Devoir de Mathématiques

Devoir de Mathématiques
Exercice 1
Un objet relié à un parachute est largué à l'instant t = 0. On admet que sa trajectoire est
verticale.
A chaque instant t, exprimé en secondes, on désigne par h(t) la distance (en mètres)
parcourue par l'objet, par v(t) sa vitesse et par a(t) son accélération.
On sait que v(t) = h'(t) et que a(t) = v'(t).
Le système formé par l'objet et le parachute subit la force de pesanteur ainsi que la résistance
de l'air proportionnelle à sa vitesse avec un coefficient réel positif k. On en déduit que :
ma(t) = mg - kv(t)
où m est la masse, en kilos, de l'objet et du parachute et g le coefficient d'accélération de la
pesanteur.
1. Montrer que la fonction v est solution de l'équation différentielle
.
Comme a(t) = v'(t), l'équation ma(t) = mg - kv(t) est équivalente à
mv'(t) = mg - kv(t). En divisant par m on obtient
montre que v est solution de
ce qui
.
En déduire une expression de v(t), et la limite de v(t) lorsque t tend vers l'infini.
Comme v est solution de
, on sait que
avec C représentant une constante réelle.
Comme
,
et par conséquent
.
On peut remarquer que si v atteint sa limite, v devient constante et l'accélération
a(t) est donc nulle.
L'équation ma(t) = mg - kv(t) donne bien a(t) = 0 lorsque
.
-2
2. On donne : m = 8kg, g = 10m.s et k = 25 unités SI. D'autre part on sait que l'objet a été
laché avec une vitesse initiale nulle, on a donc h(0)=0 et v(0)=0.
a) Exprimer v(t) en fonction de t.
Nous avons vu que
et
. Comme v(0)=0,
.
1
, donc
En tenant compte des valeurs de m, g et k, on obtient :
.
b) Montrer que h(t) = 3,2t + 1,024(e
-3,125t
- 1).
Comme v(t) = h'(t), h est la primitive de v qui vérifie h(0)=0.
On a donc
.
Comme h(0)=0, 1,024+C=0, donc C=-1,024 et finalement
-3,125t
h(t) = 3,2t + 1,024(e
- 1).
c) L'objet a été lâché d'une hauteur de 100m. Montrer que l'équation h(t) = 100 admet une
solution unique t1. Que représente ce nombre t1 ?
On considère l'intervalle I=
.
La fonction h est continue sur I puisqu'elle est dérivable.
On sait que
. Pour t > 0, on a
,
donc h'(t) > 0. La fonction h est donc croissante sur I.
Enfin h(0)=0 et
donc h(t) prend des valeurs supérieures à
100.
En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires on peut dire que l'équation
h(t)=100 a une solution unique t1 sur I.
Comme l'objet a été lâché d'une hauteur de 100m, t1 représente la durée de sa
chute.
d) Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une valeur approchée de t1 à 1 seconde près.
En déduire une valeur approchée de la vitesse de l'objet à l'arrivée au sol.
La calculatrice indique h(31)<100 et h(32)>100, donc 31 < t1 < 32.
La durée de la chute est donc d'environ 31,5s.
La vitesse atteinte à l'arrivée au sol est v(31,5) ≈ 3,2.
Remarquons que la vitesse limite est
. La vitesse atteinte est si proche
de la valeur limite que la calculatrice n'arrive pas à les distinguer.
Exercice 2
On a rangé en vrac, dans une boîte, neuf cartes postales indiscernables au toucher.
Cinq de ces cartes proviennent de France, une provient d'Australie et trois des Etats-Unis.
1. On tire simultanément et au hasard trois cartes de la boîte.
a) Démontrer que la probabilité de n'obtenir aucune carte de France parmi les trois cartes est
égale à .
2
Comme on tire 3 cartes parmi 9, le nombre de tirages possibles est
.
Pour effectuer un tirage qui ne contient pas de carte qui provient de France il faut
tirer les 3 cartes parmi les 4 cartes qui proviennent d'Australie ou des Etats-Unis.
Le nombre de cas correspondant est
.
La probabilité de n'obtenir aucune carte de France parmi les trois cartes est donc
.
b) Calculer la probabilité de l'évènement E "lors d'un tirage, obtenir une carte de chaque
pays".
Pour réaliser l'évènement E il faut tirer une carte de France parmi les 5 possibles,
la carte d'Australie et une carte des Etats-Unis parmi les 3 possibles. Le nombre
de cas correspondant est
.
On en déduit que P(E)=
.
2. On répète ce tirage cinq fois de suite en remettant à chaque fois les trois cartes tirées dans
la boîte. Quelle est la probabilité de l'évènement "lors de ces 5 tirages, deux fois et deux fois
seulement, on n'obtient aucune carte de France" ?
On répète 5 fois l'épreuve de Bernoulli pour laquelle un succès consiste à tirer 3
cartes dont aucune n'est une carte de France; la probabilité d'un succés est donc
. La variable aléatoire X donnant le nombre de succès suit ainsi la loi
binomiale de paramètres 5 et
. Alors la probabilité demandée est :
P(X=2) =
3. Soit n un entier naturel non nul. On répète ce tirage n fois de suite en remettant à chaque
fois les trois cartes tirées dans la boîte.
a) Exprimer, en fonction de n, la probabilité d'obtenir au moins un tirage sans carte de
France.
Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de tirages sans carte de
France. Comme dans la question 2 X suit la loi binomiale de paramètres n et
La probabilité d'obtenir au moins un tirage sans carte de France est :
P(X ≥ 1) = 1 - P(X=0) =
.
b) A partir de quelle valeur de n cette probabilité est-elle supérieure ou égale à 0,95 ?
3
.
On a
obtient
pour
. En passant aux logarithmes, on
et finalement
et donc n ≥ 62.
4
(car
)