Cours d`Analyse Fonctions d`une variable

Cours d’Analyse
Fonctions d’une variable
Licence 1`ere ann´ee – 2007/2008
Nicolas Prioux
Universit´e de Marne-la-Vall´ee

Table des mati`eres
1 Fonctions usuelles...................................................... 5
1.1 Rappels et notations............................................... 5
1.1.1 Symboles Math´ematiques....................................... 5
1.1.2 Rappels sur les nombres r´eels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Exemples de fonctions ......................................... 6
1.2 La fonction logarithme n´ep´erien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 La fonction exponentielle .......................................... 10
1.4 Fonctions sinus et cosinus......................................... 12
1.4.1 Le cercle trigonom´etrique ...................................... 12
1.4.2 D´eriv´ees des fonctions sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3 Courbes repr´esentatives........................................ 13
2 Limite et continuit´e.................................................... 15
2.1 L’ensemble R...................................................... 15
2.2 Limite d’une fonction en +∞(ou −∞)............................ 16
2.2.1 Limite infinie.................................................. 16
2.2.2 Limite finie.................................................... 17
2.3 Limite en un point................................................. 17
2.4 Limites et in´egalit´es............................................... 19
2.5 Op´erations sur les limites.......................................... 20
2.6 Calcul de limites en pratique....................................... 21
2.6.1 Quotien de deux polynˆomes .................................... 21
2.6.2 Croissances compar´ees......................................... 22
2.6.3 Limite du taux d’accroissement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6.4 Forme conjugu´ee............................................... 24
2.6.5 Th´eor`eme d’encadrement (ou des gendarmes). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.6 Factoriser par un terme........................................ 24
2.7 Fonctions continues................................................ 25
2.7.1 D´efinition et exemples ......................................... 25
2.7.2 Prolongement par continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7.3 Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3

2.7.4 Th´eor`eme de bijection ......................................... 27
2.8 Asymptotes........................................................ 27
2.8.1 Asymptote horizontale......................................... 27
2.8.2 Asymptote verticale............................................ 28
2.8.3 Asymptote oblique............................................. 28
3 Fonctions d´erivables.................................................... 29
3.1 La d´eriv´ee comme limite........................................... 29
3.1.1 D´eriv´ee et taux d’accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Approximation affine tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.3 Notion de d´eriv´ee en ´economie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 D´eriv´ee et sens de variation........................................ 32
3.3 Continuit´e et d´erivabilit´e........................................... 32
3.4 Op´erations sur les d´eriv´ees......................................... 33
3.5 D´eriv´ees et extrema................................................ 34
3.6 Fonctions convexes................................................ 35
4´ Etude d’une fonction d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Chapitre
Fonctions usuelles
1
1.1 Rappels et notations
1.1.1 Symboles Math´ematiques
∀: pour tout.
∃: il existe.
I⊂R:Iest un ensemble de R.
x∈I:xappartient `a I.
1.1.2 Rappels sur les nombres r´eels.
On note Nl’ensemble des entiers naturels, Zl’ensemble des entiers relatifs :
N={0,1,2,3, . . .},
Z={. . . , −3,−2,−1,0,+1,+2,3, . . .}.
On note Ql’ensemble des nombres rationnels, c’est-`a-dire l’ensemble des nombres de
la forme p
q, o`u pet qsont des entiers relatifs (avec q6= 0).
Il est difficile de d´efinir de fa¸con pr´ecise l’ensemble Rdes nombres r´eels. Nous nous
contenterons de l’interpr´etation g´eom´etrique qui permet d’identifier R`a une droite
orient´ee munie d’une origine et d’une unit´e de longueur. Dans cette interpr´etation
g´eom´etrique, la distance entre deux nombres r´eels aet bse d´efinit naturellement par
|a−b|. L’ensemble Rcontient l’ensemble des rationnels (et donc aussi Net Z), mais
il existe des nombres r´eels qui ne sont pas des nombres rationnels (exemple : √2).
Si xest un nombre r´eel, le plus grand entier relatif qui soit inf´erieur ou ´egal `a xest
appel´e partie enti`ere de xet not´e E(x). Ce nombre entier est caract´eris´e par la double
in´egalit´e :
E(x)≤x<E(x)+1.
Exercice 1.1.1 Tracer le graphe de la fonction x7→ E(x).
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