Matrices - Polynômes annulateurs - Classes préparatoires MPSI/MP

Matrices - Polynômes annulateurs
I — Matrices - Généralités
1) Matrices
(1) : Définition d’une matrice à plignes et qcolonnes à coefficients dans K.
Notation : A= (ai,j )(i,j)∈[[ 1 , q ]] ×[[ 1 , p ]] .
(2) : Ensemble de matrices. Notation : Mq,p(K). Matrices carrées : Mn(K).
(3) : Base canonique des (Ei,j )16i6q,16j6p.
(4) : Soit A= (ai,j )∈ Mq,p(K). On appelle transposée de la matrice Ala matrice (a0
i,j )∈ Mp,q(K), telle que
pour tout (i, j)∈[[ 1 , p ]] ×[[ 1 , q ]] ,a0
i,j =aj,i.Notation : ATou tA.
(5) : L’application Mq,p(K)→ Mp,q(K) ; A7→tAest un isomorphisme à caractère involutif.
(6) : Soient A∈ Mq,p(K)et B∈ Mr,q (K). Alors t(BA) =tAtB.
(7) : Si Mest inversible, (tM)−1=t(M−1).
Matrices à coefficients dans K(1)
2) Matrices carrées
(1) : Addition et multiplication (lois internes) et dilatation (loi externe).
(2) : Soit n∈N∗.(Mn(K),+,×,·)est une K-algèbre de dimension n2, d’unité In.
Si n>2, l’anneau (Mn(K),+,×)est non commutatif et possède des diviseurs de zéro.
(3) : Soit (i, j, k, l)∈[[ 1 , n ]] 4. Alors Ei,j Ek,l =δk
jEi,l.
Algèbre des matrices carrées (2)
(1) : On dit que A= (ai,j )∈ Mn(K)est diagonale lorsque pour tout (i, j)∈[[ 1 , n ]] 2, si i6=jalors ai,j = 0.
Notation : A= diag(a1, . . . , an)∈Dn(K).
(2) : Dn(K)est une K-algèbre commutative de dimension nqui admet (Ei,i)i∈[[ 1 , n ]] pour base.
(3) : Soit A= diag(a1, . . . , an)∈Dn(K)et m∈N. Alors Am= diag(am
1, . . . , am
n).
(4) : On peut généraliser cette propriété de calcul à une matrice diagonale par blocs :
ÅA10
0A2ãm
=ÅAm
10
0Am
2ã
(5) : Une matrice A∈Dn(K)est scalaire s’il existe λ∈Ktel que A=λIn.Notation : A∈KIn.
(6) : KInest un corps isomorphe à K.
Matrices diagonales (3)
Soit K=Rou C. Si A∈ Mn(K)commute avec toutes les matrices de Mn(K), alors Aest une matrice scalaire.
Centre de l’anneau Mn(K)(loi multiplicative) (4)
(1) : On dit que A= (ai,j )∈ Mn(K)est triangulaire supérieure (resp. inférieure) lorsque pour tout (i, j)∈
[[ 1 , n ]] 2, si i > j (resp. i < j) alors ai,j = 0.Notation : A∈Tsup
n(K)(resp. A∈Tinf n(K)).
(2) : Tsup
n(K)(resp. Tinf n(K)) est une K-algèbre de dimension n(n+1)
2, qui admet pour base (Ei,j )16i6j6n(resp.
(Ei,j )16j6i6n).
(3) : En particulier, le produit de deux matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) est une matrice
triangulaire supérieure (resp. inférieure).
Matrices triangulaires (5)
1

(1) : Soit A∈ Mn(K). On dit que Aest symétrique (resp. antisymétrique) lorsque tA=A(resp. tA=−A).
Notation : A∈Sn(K)(resp. A∈An(K)).
(2) : Sn(K)et An(K)sont deux sous-espaces vectoriels de Mn(K)supplémentaires de dimensions respectives
n(n+1)
2et n(n−1) 2, et de bases respectives (Ei,i)i∈[[ 1 , n ]] ∪(Ei,j +Ej,i)16i<j6net (Ei,j −Ej,i)16i<j6n.
Matrices symétriques et antisymétriques (6)
(1) : Soit A∈ Mn(K). On dit que Aest inversible lorsqu’il existe une matrice B∈ Mn(K)telle que AB =
BA =In.Notation : A−1. L’ensemble des matrices carrées d’ordre ninversibles à coefficients dans Kse note
GLn(K).
(2) : (GLn(K),×)est un groupe (non commutatif) appelé groupe linéaire d’ordre n.
(3) : Si (A, B)∈GLn(K)2, alors (AB)−1=B−1A−1.
(4) : Soit A=Åa b
c d ã.Ona:A∈GL2(K)⇔ad −bc 6= 0. Dans ce cas, A−1=1
ad−bc Åd−b
−c a ã.
(5) : Soit A∈ Mn,p(K),B∈GLn(K)et C∈ Mq,n(K). Alors CB = 0 ⇒C= 0 et BA = 0 ⇒A= 0.
(6) : Soit A∈GLn(K). Alors tA∈GLn(K)et (tA)−1=t(A−1).
Matrices inversibles (7)
II — Opérations élémentaires de pivot sur les matrices
1) Opérations élémentaires
Soit A∈ Mq,p(K)Alors la matrice Ek,`Aest la matrice de Mq,p(K)dont toutes les lignes sont nulles sauf la
k-ième qui reçoit la `-ième ligne de A.
Lemme (8)
Soit A∈ Mq,p(K).
Il existe trois opérations dites élémentaires sur les lignes de la matrice A:
(1) : Soit λ∈Ket (k, `)∈[[ 1 , q ]] 2,k6=`. Alors la matrice de transvection (Iq+λEk,`)Aest la matrice obtenue
à partir de Aen ajoutant à la k-ième ligne de A λ fois la `-ième ligne de A.
Notation : On code cette opération : Lk←Lk+λL`.
(2) : Soit λ∈K\ {0}et k∈[[ 1 , q ]] . Alors la matrice de dilatation (Iq+ (λ−1)Ek,k)Aest la matrice obtenue
à partir de Aen multipliant la k-ième ligne de Apar λ.Notation : On code cette opération : Lk←λLk.
(3) : Soit (k, `)∈[[ 1 , q ]] 2. Alors la matrice de transposition (Iq−Ek,k −E`,` +Ek,` +E`,k)Aest la matrice
obtenue à partir de Aen échangeant la k-ième et la `-ième ligne de A.Notation : On code cette opération :
Lk↔L`.
Théorème (9)
Deux matrices A, B ∈ Mq,p(K)sont dites équivalentes par lignes si elles se déduisent l’une de l’autre par une
suite finie d’opérations élémentaires sur les lignes. Notation : A∼
LB.
Définition (10)
2) Échelonnement et algorithme du pivot de Gauss-Jordan
(1) : Une matrice est dite échelonnée par lignes si elle vérifie les deux propriétés suivantes :
•Si une ligne est nulle, toutes les lignes suivantes le sont aussi ;
•À partir de la deuxième ligne, dans chaque ligne non nulle, le premier coefficient non nul à partir de la gauche,
appelé pivot, est situé à droite du premier coefficient non nul de la ligne précédente.
(2) : Une matrice échelonnée est dite matrice échelonnée réduite en lignes si les pivots valent 1 et si les autres
coefficients dans les colonnes des pivots sont nuls.
Définition (11)
2

Voici l’allure d’une matrice échelonnée par ligne de M6,11(K), où les ∗désignent des coefficients arbitraires, et
les •les pivots puis de la matrice échelonnée réduite par ligne correspondante :
0•∗∗∗∗∗∗∗∗∗
000•∗∗∗∗∗∗∗
0000•∗∗∗∗∗∗
0000000•∗∗∗
000000000• ∗
00000000000
et
01000000000
00010000000
00001000000
00000001000
00000000010
00000000000
Exemple (12)
Soit A∈ Mq,p(K).
À toute étape de l’algorithme, pour tout (i, j)∈[[ 1 , q ]] ×[[ 1 , p ]] , on désigne par ai,j le coefficient d’indices
iet j, et par Lila ligne d’indice ide la matrice obtenue par les opérations élémentaires sur les lignes, à partir
de A.
L’algorithme se déroule en deux phases :
On commence par transformer Aen un matrice échelonnée par lignes, obtenue uniquement par des
transvections sur les lignes :
•Si Aest nulle, c’est terminé. Sinon, on considère la première colonne jnon nulle de la matrice
A.
•Si le premier coefficient de cette colonne jest nul, on le transforme en un coefficient non nul par
une opération L1←L1+Li, avec ai,j 6= 0.
Le premier coefficient de la colonne considérée est donc désormais un pivot p6= 0.
•On annule tous les coefficients qui figurent en-dessous de celui-ci : pour tout i>1:Li←
Li−ai,1
pL1.
On parvient ainsi à une matrice de la forme : á0· · · 0p(∗)
0· · · 0 0
.
.
..
.
..
.
.A0
0· · · 0 0 ë
•On itère alors le procédé avec A0, et on obtient une matrice échelonnée par lignes B∼
LA.
On transforme ensuite Ben une matrice échelonnée réduite par lignes.
•Si Best nulle, c’est terminé. Sinon, il existe des pivots.
•On commence par déterminer le pivot ai,j dont l’indice de colonne est le plus grand dans la
matrice Bet on effectue l’opération de dilatation Li←1
ai,j Li.
•Pour tout k < i, on effectue Lk←Lk−ak,j Li.
•On itère le procédé avec les autres pivots, en les prenant par ordre décroissant d’indice de colonne, et on obtient
une matrice échelonnée réduite par lignes C∼
LA.
Algorithme de Gauss-Jordan pour l’échelonnement réduit d’une matrice (13)
III — Déterminants
1) Déterminant d’une matrice carrée
(1) : Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n. On appelle forme n-linéaire sur Etoute application de
Endans Klinéaire par rapport à chacune de ses variables.
(2) : Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie net fune forme n-linéaire sur E. On dit que fest :
— alternée si elle s’annule sur une famille de nvecteurs dès que cette famille contient deux vecteurs égaux,
— symétrique si pour tout (~x1, . . . , ~xn)∈Enet tout σ∈Sn,f(~xσ(1), . . . , ~xσ(n)) = f(~x1, . . . , ~xn),
— antisymétrique si pour tout (~x1, . . . , ~xn)∈Enet tout σ∈Sn,f(~xσ(1), . . . , ~xσ(n)) = ε(σ)f(~x1, . . . , ~xn).
Formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n(14)
3

(1) : Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie net fune forme n-linéaire sur E. Alors fest antisymétrique
si et seulement si elle est alternée.
(2) : Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie net fune forme n-linéaire alternée sur E.
— L’image d’une n-liste de vecteurs liés de Eest nulle.
— On conserve l’image d’une n-liste de vecteurs de Een ajoutant à un des vecteurs une combinaison linéaire
des autres.
(3) : Théorème fondamental de structure : l’ensemble des formes n-linéaires alternées sur un espace de
dimension nest une droite vectorielle, c’est à dire : deux telles formes n-linéaires alternées sont PROPOR-
TIONNELLES !
Propriétés et structure (15)
(1) : Soit Aune matrice carrée d’ordre nà coefficients dans K. On pose
det(A) = X
σ∈Sn
ε(σ)a1,σ(1) . . . an,σ(n).
Notation :
a1,1a1,2· · · a1,n
a2,1a2,2· · · a2,n
.
.
..
.
.....
.
.
an,1an,2· · · an,n
(2) : Soit A∈ Mn(K).Ona:det(A) = det(tA).
(3) : Soit (A, B)∈ Mn(K)2et λun scalaire. Alors :
—det(λA) = λndet A,
—det(In) = 1,
—det(BA) = det(B) det(A)(admis) et donc det(BA) = det(AB),
—A∈GLn(K)⇔det(A)6= 0,
— si A∈GLn(K), alors det(A−1) = (det A)−1.
(4) : Étant donnée une famille de nvecteurs (~x1, ~x2, . . . , ~xn)de Kn, on peut définir le déterminant de cette
famille dans la base canonique βcan = (~e1, ~e2, . . . ~en)en formant la matrice A=Ü.
.
..
.
..
.
.
~x1~x2. . . ~xn
.
.
..
.
..
.
.êet en
posant
detβcan (~x1, ~x2, . . . , ~xn) = det(A).
(5) : L’application ainsi créée, detβcan :Kn×Kn×. . . ×Kn→Kest LA forme n-linéaire alternée telle que
detβcan (~e1, ~e2, . . . , ~en) = 1.
Déterminant d’une matrice carrée et d’une famille de nvecteurs de Kn.(16)
Du fait que le déterminant d’une famille de nvecteurs de Knest une forme n-linéaire alternée, les propriétés
suivantes sur les rangées (i.e. les lignes et les colonnes) d’un déterminant d’une matrice sont vérifiées :
— Échanger deux rangées d’une matrice change le signe d’un déterminant.
— Ajouter à une rangée une combinaison linéaire d’autres rangées qui lui sont parallèles ne modifie pas un
déterminant.
— On peut factoriser un scalaire commun à l’ensemble des termes d’une rangée.
— Si une matrice a deux lignes ou deux colonnes égales, son déterminant est nul.
Opérations élémentaires et déterminant : (17)
(1) : Soit A∈ Mn(K). Si Aest triangulaire par blocs de la forme : ÅA1A2
0A3ã, alors det(A) = det(A1) det(A3).
(2) : Ce dernier résultat se généralise à toute matrice triangulaire par blocs.
(3) : Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux.
Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs (18)
4

(1) : Soit A= (ai,j )∈ Mn(K). On note (~x1, . . . , ~xn)les colonnes de Aet detβcan la forme déterminant
associée à la base canonique (~e1, . . . , ~en)de Kn. On appelle cofacteur d’indices (i, j)de la matrice Ale scalaire
det(~x1, . . . , ~xj−1, ~ei, ~xj+1, . . . , ~xn).Notation : Ai,j .
(2) : On appelle mineur de A∈ Mn(K)d’indices (i, j)le déterminant d’ordre n−1obtenu en éliminant la i-ème
ligne et la j-ème colonne de A.Notation : ∆i,j
(3) : Soit A∈ Mn(K). Pour tout (i, j)∈[[ 1 , n ]] 2,Ai,j = (−1)i+j∆i,j .
(4) : Pour trouver visuellement la valeur de (−1)i+j, il suffit d’appliquer la règle du damier :
+−+· · ·
−+....
.
.
+......−
.
.
.· · · − +
(5) : Soit Aune matrice carrée d’ordre nà coefficients dans K. On a la formule suivante :
det A=
n
X
i=1
ai,j Ai,j =
n
X
i=1
(−1)i+jai,j ∆i,j ,
appelée développement de det Aselon sa j-ème colonne.
(6) : Un tel développement peut aussi se faire selon une ligne de Aet ne dépend pas de la rangée choisie.
(7) : Si n= 2 :det A=a1,1a2,2−a1,2a2,1; et si n= 3 :
det A=a1,1a2,2a3,3+a1,2a2,3a3,1+a1,3a3,2a2,1−a1,2a2,1a3,3−a1,3a3,1a2,2−a1,1a2,3a3,2
Formule de développement selon une rangée (19)
(1) : Soit A∈ Mn(K). On appelle comatrice de Ala matrice (Ai,j )des cofacteurs de A.Notation : Com(A).
(2) : Soit A∈ Mn(K).Ona:tCom(A).A = det(A)In.
(3) : Soit A∈GLn(K).Ona:A−1=1
det A
tCom(A).
(4) : En particulier, une matrice carrée à coefficients entiers admet une inverse à coefficients entiers si et
seulement si son déterminant vaut ±1.
(5) : Cette formule n’a pas d’utilité calculatoire pratique si n>4.
Application à l’expression de l’inverse d’une matrice carrée inversible (20)
IV — Polynômes annulateurs
1) Polynôme caractéristique
Soit Mune matrice carrée.
(1) : On définit son polynôme caractéristique par χM= det(XIn−M).
(2) : La forme développée est χM=PpcpXpoù cp∈K
Définition : (21)
(1) : cn= 1,cn−1=−Tr (M),cn= (−1)ndet(M).
(2) : χM=Xn−Tr (M)Xn−1+. . . + (−1)ndet(M)(le polynôme caractéristique est unitaire)
Propriété des coefficients (22)
5