Physique Statistique
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Physique Statistique N.Vandewalle S.Dorbolo Objectifs du cours • Donner un aperçu de la physique statistique. • Obtenir un autre regard du monde de la physique. • Réaliser des TP originaux : «phénomène sans modèle» Plan du cours Chapitre 1 : Introduction Chapitre 2 : Outils statistiques - rappels Chapitre 3 : Nécessité de l’approche statistique Chapitre 4 : Ensembles de Gibbs / fonctions de partition Chapitre 5 : Le gaz parfait revisité / distributions des vitesses / équipartition Chapitre 6 : Fluides réels Chapitre 7 : Distributions / statistique de Maxwell-Boltzmann Chapitre 8 : Gaz de fermions / statistique de Fermi-Dirac Chapitre 9 : Gaz de bosons / statistique de Bose-Einstein / corps noir Chapitre 10 : Changement d’état / approche de Landau Chapitre 11 : Modèles de spins / simulations numériques Chapitre 12 : Phénomènes critiques et lois d’échelle / fractales Chapitre 13 : Marches aléatoires Chapitre 14 : Percolation Organisation du cours • Cours [28h] - N.Vandewalle théorie - concepts - applets - numérique • TD [14h] - D.Terwagne exemples choisis - exercices • Labos [16h+2h] - S.Dorbolo / D.Terwagne / G.Lumay / E.Mersch / N.VdW systèmes hétérogènes - diffusion - etc Supports du cours • Notes (en chantier depuis trop longtemps) • Copie des diapositives • Livres de référence : Vauclair, Huang, etc... Laboratoires Chapitre 1 : Introduction Qu’est-ce que la Physique Statistique ? • Exemple : atomes de C • Autre exemple : molécules amphiphiles La formation de micelles est spontanée; elles troublent le liquide par diffusion de la lumière. Quelques objets microscopiques viennent donc modifier l’apparence macroscopique du système. Pourquoi certaines structures plutôt que d’autres ? Qu’est-ce que la Physique Statistique ? • Exemple : billes vibrées L’agitation conduit à la création de jets organisés de matière : les oscillons. • Exemple vivant : poissons Le mouvement coordonné de poissons produit des structures géantes : banc. - agents microscopiques : interactions, mouvements, agitation - formation de structures organisées, pourquoi ? - une information se propage, comment ? - comportement micro-macro, local-global ? Le cas d’école : le gaz parfait Hypothèses de travail : - N particules identiques - mouvements obéissent aux lois de Newton - rebonds élastiques sur les parois gaz parfait pas de collisions gaz réel collisions entre particules Mouvement d’une particule dans un récipient cubique : lors du rebond avec la parois de droite : vx → −vx soit une variation de la quantité de mouvement : ∆px = −2mvx Force exercée sur la parois de droite : force subie par la particule qui rebondit : temps entre deux rebonds : force sur la paroi (action-réaction) : force totale sur la parois : ∆px Fx = ∆t 2L ∆t = vx mvx2 F = L " m! 2 2 2 F = vx1 + vx2 + ... + vxN L m F = N !vx2 " L Gaz isotrope : !v = !vx + !vy + !vz v 2 = vx2 + vy2 + vz2 !v 2 " = !vx2 " + !vy2 " + !vz2 " = 3!vx2 " mN 2 !v " F = 3L Pression exercée sur la paroi : F mN 2 p= 2 = !v " 3 L 3L N m!v 2 " p= 3V Comparaison avec l’équation d’état : N pV = N kB T = m!v 2 " 3 3 1 kB T = m!v 2 " 2 2 énergie thermique énergie cinétique moyenne d’une particule La température est donc une mesure de l’agitation microscopique des particules. aspects statistiques liés à la température : �v 2 � La physique statistique fait le lien entre mondes microscopiques et macroscopiques. Les outils de la physique statistique sont la mécanique classique, la statistique appliquée, la mécanique quantique, l’informatique, etc... La physique statistique a apporté les concepts de fractales et d’invariance d’échelle, de chaos déterministe, de turbulence, d’auto-organisation, etc... 2000 1950 1900 Q = cm∆T S = kB ln Ω �η1 η2 � M (T /Tc ) E = hν EF F ∼ m2 + m4 K � = R(K � ) R ∼ Nα Physique statistique / petit historique 1850 mécanique quantique thermodynamique deGennes Kadanoff Planck Fermi Landau Langevin Curie Joule Boltzmann Physique statistique et autres domaines scientifiques Etat solide • Fermi-Dirac • magnétisme • supraconductivité Matière molle • fluctuations • corrélations • théorie liquides Physique quantique • corps noir • chaos • structures Chimie • Bose-Einstein • spectroscopie • fluides quantiques Physique statistique Fluides Informatique • turbulence • rhéologie • chaos Astrophysique • optimisation • complexité • automates • polymères • spectroscopie • réactions Biophysique • membranes • protéines • ratchets Cours accessibles dans la discipline Microgravité PHYS 948 H.Caps/N.Vandewalle Fluides complexes PHYS 945 Physique Statistique Expérimentale Physique non-linéaire, chaos et fractales PHYS 250 PHYS 939 S.Dorbolo N.Vandewalle N.Vandewalle Physique Statistique PHYS 212 N.Vandewalle Introduction à la Physique Statistique PHYS 069 S.Dorbolo Physique des fluides Thermodynamique PHYS 957 PHYS 062 H.Caps N.Vandewalle Le GRASP (10 ans) science N.Vandewalle S.Dorbolo H.Caps S.Bontempi G.Lumay F.Ludewig G.Delon N.Adami A.Bronfort D.Terwagne E.Mersch F.Boschini K.Faucher M.Ababou T.Gilet T.Scheller C.Becco GRASP matière molle poudres et grains microfluidique systèmes complexes chaos turbulence microgravité international publications (8-10/y) couvertures 2 ESA TT COST µg projets Zéro-G et ISS industries UCB, Dow Corning, ... spin-off art photos / art / films Chapitre 2 : Rappels de Statistique Fréquences et probabilités • variable discrète côtés d’une bulle : n • variable continue vitesse d’une particule : v mousse gaz Nn f (n) = N Nn Pn = lim N →∞ N ∞ � Pn = 1 n=1 � Pv = αv exp −βv 2 [normalisation] � ∞ Pv dv = 1 0 • fréquence d’observations répétées : probabilitiés 2 � [normalisation] Caractériser une distribution (I) • Distribution d’une variable discrète : K � µ = �n� = �n2 � = K � [premier moment = moyenne] nPn n=1 n2 Pn n=1 σ 2 = �(n − µ)2 � = [second moment] K � n=1 Pn (n − µ)2 = �n2 � − µ2 • Distribution d’une variable continue : � b µ = �x� = xPx dx �x2 � = � a b v 2 Px dx a σ 2 = �(x − µ)2 � = � a b Px (x − µ)2 dx = �x2 � − µ2 [variance] Caractériser une distribution (II) • Contre-exemple : distribution en loi de puissance tremblements de Terre et loi de Richter pour l’énergie dissipée : P (E) ∼ E −1 � ∞ �E� ∼ EP (E) dE → ∞ pas moyen de calculer la moyenne ! 0 Caractériser une distribution (III) • Moments d’ordres plus élevés ? C’est utile ! • Troisième moment : skewness �(x − µ)3 � γ1 = σ3 [mesure l’asymétrie de la distribution] • Quatrième moment : kurtosis �(x − µ)4 � γ2 = −3 4 σ [mesure l’applatissement de la distribution] γ2 > 0 γ2 < 0 leptokurtique (pointu) platykurtique (plat) Distribution uniforme (I) Px • version continue : Px = = = 0 pour x < a 1 pour a ≤ x ≤ b b−a 0 pour x > b a µ = σ2 = γ1 = γ2 = b a+b 2 (b − a)2 12 0 6 − 5 x Distribution uniforme (II) • dés à jouer : version discrète Pn 1 2 3 4 5 6 • générateur de nombres pseudo-aléatoires : - algortihmes (von Neumann) qui génère une suite de nombres - important pour la cryptographie - pseudo car cycles de plusieurs millions de nombres xn+1 = (axn + c) mod m n Distribution binomiale • Probabilité d’obtenir n succès sur N tirages ? Pp (n/N ) = n CN p (1 − p) N −n n N! = pn (1 − p)N −n n!(N − n)! Pn µ σ2 = = γ1 = γ2 = n Np N p(1 − p) 1 − 2p � N p(1 − p) 1 − 6p(1 − p) N p(1 − p) Distribution gaussienne • Distribution générique en sciences : Px (x − µ)2 1 P (x) = √ exp − 2σ 2 σ 2π γ1 γ2 = 0 = 0 x • Exemple : barres d’erreur ±σ ±2σ ±3σ 68.2% 95.4% 99.6% • Attention : largeur à mi-hauteur : ∆x ≈ 2.35σ Distribution exponentielle • Loi simple : P (x) = λ exp (−λx) Px µ = σ2 = γ1 γ2 = = 1 λ 1 λ2 2 6 x • Exemple : Chaque atome radioactif possède une durée de vie qui suit une loi exponentielle. Le paramètre λ s'appelle alors la constante de désintégration. Distribution log-normale • Gaussienne en échelle logarithmique : variable x>0 � � 2 (ln x − M ) 1 √ exp − P (x) = 2S 2 xS 2π Px � 2 � S µ = exp M + 2 � �� � 2 2 2 σ = exp 2M + S exp(S ) − 1 � � � 2 2 exp(S ) − 1 exp(S ) + 2 γ1 = γ2 = exp(4S 2 ) + 2 exp(3S 2 ) + 3 exp(2S 2 ) − 6 x • Exemple : processus de fragmentation Théorème de la limite centrale • La somme de nombreuses variables aléatoires indépendantes ayant des distributions arbitraires se distribue comme une gaussienne. [uniforme] Pn [gaussienne] • Exemple : 2 dés à jouer (distribution triangulaire) n1 + n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 • Autre exemple : créer numériquement une distribution gaussienne (6) • Illustration du théorème pour 4 distributions différentes : • Le produit de nombreuses variables aléatoires indépendantes ayant des distributions arbitraires se distribue comme une lognormale. PDF et CDF • PDF : Probability Distribution Function • CDF : Cumulated Distribution Function P (x)dx F (y) = � y P (x)dx −∞ • CDF : trouver facilement la médiane 2 • Cas de la gaussienne : fonction erreur erf(y) = √ π • Avantage de la CDF : indépendante des classes ! � 0 y −x2 e dx
