Serveur d`exercices Sciences.ch

EXERCICES D'
A
AL LG GE EB BR RE E
(version 2.0 Révision 2 du 30.09.2012)

Sciences.ch Algèbre
Serveur d'exercices 2/14
EXERCICE
1.
Niveau : Deuxième Cycle
Auteur : Ruben Ricchiuto (30.12.04)
Mots Clés : Caractères, produit de convolution, transformée de Fourier
Énoncé :
Soit G un groupe abélien fini. On note
G
l'algèbre des applications de
G
.
1. On défini un produit scalaire sur
G
par
1
, ( ) ( )
gG
f h f g h g
G
. Montrer que
l'ensemble des caractères
G
forme une base orthonormale de
G
. (On rappelle que
pour G abélien fini on a
GG
et donc
GG
)
2. On définit le produit de convolution de deux éléments de
G
par
1
( ) ( ) ( )
gG
f h x f g h g x
. Avec ce produit
( , , )
G
est une
algèbre
commutative. On définit la transformée de Fourier
:GG
par:
( )( ): ( ) ( )
gG
f f g g
. Montrer que est un isomorphisme de
( , , )
G
dans
( , , )
G
où est le produit habituel entre deux fonctions.
Solution :
1. Soit
,
deux caractères distincts.
1
, ( ) ( )
gG gg
G
. Soit
0
gG
tel que
00
( ) ( )gg
on a
0 0 0 0
11
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
g G g G
g g g g g g g g
GG
et donc
00
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
g G g G
g g g g g g
GG
ce qui entraîne
00
( ) ( ) ( ) ( ) 1 0
gG g g g g
. Or
0 0 0 0
( ) ( ) ( )/ ( ) 1g g g g
donc
( ) ( ) 0
gG gg
ce qui prouve que les caractères sont orthogonaux. De plus
2
11
, ( ) 1 1
g G g G
g
GG
. Pour finir, pour G abélien fini,
dim( )
GGG
donc
G
est une base orthonormale de
G
.
2. est évidemment une application linéaire. Montrons que est un morphisme. Soit
,G fh
.
1
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
g G g G x G
f h f h g g f x h x g g
avec le
changement de variable
1
x g u
l'expression précédente devient:

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Serveur d'exercices 3/14
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ).
u G x G
x G u G
f h f x h u x u
f x x h u u f h
Montrons que est un isomorphisme. Soit
G
f
. Par 1,
G
est une base
orthonormale de
G
. Donc
,
G
ff
. Par suite
1
1
, ( )( )
GG
f f f
G
(car
11
, ( )( )f G f
). est
injective car si
( ) 0f
la formule ci-dessus montre que
0f
. est surjective car
si
G
F
alors en définissant
G
f
par
1
1()
G
fF
G
on a:
1
1
( ) ( ) ( )
G
fF
G
. Un développement rapide montre que pour tout
caractères
,
,
( )( ) G
si
1
et 0 sinon. Donc
1
1
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
G
f F F
G
c'est-à-dire
()fF
.

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Serveur d'exercices 4/14
EXERCICE
2.
Niveau : Deuxième Cycle
Auteur : Ruben Ricchiuto (27.04.05, [email protected])
Mots Clés : Sous-groupes de Sylow, normalisateur
Énoncé :
Soit G un groupe fini et
,PH
deux p-sous-groupes de Sylow de G.
E1 : Monter que si N est un sous-groupe tel que
PN
et P normal (ou distingué, c'est
pareil) dans N alors
HN
implique
PH
.
E2 : Notons
()NP
(resp.
()NH
) le normalisateur de P (resp. H). Montrer que
( ) ( )N P N H P H  
.
E3 : Montrer que
( ( )) ( )N N P N P
.
Solution :
S1 : Il est évident que P et H sont des sous-groupes de Sylow de N. De plus, tous les sous-
groupes de Sylow sont conjugués. Il existe donc
gN
tel que
1
gPg H
. Mais
1
gPg P
car P est normal dans N.
S2 : Si
( ) ( )N P N H
alors par 1.
NH
car
, ( )P H N P
et P est normal dans
()NP
.
S3 :
1
( ( )) | ( ) ( )N N P g G gN P g N P
. Soit
( ( ))g N N P
, alors
1
gPg
est un sous-
groupe de Sylow de
1
( ) ( )gN P g N P
. Toujours par 1. on conclut que
1
gPg P
, c'est-à-
dire
()g N P
. Ainsi
( ( )) ( )N N P N P
.

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EXERCICE
3.
Niveau : Deuxième Cycle
Auteur : Ruben Ricchiuto (27.04.05, [email protected])
Mots Clés : Groupes résolubles
Énoncé :
Une suite de groupes
01
... n G G G  
est une suite de composition de
0
G
vers
n
G
(suite
de composition tout court si
{1}
n
G
) si
1i
G
est normal dans
i
G
. On dit qu'une telle suite est
abélienne (resp. cyclique) si en plus
1
/
ii
GG
est abélien (resp. cyclique).
E1 : Soit
:GF
un homomorphisme et
0... n
F F F  
une suite de composition.
Montrer que si cette suite est abélienne respectivement cyclique alors la suite
11
0
( ) ... ( )
n
FF
est abélienne respectivement cyclique. Montrer de même que si
0... n
G G G  
est une suite de composition abélienne (resp. cyclique), la suite
0
( ) ... ( )
n
GG
est abélienne (resp. cyclique).
E2 : On dit qu'un groupe
G
est résoluble s'il existe une suite de composition abélienne
01
... {1}G G G   
. Soit
{1} {1}H G F
une suite exacte de groupes.
Montrer que
,HF
résolubles G résoluble.
E3 : Soit G un p-groupe, c'est-à-dire
n
Gp
avec p premier. Montrer à l'aide de 2. que G est
résoluble. [Rappel : le centre
|,g G x G gx xg   
d'un p-groupe est un groupe non
trivial.]
Solution :
S1 : Notons
1()
jj
GF
pour
0..jn
. Nous avons les homomorphismes
1
/
i
j j j j
G F F F
où
:j i G G
est l'injection naturelle. Or
111
ker( ) ( )
jj
i i F G
par suite,
i
se factorise en
G
i
où
11
: / /
j j j j
G G F F
est injectif et
1
:/
G j j j
G G G
est la projection canonique. Par
conséquent
1
/
jj
GG
est isomorphe à un sous-groupe de
1
/
jj
FF
, donc si
1
/
jj
FF
est
abélien (resp. cyclique),
1
/
jj
GG
est abélien (resp. cyclique). Soit à présent
0... n
G G G  
une suite de composition. Notons
()
jj
FG
. On vérifie facilement que
1j
F
est normal dans
j
F
. Considérons l'homomorphisme
1 1 1 1
: / / , ( )
j j j j j j
G G F F xG x F
. est bien défini et est surjectif. Ainsi,
1
/
jj
FF
est isomorphe à un quotient de
1
/
jj
GG
ce qui entraîne que
1
/
jj
FF
est abélien (resp.
cyclique) si
1
/
jj
GG
est abélien (resp. cyclique).