Correction Bac ES/L 2014 - Nouvelle Calédonie
Spécialité - Vendredi 7 Mars 2014
Exercice 4. Étude de fonction 6 points
Commun à tous les candidats
Soit fla fonction définie sur l’intervalle [2 ; 5] par f(x) = (3 −x)ex+ 1.
1. Montrer que, pour tout nombre réel xappartenant à l’intervalle [2 ; 5], f′(x) = (2 −x)exet f′′ (x) = (1 −x)ex.
Pour tout nombre réel xappartenant à l’intervalle [2 ; 5], la fonction fest dérivable et :
f′(x) = (−1) ex+ (3 −x)ex= (2 −x)ex
Pour tout nombre réel xappartenant à l’intervalle [2 ; 5], la fonction f′est dérivable et :
f′′ (x) = (−1) ex+ (2 −x)ex= (1 −x)ex
2. Étudier les variations de la fonction fsur l’intervalle [2 ; 5].
•Sur [2 ; 5] : pour tout x, e x>0donc f′(x)est du signe de 2−x.
•Sur ]2 ; 5],2−x < 0donc la fonction fest strictement décroissante sur [2 ; 5].
3. Justifier que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution αdans l’intervalle [2 ; 5].
•La fonction fest strictement décroissante sur [2 ; 5] ;
•De plus : (f(2) = (3 −2) e2+ 1 = e2+ 1 ≈8,4>0
f(5) = (3 −5) e5+ 1 = −2e5+ 1 ≈ −296 <0
•Or 0∈[f(2) ; f(5)] donc, d’après la propriété des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = 0 admet une solution unique
αdans [2 ; 5]. En effet :
Si fest une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b],
alors, pour tout réel kcompris entre f(a)et f(b), l’équation f(x) = kadmet une unique solution dans l’intervalle
[a;b].
Théorème 1 (Corolaire du théorème des valeurs intermédiaires)
•Comme (f(3) = (3 −3) e3+ 1 = 1 >0
f(4) = (3 −4) e4+ 1 = −e4+ 1 ≈ −53,6<0
On peut dire que :
3< α < 4
4. 4. a. Montrer que Ta pour équation y=−e3x+ 3e3+ 1.
Soit Tla tangente à la courbe représentative de la fonction fau point d’abscisse 3.
La droite Ta pour équation
y=f′(3)(x−3) + f(3)
or f′(x) = (2 −x)exdonc f′(3) = (2 −3) e3=−e3et f(3) = 1.
Donc l’équation de Test : y=−e3(x−3) + 1 soit
(T) : y=−e3x+ 3 e3+ 1
4. b. L’abscisse du point d’intersection de la droite Tet de l’axe des abscisses est la solution de l’équation
−e3x+ 3 e3+ 1 = 0
or on a :
−e3x+ 3 e3+ 1 = 0 ⇐⇒ 3e3+ 1 = e3x⇐⇒ 3e3+ 1
e3=x⇐⇒ x= 3 + e−3
Le point d’intersection de Tavec l’axe des abscisses a pour coordonnées
I3 + e−3; 0
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