1 Théorèmes de convergence

Université Pierre et Marie Curie Analyse réelle, MM003
Master de Mathématiques, M1 Année universitaire 2010-2011
Ayman Moussa
TD no5 – Intégration.
On désigne par (X, A, µ) un espace mesuré. Pour tout p∈[1,∞] on confondra par la suite un élément
de Lp(µ) avec sa classe d’équivalence pour la relation « être égal presque partout » , cette deuxième étant
donc un élément de Lp(µ) (voir le cours pour le détail de ce qui précède).
1 Théorèmes de convergence
Exercice 1.1:
1. Soit Eune partie de Xet Ecson complémentaire. Vérifier que l’inégalité de Fatou peut-être stricte
grâce à la suite suivante : fn:= 1Esi npair, fn:= 1Ecsi nimpair.
2. Justifier que la domination est indispensable dans le théorème de convergence dominée.
3. Exhiber un contre-exemple justifiant qu’une hypothèse de “monotonie” serait insuffisante dans le
théorème de convergence monotone.
4. Énoncer (et démontrer) un théorème de “convergence décroissante” valable.
Exercice 1.2: Le cas des séries
Soit (fn)n≥1une suite de L1(µ). On suppose que
∞
X
n=1 ZX
|fn|dµ < ∞.
1. Montrer que la série
∞
X
n=1
fn(x)
converge presque partout et, à un ensemble négligeable près, définit un élément de L1(µ) : f,
vérifiant :
ZX
fdµ =
∞
X
n=1 ZX
fndµ.
2. Calculer :
Z1
0
ln(x)
1−xdx.
Exercice 1.3:
1. Calculer les limites suivantes, pour n→+∞(ou bien donner un équivalent) :
An:= Zn
01−x
nndx, Bn:= Z1
0
ne−x
nx + 1dx, Cn:=
∞
X
k=1
n
nk2+k+ 1.
2. Montrer que
Z+∞
0
sin(x)
ex−1dx =X
n≥1
1
n2+ 1.
1

2 Outils de calculs
Exercice 2.1: Intégrale à paramètre
Calculer l’intégrale :
Z∞
0
arctan(πx)−arctan(x)
xdx.
Indication : On utilisera l’expression arctan(z) = zZ1
0
arctan′(sz)dset l’égalité, valable pour tout z > 0:
arctan(z) + arctan(1
z) = π 2.
Exercice 2.2: Fubini
Soit f: (X, A)→R+mesurable.
Montrer que :
ZX
f dµ =Z∞
0
µ(f > t) dt.
Exercice 2.3: Changement de variable et ζ(2)
(a) Montrer que Z[0,1]2
dxdy
1−xy =X
n≥1
1
n2.
(b) (i) Appliquer le changement de variable u= (x+y)/2, v= (y−x)/2 à l’intégrale précédente pour
obtenir :
ζ(2)
4=Z1/2
u=0 Zu
v=0
dudv
1−u2+v2+Z1
u=1/2Z1−u
v=0
dudv
1−u2+v2.
(ii) Retrouver la valeur de ζ(2).
3 Espaces Lp
3.1 Propriétés générales
Exercice 3.1: Inégalité d’interpolation
Soit 1 ≤p < q < ∞et f∈Lp(µ)∩Lq(µ).
1. Montrer que, pour tout r∈]p, q[
f∈Lr(µ) et kfkr≤ kfkθ
pkfk1−θ q
Où θ∈]0,1[ est défini par 1
r=θ p+1−θ q.
2. Soit f:R→Rmesurable. Que peut-on dire de la nature géométrique et topologique de l’ensemble :
{p∈[1,∞[; f∈Lp(R)}?
Exercice 3.2: Riesz-Fischer
Le but de cet exercice est de démontrer le théorème de Riesz-Fischer.
1. Traiter le cas p=∞.
2. Soit 1 ≤p < ∞et (fn)n∈Nune suite de Cauchy de Lp(µ).
(a) Justifier l’existence d’une sous-suite (fnk)k∈Ntelle que pour tout k∈N:
kfnk+1 −fnkkp≤1
2k
2

(b) On pose gk(x) :=
k
X
i=1
|fni+1 (x)−fni(x)|.Montrer que (gk(x))k∈N∗converge presque sûrement
vers une limite finie g(x) et montrer que la fonction gainsi définie presque partout appartient
à Lp(µ).
(c) En déduire que (fnk(x))nconverge presque sûrement vers une limite f(x), que celle-ci définit
un élément de Lp(µ), limite de (fn)ndans cet espace.
Remarque : Au cours de la preuve on a obtenu le résultat suivant : si (fn)n∈Nconverge vers f
dans Lp(µ), on peut extraire une sous-suite (fnk)k∈Nconvergeant presque partout vers f.
Exercice 3.3: La convergence presque partout n’est pas « topologisable »
1. Construire une suite (fn)n∈Nde L1(]0,1[) qui converge dans cet espace, mais pas presque partout.
2. En déduire qu’il n’existe pas de topologie sur l’espace des fonctions telle que la convergence au sens
de cette topologie coïncide avec la convergence presque partout.
3.2 Liens entre les Lp
Exercice 3.4: Inclusions
1. Démontrer que si µ(X)<∞alors les espaces Lp(µ) s’injectent continûment par ordre décroissant
d’exposant.
2. Pour p6=q∈[1,∞], démontrer que Lp(R)⊂Lq(R) n’est jamais vrai. Que dire dans le cas des
ℓp(N) ?
Exercice 3.5: Topologies
Constuire une suite de de L1(R)∩L2(R) convergente dans L1(R) et pas dans L2(R), une autre
convergente dans L2(R) et pas dans L1(R).
Remarque : De manière plus générale, pour p < q, les deux normes k · kpet k · kqne définissent jamais la
même topologie sur Lp(R)∩Lq(R).
3.3 Sous-espaces denses et séparabilité
On se limite ici au cas d’un ouvert Ω de Rnmuni de la tribu des boréliens et de la mesure de lebesgue,
notée µpar la suite. On rappelle (voir le cours) que les ensembles de fonctions étagées, de fonctions en
« escaliers » (au sens des pavés) et des fonctions continues à support compact dans Ω sont tous les trois
denses dans Lp(Ω) pour tout p∈[1,∞[.
Exercice 3.6: Séparabilité
1. Vérifier la séparabilité de Lp(µ, Ω) (p∈[1,∞[).
2. (a) Soit Eun espace vectoriel topologique, on suppose qu’il existe une famille (Oi)i∈Itelle que :
(i) ∀i,Oiest un ouvert non vide de E,
(ii) Si i6=j, alors Oi∩Oj=∅,
(iii) In’est pas dénombrable.
Montrer que En’est pas séparable.
(b) Pour tout a∈Ω, on fixe ra>0 tel que B(a, ra)⊂Ω. En utilisant la question précédente et
les ensembles Oa:= {f∈L∞(µ, Ω); kf−1B(a,ra)k∞<1/2}, vérifier que L∞(µ, Ω) n’est pas
séparable.
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Exercice 3.7: Continuité des translations et Riemann-Lebesgue
1. Soit f∈Lpfixée. Montrer que kτyf−fkp−→
y→00, où τyf(x) = f(x−y).
2. Soit f∈L1(R), et ˆ fsa transformée de Fourier. Montrer que :
lim
|ξ|→∞
ˆ
f(ξ) = 0.
3.4 Dualité et topologies faibles
Exercice 3.8:
1. Soit p∈]1,∞]. Quel résultat du cours implique que, pour une suite (fn)n∈Nbornée de Lp(R), il
existe une sous-suite (fnk)k∈Nvérifiant pour tout g∈Lp′(R) (exposant conjugué) :
ZR
fnk(x)g(x)dx−→
k→+∞ZR
f(x)g(x)dx. (1)
2. On peut donner un contre-exemple à la question précédente dans le cas où p= 1.
(a) Considérer f(x) := 1[−1,1](1 − |x|) et les « concentrations » fn(x) := nf(nx) (faire un dessin).
Montrer que la suite (fn)n∈Nest à valeurs dans la sphère unité de L1(R).
(b) Soit f∈L1(R) vérifiant (1) pour p= 1 et une certaine extraction (fnk)k∈N. Soit ε > 0 et
g∈L∞(R) dont le support est inclus dans {|x| ≥ ε}. Montrer que
ZR
f(x)g(x)dx= 0,
et en déduire que fest nulle presque partout.
(c) Conclure.
3. Soit f∈C0
c(R) (continue à support compact). Vérifier que la suite (f(x−n))n∈Nconverge faible-
ment vers 0 dans tous les Lp(R) pour p∈]1,∞[. Vérifier que ce n’est pas le cas pour p= 1 et que
pour p=∞il y a convergence faible−⋆vers 0.
Indication : Pour la première partie de la question, on pensera à la décomposition 1R=1]−n,n[+1|x|≥n,
et au fait que pour g∈Lp′(R),g1|x|≥ntend vers 0dans Lp′(R).
Remarque : Dans le cas p∈]1,∞[, convergence faible et convergence faible−⋆se confondent : les Lp
sont alors réflexifs.
4. Vérifier que la suite (x7→ einx)n∈Nest faiblement−⋆convergente vers 0 dans L∞(R).
Exercice 3.9: Le dual topologique de L∞est plus gros que L1
En utilisant le théorème de prolongement d’Hahn-Banach, démontrer que le dual topologique de
L∞(R) contient strictement L1(R). Plus précisément, on montrera que :
L1(R)−→ F(L∞(R),R)
f7−→ g7→ ZR
fg
définit une application injective non surjective de L1(R) dans le dual topologique de L∞(R).
Remarque : On le savait déjà ! En effet, on a vu que si le dual topologique d’un espace Eest séparable,
alors il est en de même de E, ce qui n’est pas le cas de L∞.
Exercice 3.10: Un critère d’unicité pour les limites faibles
Soit p∈]1,+∞[ et Ω un ouvert de Rn. Soit (fn)n∈Nune suite de Lp(Ω) et f∈Lp(Ω) tels que
fn⇀ f. On suppose par ailleurs que (fn)n∈Nconverge presque partout : fn−→ gp.p.
1. Montrer que (fn)n∈Nest bornée dans Lp(Ω) et que g∈Lp(Ω).
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2. On veut prouver que g=fpresque partout.
(a) Remarquer qu’il suffit de montrer que pour toute suite (hn)n∈Nbornée de Lp(Ω), et h∈Lp(Ω)
tels que :
hn⇀0
hn−→ hp.p.
on a hnul presque partout.
(b) Soit ϕ∈Lp′(Ω) et soit εun élément fixé de Lp(Ω) strictement positif presque partout. En
découpant :
ZΩ
ϕ(x)hn(x)dx,
selon que |hn| ≤ |h|+εou non, montrer que
ZΩ
ϕ(x)h(x)dx= 0.
(c) Conclure.
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