FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES, Série STI (toutes spécialités) FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES I. . PROBABILITÉS Si A et B sont incompatibles : P (A ∪ B) = P (A) + P (B) Conjugué z = x + iy = ρeiθ ; 1 (z + z) 2 y= Dans le cas général : P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) x= P A = 1 − P (A) ; P (Ω) = 1 ; P (∅) = 0 z + z0 = z + z0 Dans le cas équiprobable : P (A) = Nombres d’éléments de A Nombres d’éléments de Ω ; 1 (z − z) 2i zz 0 = zz 0 zz 0 = x2 + y 2 = |z|2 x −y 1 z 1 = = 2 +i 2 = e−iθ z zz x + y2 x + y2 ρ Variable aléatoire Module et argument d’un produit, d’un quotient Fonction de répartition : F (x) = P (X ≤ x) Espérance mathématiques : E(X) = n X zz 0 = ρeiθ pi xi i=1 Variance : V (X) = ; z = x − iy = ρe−iθ n X i=1 Écart type : σ(X) = pi (xi − E(X)) 2 = p n X i=1 pi xi 2 − (E(X)) 2 V (X) ρ0 eiθ 0 = ρρ0 ei(θ+θ 0 ) |zz 0 | = |z||z 0 | 0 ρeiθ ρ z = 0 iθ0 = 0 ei(θ−θ ) 0 z ρ ρe z |z| 0 = 0 z |z | z n = ρeiθ n = ρn einθ , n ∈ ZZ Inégalité triangulaire II. ALGÈBRE ||z| − |z 0 || ≤ |z + z 0 | ≤ |z| + |z 0 | A. Nombres complexes Forme algébrique : z = x + iy Forme trigonométrique : z = ρ(cos θ + i sin θ) = ρeiθ , ρ > 0 −−→ OM = x~u + y~v M (z) Q ρ ~v O OQ = y = =(z) = ρ sin θ √ OM = ρ = |z| = x2 + y2 θ ~u OP = x = <(z) = ρ cos θ P Opérations algébriques z + z 0 = (x + iy) + (x0 + iy 0 ) = (x + x0 ) + i(y + y 0 ) zz 0 = (x + iy)(x0 + iy 0 ) = (xx0 − yy 0 ) + i(xy 0 + x0 y) B. Identités remarquables (valables sur C et donc sur R) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ; (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 a2 − b2 = (a + b)(a − b) ; a2 + b2 = (a + ib)(a − ib) FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES, Série STI (toutes spécialités) C. Trigonométrie D. Équations du second degré Soient a, b, c des nombres réels, a 6= 0 et ∆ = b2 − 4ac. M Q l’équation az 2 + bz + c = 0 admet : OP = cos θ - si ∆ > 0, deux solutions réelles : OQ = sin θ θ cos 2θ + sin 2θ = 1 P tan θ = z1 = π sin θ , θ 6= 2kπ cos θ 2 √ √ −b − ∆ −b + ∆ et z2 = 2a 2a - si ∆ = 0, une solution réelle double : z1 = z2 = - si ∆ < 0, deux solutions complexes conjuguées : Valeurs remarquables 0 sin 0 cos 1 tan 0 −b 2a π 6 π 4 √ 2 2 √ 2 2 1 2 √ 3 2 √ 3 3 π 3 √ 3 2 π 2 π 1 0 0 −1 1 2 √ 1 3 √ √ −b − i −∆ −b + i −∆ et z2 = z1 = 2a 2a Dans tous les cas : az 2 + bz + c = a (z − z1 ) (z − z2 ) . z1 + z2 = − b a , z1 z2 = c a 0 E. Suites arithmétiques, suites géométriques Suites arithmétiques Formules d’Euler cos θ = 1 2 eiθ + e−iθ , sin θ = 1 2i eiθ − e−iθ Premier terme u0 1 + 2 + ··· + n = Formules d’addition ; un+1 = un + a ; un = u0 + na n(n + 1) 2 ei(a+b) = eia eib Suites géométriques cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b Premier terme u0 cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b 2 2 cos 2a = cos a − sin 2a = 2 cos 2a − 1 = 1 − 2 sin a sin 2a = 2 sin a cos a cos2 a = 1 (1 + cos 2a) 2 ; sin2 a = 1 (1 − cos 2a) 2 Formules de Moivre Pour tout entier naturel non nul n, eiθ n = einθ soit encore (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ ; un+1 = bun ; Si b 6= 1, Sn = 1 + b + b2 + · · · + bn = Si b = 1, Sn = n + 1 un = u0 bn 1 − bn+1 1−b FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES, Série STI (toutes spécialités) III. A. ANALYSE Propriétés algébriques des fonctions usuelles 1. Fonctions logarithme et exponentielle Si x ∈ ]−∞ ; + ∞[ et y ∈ ] 0 ; + ∞[, ln 1 = 0 y = exp x = ex équivaut à x = ln y ln e = 1 0 ax = ex ln a (a > 0) (ea )b = eab e =1 ln(ab) = ln a + ln b a ln = ln a − ln b b ln ax = x ln a ea+b = ea eb ea−b = ea eb 2. Fonctions puissances xα = eα ln x 0 Si n ∈ N∗ , x ∈ [ 0; +∞[ et y ∈ [ 0; +∞[ α x =1 B. (xα )β = xαβ xα+β = xα xβ (x > 0) xα−β = x xβ y= √ n x équivaut à x = y n Limites usuelles des fonctions 1. Fonctions Comportement à l’infini Comportement à l’origine lim ln x = +∞ x→+∞ lim ln x = −∞ lim ex = +∞ x→0 x→+∞ Si α > 0, lim xα = 0 et si α < 0, lim xα = +∞ lim ex = 0 x→0 x→0 x→−∞ Si α > 0, lim xα = +∞ et si α < 0, lim xα = 0 x→+∞ x→+∞ Comportement à l’origine de ln(1 + x), ex , sin x Croissances comparées à l’infini lim ln(1 + h) =1 h lim eh − 1 =1 h lim sin h =1 h h→0 ex = +∞ x→+∞ x lim h→0 x lim xe = 0 x→−∞ h→0 lim x→+∞ ln x =0 x ex = +∞ x→+∞ xα Si α > 0, lim Si α > 0, lim xα e−x = 0 x→+∞ Si α > 0, lim x→+∞ ln x =0 xα 2. Suites (SÉRIES STI, spécialités génie électronique et génie électrotechnique) Si k > 1, lim kn = +∞ n→+∞ ; Si 0 < k < 1, lim kn = 0 n→+∞ FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES, Série STI (toutes spécialités) C. Dérivées et primitives (Les formules ci-dessous peuvent servir à la fois pour calculer des dérivées et des primitives) 1. Dérivées et primitives des fonctions usuelles f (x) f 0 (x) Intervalle de validité k 0 ] − ∞, +∞[ 2. Opérations sur les dérivées (u + v)0 = u0 + v 0 (ku)0 = k u0 x 1 ] − ∞, +∞[ x n , n ∈ N∗ nxn−1 ] − ∞, +∞[ 1 x 1 , n ∈ N∗ xn √ 1 x2 ] − ∞, 0[ ou ]0, +∞[ n xn+1 ] − ∞, 0[ ou ]0, +∞[ − − 1 √ 2 x x (uv)0 = u0 v + uv 0 0 u0 1 =− u u2 u 0 v = u0 v − uv 0 v2 (v ◦ u)0 = (v 0 ◦ u)u0 (eu )0 = eu u0 (ln u)0 = ]0, +∞[ u0 , u u à valeurs strictement positives (uα )0 = nuα−1 u0 D. xα , α ∈ R αxα−1 ]0, +∞[ ln x 1 x ]0, +∞[ ex ex ] − ∞, +∞[ cos x − sin x ] − ∞, +∞[ sin x cos x ] − ∞, +∞[ Calcul intégral Si F est une primitive de f , alors Z a Formule de Chasles Z c Z b Z f (t) dt = f (t) dt + a Z a a b f (t) dt = − Z f (t) dt = F (b) − F (a) Positivité c f (t) dt Si a ≤ b et f ≥ 0, alors b Z b a f (t) dt ≥ 0 b f (t) dt a Linéarité Z b Z (αf (t) + βg(t)) dt = α a b b f (t) dt + β a Z b g(t) dt a Intégration d’une inégalité Z b Z Si a ≤ b et f ≤ g, alors f (t) dt ≤ a g(t) dt a Si a ≤ b et m ≤ f ≤ M , alors m(b−a) ≤ Valeur moyenne de f sur [a, b] : E. b Équations différentielles Équations Solutions sur intervalle ] − ∞, +∞[ y 0 − ay = 0 f (x) = keax y 00 + ω 2 y = 0 f (x) = A cos ωx + B sin ωx 1 b−a Z Z b a f (t) dt ≤ M (b−a) b f (t) dt a