correction - maths

DS no 5
1S
Durée :1h
( 4 points )
Exercice 1
Voici la courbe représentative Cf d’une fonction f définie sur [−6; 9] avec quatre de ses tangentes.
Le point A de coordonnées (−2, 4; 0), appartient à la courbe Cf
1.
D’après le graphique, donner la valeur de f (−2) puis la valeur de f 0 (−5), f 0 (2) et f 0 (6, 5)
Justifier soigneusement la réponse pour f 0 (2).
* Solution:
Le point de coordonnées (−2; 1) appartient à la courbe donc f (−2) = 1
f (−2) = 1
f 0 (−5) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse −5
et cette tangente est parallèle à l’axe des abscisses donc a pour coefficient directeur 0
f 0 (−5) = 0
Remarque
On peut aussi lire directement le coefficient directeur en calculant à partir du graphique f 0 (−2) =
variation des ordonnées
+2
=
= 2 (voir graphique en rouge)
variation des abscisses
+1
De même, f 0 (2) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse 2
et cette tangente passe par les points D(2; 0, 5) et E(5; −1, 5)
−2
donc f 0 (2) =
(tracé en bleu sur le graphique)
3
f 0 (−2) =
−2
3
De même, f 0 (6, 5) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse 6, 5
+2, 5
5
donc f 0 (6, 5) =
= = 1, 25 (tracé en vert sur le graphique)
+2
4
f 0 (−2) =
5
4
2.
Déterminer l’équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 6, 5.
* Solution:
La tangente au point d’abscisse 6, 5 a pour coefficient directeur f 0 (6, 5) =
5
4
5
et admet donc une équation réduite de la forme y = x + b (b ∈ R)
4
et passe par le point de la courbe de coordonnées (6, 5; 2), si on note F ce point, on a donc :
5
5
32, 5
−24, 5
yF = xF + b ⇐⇒ 2 = × 6, 5 + b ⇐⇒ b = 2 −
⇐⇒ b =
4
4
4
4
5
24, 5
La tangente à la courbe au point d’abscisse 6,5 a pour équation réduite y = x −
4
4
Remarque
Avec la ”formule” donnant directement l’équation réduite de la tangente, on a :
5
y = f 0 (a)(x − a) + f (a) avec a = 6, 5, f 0 (a) = et f (a) = 2
4
3.
On sait que f 0 (−3) = 2 ; tracer T−3 , tangente à la courbe Cf au point d’abscisse −3.
* Solution:
f 0 (−3) est le coefficient directeur de la tangente T−3 au point de la courbe d’abscisse −3
Tracé en orange sur le graphique.
( 3 points )
Exercice 2
Soit la fonction g définie sur R par g(x) = 2x2 − x + 1.
A l’aide du taux d’accroissement, montrer que g est dérivable en a = 1 et calculer g 0 (1).
* Solution:
Pour tout réel h 6= 0, le taux d’accroissement de f entre a = 1 et b = 1 + h est :
f (1 + h) − f (1)
f (1 + h) − f (1)
T (h) =
=
1+h−1
h
• Calcul de f (1) et f (1 + h)
f (1 + h) = 2(1 + h)2 − (1 + h) + 1 = 2(1 + 2h + h2 ) − 1 − h + 1 = 2 + 4h + 2h2 − h = 2h2 + 3h + 2
et f (1) = 2 − 1 + 1 = 2
• Calcul de T (h) :
f (1 + h) − f (1)
2h2 + 3h + 2 − 2
h(2h + 3)
T (h) =
=
=
= 2h + 3
h
h
h
• Limite quand h −→ 0
Quand h −→ 0, on a T (h) −→ 3
avec les notations des limites : lim T (h) = 3
h→0
• Conclusion
La limite de T (h) quand h −→ 0 existe et est finie
donc f est dérivable en x = 1 et f 0 (1) = 3
RemarqueEn utilisant la fonction dérivée de f avec les formules de dérivation, on a :
f 0 (x) = 2 × 2x − 1 + 0 = 4x − 1
et donc f 0 (1) = 4 − 1 = 3
( 3 points )
Exercice 3
La fonction f est définie sur R par f (x) = x3 .
Démontrer que f 0 (x) = 3x2 pour tout réel x.
aide : (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
* Solution:
Pour tout réel a ∈ R et tout réel h 6= 0, le taux d’accroissement de f entre a et b = a + h est :
f (a + h) − f (a)
f (a + h) − f (a)
=
T (h) =
a+h−a
h
• Calcul de f (a) et f (a + h) en fonction de a
f (a + h) = (a + h)3 = a3 + 3a2 h + 3ah2 + h3
et f (a) = a3
• Calcul de T (h) :
f (a + h) − f (a)
a3 + 3a2 h + 3ah2 + h3 − a3
h(3a2 + 3ah + h2 )
T (h) =
=
=
= 3a2 + 3ah + h2
h
h
h
• Limite quand h −→ 0
Quand h −→ 0, on a T (h) −→ 3a2
avec les notations des limites : lim T (h) = 3a2
h→0
• Conclusion
Pour tout réel a, la limite de T (h) quand h −→ 0 existe et est finie
donc f est dérivable sur R et f 0 (x) = 3x2
( 10 points )
Exercice 4
1.
La fonction f est définie et dérivable sur R∗ par f (x) =
Calculer f 0 (x) (simplifier l’expression obtenue)
* Solution:
3
1
f (x) = x2 + 3x − 1 + 2
2
x
Rappel : (x2 )0 = 2x, (3x − 1)0 = 3 et (
donc f 0 (x) =
3
−2
× 2x + 3 + 3
2
x
f 0 (x) = 3x + 3 −
2.
1 0 −2
) = 3
x2
x
2
x3
√
La fonction g est définie par g(x) = (2x + 1) x
a) Déterminer l’ensemble de définition Dg de g.
* Solution:
La fonction racine carrée est définie sur [0; +∞[
Dg = [0; +∞[
3x2
1
+ 3x − 1 + 2 .
2
x
b) Justifier que g est dérivable sur ]0; +∞[, et calculer g 0 (x) (simplifier l’expression obtenue).
* Solution:
√
u : x 7−→ x est dérivable sur ]0; +∞[
et v : x 7−→ 2x + 1 (fonction affine) est dérivable sur R donc sur ]0; +∞[
donc le produit de u et v est dérivable sur ]0; +∞[.
g est donc dérivable sur ]0; +∞[
On pose donc u(x) = 2x + 1 et v(x) =
1
On a donc u0 (x) = 2 et v 0 (x) = √
2 x
g 0 (x) = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x)
√
x
√
1
= 2 x + (2x + 1) × √
2 x
√
2x + 1
=2 x+ √
2 x
√
√
2 x × 2 x + 2x + 1
√
=
2 x
6x + 1
= √
2 x
g 0 (x) =
6x + 1
√
2 x
3
4x − 1
3. La fonction h est définie sur Dh = R \
par h(x) =
.
5
3 − 5x
a) Justifier que h est dérivable sur Dh .
* Solution:
u : x 7−→ 4x − 1 est dérivable sur R donc sur Dh
et v : x 7−→ 3 − 5x est dérivable sur R donc sur Dh et pour tout x ∈ Dh , v(x) 6= 0
donc le quotient de u par v est dérivable sur Dh
donc h est dérivable sur Dh
b) Calculer h0 (x).
* Solution:
On pose u(x) = 4x − 1 et v(x) = 3 − 5x
et on a u0 (x) = 4 et v 0 (x) = −5
h0 (x) =
u0 (x)v(x) − u(x)v 0 (x)
(4)(3 − 5x) − (4x − 1)(−5)
12 − 20x + 20x − 5
7
=
=
=
2
2
2
(v(x))
(3 − 5x)
(3 − 5x)
(3 − 5x)2
h0 (x) =
7
(3 − 5x)2
c) Prouver que h0 (x) > 0 sur Dh ; que peut-on en déduire pour les variations de h ?
* Solution:
Sur Dh , (3 − 5x)2 > 0 donc h0 (x) est du signe de son numérateur donc h0 (x) > 0
et donc h est strictement croissante sur Dh
h0 (x) > 0 et h est strictement croissante sur Dh