chap 18 : Trigonométrie Fonctions trigonométriques

Lyc´ee Henri IV chap 18 : Trigonom´etrie HKBL
Fonctions trigonom´etriques
0 Fonctions p´eriodiques
0.1 D´efinition
d´efinition 0.1 :
Soient fune fonction d´efinie sur Ret Tun r´eel strictement positif.
On dit que fest p´eriodique de p´eriode T, ou T-p´eriodique si et seulement si :
∀x∈R, f(x+T) = f(x)
Exemples : en cours
0.2 Interpr´etation graphique
Propri´et´e 0.2 :
Soient Tun r´eel strictement positif, fune fonction d´efinie sur Ret Cfsa courbe repr´esentative dans un rep`ere
(O,
→
i ,
→
j).
La fonction fest T-p´eriodique si et seulement si la courbe Cfest invariante par translation de vecteur T
→
i.
Exemples : en cours
−9−8−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T→ i
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
O
y=f(x)
~ı
~
I Fonctions circulaires
1.1 Fonction sinus
d´efinition 1.1 :
Nous verrons lors du cours sur les complexes que la fonction sinus, not´ee sin, est d´efinie sur R`a partir de
l’exponentielle complexe par :
sin x= Im(eix)
propri´et´e 1.2 :
La fonction sinus v´erifie :
–∀x∈R,−1≤sin x≤1
–∀x∈R,sin(−x) = −sin x( elle est impaire)
–∀x∈R,sin(x+ 2π) = sin x(elle est 2π-p´eriodique).
Remarque : il suffit donc d’´etudier la fonction sin sur [0; π] puis d’utiliser la parit´e et la p´eriodicit´e .
2013/2014 1l. garcia

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propri´et´e 1.3 :
La fonction sin est de classe C∞sur Ret ,
∀x∈R,sin0(x) = cos(x)
Preuve : cours sur les complexes
On d´eduit de la d´erivabilit´e de la fonction sin :
th´eor`eme 1.4 :
1. la fonction sin est croissante sur h0; π
2iet d´ecroissante sur hπ 2;πi
2. lim
x7→0
sin x
x= 1
3. sin x∼
0x
d´efinition 1.5 :
La courbe repr´esentative de la fonction sinus est appel´ee sinuso¨ıde.
Repr´esentation :
1. D’abord sur [0; π] :
−3π−5π
2−2π−3π 2−π−π 2
π
2π3π 22π5π 23π
−2
−1
1
2
O
y= sin x
~ı
~
2. On compl`ete sur [−π; 0] en utilisant la sym´etrie de centre Opuisque la fonction sin est impaire
−3π−5π
2−2π−3π 2−π−π 2
π
2π3π 22π5π 23π
−2
−1
1
2
O
y= sin x
~ı
~
3. Enfin on prolonge le graphique en utilisant la p´eriodicit´e de la fonction sin :
−3π−5π
2−2π−3π 2−π−π 2
π
2π3π 22π5π 23π
2π→ i
−2
−1
1
2
O
y= sin x
~ı
~
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1.2 Fonction Cosinus
d´efinition 1.6 :
Nous verrons lors du cours sur les complexes que la fonction cosinus, not´ee cos, est d´efinie sur R`a partir de
l’exponentielle complexe par :
cos x= Re(eix)
propri´et´e 1.7 :
La fonction cosinus v´erifie :
–∀x∈R,−1≤cos x≤1
–∀x∈R,cos(−x) = cos x( elle est paire)
–∀x∈R,cos(x+ 2π) = cos x(elle est 2π-p´eriodique).
Remarque : il suffit donc d’´etudier la fonction cos sur [0; π] puis d’utiliser la parit´e et la p´eriodicit´e .
propri´et´e 1.8 :
La fonction cos est de classe C∞sur Ret ,
∀x∈R,cos0(x) = −sin(x)
Preuve : cours sur les complexes
On d´eduit de la d´erivabilit´e de la fonction cos :
th´eor`eme 1.9 :
1. La fonction cos est d´ecroissante sur [0; π].
2. lim
x7→0
cos(x)−1
x= 0
3. cos(x)−1∼
0
x2
2
d´efinition 1.10 :
La courbe repr´esentative de la fonction cosinus est appel´ee sinuso¨ıde.
Repr´esentation :
1. D’abord sur [0; π] :
−3π−5π
2−2π−3π 2−π−π 2
π
2π3π 22π5π 23π
−2
−1
1
2
O
y= cos x
~ı
~
2. On compl`ete sur [−π; 0] en utilisant la sym´etrie d’axe (Oy) puisque la fonction cos est paire
−3π−5π
2−2π−3π 2−π−π 2
π
2π3π 22π5π 23π
−2
−1
1
2
O
y= cos x
~ı
~
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3. Enfin on prolonge le graphique en utilisant la p´eriodicit´e de la fonction cos :
−3π−5π
2−2π−3π 2−π−π 2
π
2π3π 22π5π 23π
2π→ i
−2
−1
1
2
O
y= cos x
~ı
~
1.3 Fonction tangente
d´efinition 1.11 :
Soit x∈R, la fonction tangente, not´ee tan, est la fonction d´efinie sur R\nπ
2+kπ, k ∈Zopar :
tan x=sin x
cos x
propri´et´e 1.12 :
La fonction tangente v´erifie :
–∀x∈R,tan(−x) = −tan x( elle est impaire)
–∀x∈R,tan(x+π) = tan x(elle est π-p´eriodique).
Remarque : il suffit donc d’´etudier la fonction tan sur h0; π
2hpuis d’utiliser la parit´e et la p´eriodicit´e .
propri´et´e 1.13 :
La fonction tan est classe C∞sur chaque intervalle de R\nπ
2+kπ, k ∈Zoet ,
∀x∈R\nπ
2+kπ, k ∈Zo,tan0(x) = 1 + tan2(x) = 1 cos2x
Preuve :en cours
On d´eduit de la d´erivabilit´e de la fonction tan :
th´eor`eme 1.14 :
1. La fonction tan est croissante sur h0; π
2h.
2. lim
x7→0
tan(x)
x= 1
3. tan(x)∼
0x
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Repr´esentation graphique :
1. D’abord sur [0; π
2] :
−3π−5π
2−2π−3π 2−π−π 2
π
2π3π 22π5π 23π
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
O
y= tan x
~ı
~
2. On compl`ete sur [−π
2; 0] en utilisant la sym´etrie de centre Opuisque la fonction tan est impaire
−3π−5π
2−2π−3π 2−π−π 2
π
2π3π 22π5π 23π
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
O
y= tan x
~ı
~
3. Enfin on prolonge le graphique en utilisant la p´eriodicit´e de la fonction tan :
−3π−5π
2−2π−3π 2−π−π 2
π
2π3π 22π5π 23π
π→ i−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
O
y= tan x
~ı
~
2013/2014 5l. garcia