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Probabilités
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1. Loi de probabilité
Définition : On appelle expérience aléatoire une expérience dont on ne peut prévoir le
résultat.
Exemple : Lancer un dé est une expérience aléatoire
Une expérience aléatoire associe à chaque résultat possible une fréquence d’apparition.
Lorsque le nombre d’expériences augmente, la fréquence d’apparition de chaque résultat se
rapproche d’une fréquence « théorique », la probabilité.
La répartition de ces fréquences « théorique » est la
loi de probabilité de l’expérience.
La fréquence théorique peut être déterminée de façon totalement théorique comme dans le cas d’un lancé de dé mais
peut aussi être le résultat de la répétition des expériences.
Simuler une expérience c’est créer une expérience ayant la même loi de probabilité.
Définition : Soit E un ensemble fini de résultats : E = {e1, e2, … ,en}. Une loi de probabilité
P sur E associe à chaque résultat ei sa probabilité, le nombre pi.
On a donc pi = P(ei)
Une loi de probabilité est souvent donnée sous la forme d’un tableau. Exemple pour la loi de probabilité d’un dé non
truqué :
Résultat ei
1
2
3
4
5
6
Probabilité pi
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Propriétés d’une loi de probabilité :
– Toutes les probabilités sont comprises entre 0 et 1. On note : pi
–
La somme des probabilités est 1. On note :
n
[0 ; 1]
pi = 1
i=1
Objectif 1 : savoir déterminer une loi de probabilité (C13–05). Exercices p300 n°5, 6, 8 puis 10 et 12
Définition : Une situation d’équiprobabilité est une situation où tous les n résultats sont
équiprobables. Dans ce cas la probabilité de chaque résultat est de 1/n
2. Vocabulaire des probabilités
Définition : Dans le cas d’une expérience aléatoire, on appelle univers l’ensemble de tous
les résultats possibles.
Notation : L’univers est souvent noté E ou parfois Ω (oméga). C’est un ensemble fini on le note entre
accolades.
Définition : Un événement élémentaire est une partie de l’univers constituée d’un résultat
unique.
Définition : Un événement est une partie de l’univers. Un événement est noté par une
lettre majuscule.
Un événement est défini par une phrase entre guillemet ou par un ensemble de valeurs entre accolades
(notation ensembliste)
Définition : L’événement A
B (A union B ; A ou B) est l’ensemble des résultats qui font
partie de A ou de B.
Définition : L’événement A
B (A inter B ; A et B) est l’ensemble des résultats qui font
partie de A et de B.
Définition : L’événement contraire de l’événement A (noté A ) est l’ensemble de tout les
résultats de l’univers qui ne sont pas dans A.
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Thierry Loof
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Définition : Deux événements incompatibles sont deux événements dont l’intersection est
vide.
Objectif 2 : Connaitre le vocabulaire et les notations (C13 01 à 04). Exercices p 300 n° 15, 16, 19,21
Définition : On dit que les évènements A et B d’un univers fini
sont équiprobables pour
la probabilité P si et seulement si : P(A) = P(B).
C’est le bon moment pour parler des phrases avec quantificateur, de leur négation et de la négation des intersections et
des unions.
3. Modéliser
Avec un tableau
Un tableau permet de déterminer tous les résultats possibles lorsqu’il y a deux expériences ou
répétition de la même expérience.
Exemple : On lance deux dés à quatre faces, non truqués et on multiplie les deux nombres obtenus.
1
1
2
3
4
1
2
3
4
2
2
4
6
8
3
3
6
9
12
4
4
8
12
16
La loi de probabilité de l’expérience aléatoire est donc :
1
2
3
4
6
8
9
12
16
1/16 2/16 2/16 3/16 2/16 2/16 1/16 2/16 1/16
Produit
Probabilité
Avec un arbre
Un arbre permet de déterminer tous les résultats possibles lorsqu’il y a deux expériences ou
plus ou plusieurs répétitions de la même expérience.
Exemple : Trois naissances à la maternité.
G
G
F
G
G
F
F
G
G
F
F
G
F
F
Objectif 3 : Savoir modéliser une expérience aléatoire (C13–06 et 07). Exercice p 303 n°44, 45
4. Calcul avec des probabilités
Définition : Si A est la réunion de p évènements élémentaires, A = {e1, e2, … ep}
alors P(A) = P(e1) + P(e2) + … P(ep)
Théorème : Soit
un ensemble fini et P une loi de probabilité sur . Si tous les événements
nombre de cas favorables
élémentaires sont équiprobables alors : P(A) =
nombre de cas possibles
Théorème : P( A ) = 1 – P(A)
Théorème : p(A
2°
B) = P(A) + P(B) – P(A
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B)
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Théorème : A et B sont deux événements incompatibles si et seulement si P(A
Théorème : A et B sont deux événements incompatibles si et seulement si P(A
P(B)
B) = 0
B) = P(A) +
Exercices p 301 n° 23, 24 et 27
Exercice p 302 n°39
Exercice p 305 n°66
p 308 n° 89
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