Topologie Aut - Université d`Orléans

Université d’Orléans
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Licence de Mathématiques
MA5.01 – Topologie
Automne 2006
Page web:
http : //www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF.html
IV. Espaces de Banach et espaces de Hilbert,
applications linéaires continues,
exemples
Stefan Banach
mathématicien polonais
(1892–1945)
David Hilbert
mathématicien allemand
(1862–1943)
1. Généralités sur les espaces de Banach
Définition : Un espace de Banach est un espace normé (E, k . .k) qui est complet pour
la distance d(x, y) = k x − y k
Exemples :
• R et C sont des espaces de Banach pour | . | (valeur absolue, respectivement module)
n
n
• R et C sont des espaces de Banach pour les normes équivalentes
(
1
|x1 |p + . . . + |xn |p p si 1 ≤ p < +∞
kxkp =
max |x1 | , . . . , |xn |
si p = +∞
Plus généralement, un produit E = E1 × E2 d’espaces de Banach est un espace de
Banach, pour les normes équivalentes
(
1
si 1 ≤ p < +∞
kx1 kEp 1 + kx2 kEp 2 p
k(x1 , x2 )kp =
max kx1 kE1 , kx2 kE2
si p = +∞
• L’espace B(X) des fonctions bornées sur un ensemble quelconque X est de Banach
pour la norme (de la convergence uniforme)
kf k∞ = supx∈X |f (x)|
• (Voir § 4) L’espace C(X) des fonctions continues sur un espace métrique compact X
est un espace de Banach pour la norme de la convergence uniforme. (C’est un sous–espace
de Banach de B(X).)
• C([0, 1]) n’est pas un espace de Banach pour la norme
Z 1
kf k1 =
|f (x)| dx
0
Pn
j
• L’espace P([0, 1]) des fonctions polynomiales f (x) =
j=0 aj x sur [0, 1] n’est un
espace de Banach pour aucune norme
Z 1
kf k = max |aj | , kf k+ ∞ = sup |f (x)| , kf k1 =
|f (x)| dx
x∈[0,1]
0
Proposition : Un espace normé E est de P
Banach si et seulement si, pour toute suite
+∞
(xn )n∈N dans E , la convergence de la série
n=0 kxn k dans R implique la convergence
P+∞
de la série
n=0 xn dans E (convergence normale).
2. Espaces de dimension finie
Théorème : Toutes les normes sur Rn sont équivalentes
Corollaire :
(a) Sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes
(b) Tout espace normé de dimension finie est de Banach
(c) Dans un espace normé de dimension finie,
une partie est compacte si et seulement si elle est à la fois fermée et bornée.
Théorème (Riesz) :
Les boules fermées d’un espace normé de dimension infinie ne sont jamais compactes
3. Applications linéaires continues
Théorème : Conditions équivalentes,
pour une application linéaire T : E → F entre deux espaces normés :
(a) T est continue
(b) T est continue à l’origine
(c) ∃ C ≥ 0 , ∀ x ∈ E , kT (x)kF ≤ C kxkE
(x)kF
< +∞
(d) sup x∈Er{0} kTkxk
E
(e) sup kxkE ≤1 kT (x)kF < +∞
(f) sup kxkE =1 kT (x)kF < +∞
Remarques :
• Dans ce cas, les quantités (d), (e), (f) sont égales au minimum des constantes C ≥ 0
intervenant dans (c). On obtient ainsi la norme d’opérateur de T .
• L’ensemble L(E, F ) des applications linéaires continues de E dans F est un espace
vectoriel normé pour
◦ l’addition : (S + T )(x) = S(x) + T (x)
◦ la multiplication scalaire : (λT )(x) = λ T (x)
◦ la norme d’opérateur notée kT kL(E,F ) , kT kE→F ou plus simplement k|T k| , kT k
• La norme d’opérateur vérifie
◦ kT (x)kF ≤ kT kL(E,F ) kxkE
◦ kT ◦ SkL(E,G) ≤ kT kL(F,G) kSkL(E,F )
◦ kIkL(E,E) = 1
• La norme d’opérateur est difficile à évaluer en général
• dim E < +∞ =⇒ toute application linéaire T : E → F est continue.
• F de Banach =⇒ L(E, F ) de Banach
Définition : Soit E un espace vectoriel normé sur F = R ou C .
Le dual (topologique) de E est
l’espace E ∗ = L(E, F) des formes linéaires continues sur E
( i.e. des applications linéaires continues f : E → F ) .
C’est un espace de Banach pour la norme (d’opérateur)
kf kE ∗ = sup kxkE ≤1 |f (x)| = sup kxkE =1 |f (x)|
4. Exemple : C(X)
Cadre :
X = espace métrique compact
C(X) = ensemble des fonctions continues sur X (à valeurs réelles ou complexes)
Proposition : C(X) est une algèbre de Banach avec unité
• addition : (f + g)(x) = f (x) + g(x)
• [ multiplication scalaire : (λf )(x) = λ f (x) ]
• multiplication : (f · g)(x) = f (x) g(x)
• unité : 1 (fonction constante)
• norme (de la convergence uniforme) : k f k+ ∞ = sup x∈X | f (x) |
• k f · g k+ ∞ ≤ k f k+ ∞ k g k+ ∞
• k 1 k+ ∞ = 1
• C(X) est complet pour k . .k+ ∞
Théorème de Weierstrass :
L’espace P([a, b]) des fonctions polynomiales est dense dans C([a, b])
• Réduction à un intervalle de référence (TD)
• Démonstration 1 : Polynômes de Bernstein (TD)
• Démonstration 2 : Convolution (TD)
• Démonstration 3 : Corollaire de Stone–Weierstrass
Théorème de Stone–Weierstrass :
Soit A une partie non vide de C(X). Supposons que
(i) A est une sous–algèbre de C(X) i.e.
A est stable par addition, mutiplication scalaire, et multiplication
(ii) A est autoadjointe i.e.
f ∈ A =⇒ f ∈ A
(iii) A ne s’annule nulle part i.e.
∀ x ∈ X, ∃ f ∈ A telle que f (x) 6= 0
(iv) A sépare les points de X i.e.
si x et y sont deux points distincts de X, il existe f ∈ A telle que f (x) 6= f (y)
Alors A est dense dans C(X).
Remarques :
• La condition (ii) est superflue dans le cas réel
• Si A contient les fonctions constantes (ce qui est souvent le cas dans les applications),
la condition (iii) est superflue
et la condition (i) se réduit à la stabilité de A par addition et par multiplication
Théorème d’Ascoli–Arzelà :
Soit A une partie (non vide) de C(X). Alors A est compacte si et seulement si
(i) A est équicontinue i.e.
∀ x ∈ X, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ f ∈ A, ∀ y ∈ B(x, δ), |f (x) − f (y)| < ε
(ii) A est équibornée i.e.
∀ x ∈ X, ∃ C ≥ 0, ∀ f ∈ A, |f (x)| ≤ C
Remarques :
• Comme pour la continuité, l’équicontinuité est uniforme sur X :
∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ f ∈ A, ∀ x, y ∈ X avec d(x, y) < δ, |f (x) − f (y)| < ε
• A posteriori, A est uniformément bornée :
sup f ∈A sup x∈X |f (x)| < +∞
5. Exemple : `p
Définition : Soit 1 ≤ p ≤ +∞ .
On désigne par `p (N) ou plus simplement `p l’ensemble des suites x = (xn )n∈N de
nombres réels ou complexes telles que
P
p
n∈N |xn | < +∞ si p < +∞
sup n∈N |xn | < +∞
si p = +∞
Propriétés :
p
• ` est un espace vectoriel (réel ou complexe).
( P
1
|xn |p p
si p < +∞
n∈N
• kxkp =
est une norme sur `p .
sup n∈N |xn | < +∞ si p = +∞
L’inégalité de Minkowski est l’inégalité triangulaire
P
1 P
1
P
1
p p
p p
p p
≤
+
.
n∈N |xn |
n∈N |yn |
n∈N | xn + yn |
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
k x + y kp
•
•
•
•
k y kp
Elle est immédiate dans les cas p = 1 et p = +∞ .
Si 1 < p < +∞ , elle résulte de l’inégalité suivante.
Inégalité de Hölder :
Soient 1 ≤ p, q ≤ +∞ des indices conjugués i.e. p1 +
P+∞
P+∞
Alors xn y n ≤
|xn | |yn | ≤ kxkp kykq .
n=0
•
k x kp
1
q
= 1.
n=0
p
` est un espace de Banach.
`p ⊂ `q si et seulement si p ≤ q .
Soit 1 ≤ p < +∞ :
L’espace cc des suites finies (i.e. nulles à partir d’un certain rang) est dense dans `p .
Dans `∞ , l’adhérence de cc est l’espace c0 des suites tendant vers 0 à l’infini.
Soient 1 ≤ p < +∞ et 1 < q ≤ +∞ des indices conjugués.
Alors le dual topologique de `p s’identifie à `q .
Plus précisément, tout y ∈ `q définit une forme linéaire continue sur `p par
P+∞
Ty (x) = n=0 xn yn .
L’application y 7−→ Ty est un isomorphisme isométrique de `q sur (`p )∗ .
Le dual topologique de c0 s’identifie de même à `1 .
Le dual topologique de `∞ est difficile à décrire.
6. Espaces de Hilbert
Soit H un espace vectoriel sur F = R ou C .
Définition :
Un produit scalaire sur H est une application (x, y) 7−→ h x, y i de H × H dans F
telle que
• h y, x i = h x, y i
• h x, y i est linéaire en x et antilinéaire en y
• h x, x i ≥ 0 avec égalité ⇐⇒ x = 0
Propriétés :
• Inégalité de Cauchy–Schwarz :
|h x, y i|2 ≤ h x, x i h y, y i avec égalité ⇐⇒ x et y sont colinéaires
p
• kxk =
h x, x i est une norme
Inégalité de Minkowski :
kx + yk ≤ kxk + kyk avec égalité ⇐⇒ x et y sont positivement colinéaires
• Formule de polarisation :
kx + yk2 − kx − yk2
si F = R
4 h x, y i =
2
2
2
2
kx + yk − kx − yk + i kx + iyk − i kx − iyk si F = C
• Identité du parallèlogramme :
Une norme sur H est associée à un produit scalaire si et seulement
elle vérifie
2
2
2
2
kx + yk + kx − yk = 2 kxk + kyk
Définition : Un espace de Hilbert est un espace vectoriel (réel ou complexe)
qui est muni d’un produit scalaire et qui est complet pour la norme associée
Remarque : Les espaces de Hilbert sont les espaces de Banach vérifiant l’identité du
parallèlogramme
P+∞
Exemple : `2 est un espace de Hilbert pour le produit scalaire h x, y i = n=0 xn yn .
Généralisation : Soit X un ensemble non vide.
`2 (X) est l’ensemble des fonctionsPf à valeurs réelles ou complexes sur X telles que
2
x∈X |f (x)| < +∞ , P
P
2
2
où
désigne le supremum des sommes
x∈X |f (x)|
x∈Y |f (x)| , Y parcourant les
sous–ensembles finis de X. C’est un espace
P de Hilbert pour le produit scalaire
h f, g i = x∈X f (x) g(x) .
Définition : Soit A une partie non vide de H
A⊥ = { x ∈ H | h x, y i = 0 ∀ y ∈ A } est l’orthogonal de A dans H
Propriétés :
⊥
• A
est un sous–espace fermé de H
⊥
• On a la décomposition orthogonale H = V ⊕ V ,
pour tout sous–espace fermé V dans H .
• Soit V un sous–espace de H .
Alors (V ⊥ )⊥ coı̈ncide avec l’adhérence V de V dans H .
En particulier, V est dense dans H si et seulement si V ⊥ = {0} .
Définitions :
Un système orthonormé dans H est une partie de H dont les vecteurs sont
• deux à deux orthogonaux,
• de norme égale à 1 .
Une base Hilbertienne de H est un système orthonormé B qui est total
( i.e. B engendre un sous–espace dense dans H ).
Propriétés :
• Un système orthonormé est libre
• Tout espace de Hilbert H possède des bases hilbertiennes. Plus précisément,
tout système orthonormé dans H est contenu dans une base hilbertienne de H
• Toutes les bases hilbertiennes de H ont le même cardinal
• H est séparable ( i.e. H contient un ensemble dense au plus dénombrable )
⇐⇒ H possède une base hilbertienne au plus dénombrable
On considère dorénavant des espaces de Hilbert H à bases hilbertiennes dénombrables
Théorème : Soit {en }n∈N une base hilbertienne de H . Alors :
(a) Pour toute suite (an ) ∈ `2 ,
P+∞
la série x = n=0 an en converge dans H et hx, en i = an pour tout n ∈ N .
(b) Réciproquement, pour tout x ∈ H ,
P+∞
la suite an = hx, en i appartient à `2 et on a x = n=0 an en dans H .
(c) On obtient ainsi un isomorphisme isométrique entre H et `2 .
En particulier, on a les identités de Parseval (ou de Pythagore généralisées)
(
P+∞
2
kxk2 =
n=0 | h x, en i |
P+∞
h x, y i =
n=0 h x, en i h y, en i
Exemples :
ième
• On note en la suite dont tous les coefficients sont nuls, sauf le n
qui est égal à 1 .
2
Les en constituent une base hilbertienne de ` .
• On note T le cercle–unité dans C .
Les exponentielles en (eiθ ) = einθ ( n ∈ Z ) constituent une base hilbertienne de L2 (T) .