Déterminer tous les e possibles pour n = 35. 2. Si n = 211 × 499, peut-on prendre e = 1623? 2/3 3. On pose (492153, 2237), déterminer la clé privée. 4. Même question avec (2173, 361). Lequel de ces deux choix de clé privé est le plus judicieux? Que doit-on éviter dans les choix de p et q? Exercice 14. Soit N = pq impair avec p > q. 1. Vérifier que N = t2 − s2 = (t + s)(t − s) avec t = p+q 2 et s = p−q 2 . 2. On suppose que p est très proche de q, montrer que t est supérieur à √ N et très proche de √ N. 3. Utiliser ces remarques pour factoriser N = 4397231. Exercice 15. Soit (N, e) = (35, 5) la clé publique d’un système RSA. Vous recevez le message C = 10. Retrouver le message original m. 3/3
