chap 18 : Trigonométrie Fonctions trigonométriques

chap 18 : Trigonométrie
Lycée Henri IV
HKBL
Fonctions trigonométriques
0 Fonctions périodiques
0.1 Définition
définition 0.1 :
Soient f une fonction définie sur R et T un réel strictement positif.
On dit que f est périodique de période T , ou T -périodique si et seulement si :
∀x ∈ R,
f (x + T ) = f (x)
Exemples : en cours
0.2 Interprétation graphique
Propriété 0.2 :
Soient T un réel strictement positif, f une fonction définie sur R et Cf sa courbe représentative dans un repère
→ →
(O, i , j ).
→
La fonction f est T -périodique si et seulement si la courbe Cf est invariante par translation de vecteur T i .
Exemples : en cours
7
→
y = f (x)
6
Ti
5
4
3
2
1
~
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1 O
−1
~ı
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−2
I Fonctions circulaires
1.1 Fonction sinus
définition 1.1 :
Nous verrons lors du cours sur les complexes que la fonction sinus, notée sin, est définie sur R à partir de
l’exponentielle complexe par :
sin x = Im(eix )
propriété 1.2 :
La fonction sinus vérifie :
– ∀x ∈ R, −1 ≤ sin x ≤ 1
– ∀x ∈ R, sin(−x) = − sin x ( elle est impaire)
– ∀x ∈ R, sin(x + 2π) = sin x (elle est 2π-périodique).
Remarque : il suffit donc d’étudier la fonction sin sur [0; π] puis d’utiliser la parité et la périodicité .
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propriété 1.3 :
La fonction sin est de classe C ∞ sur R et ,
∀x ∈ R, sin0 (x) = cos(x)
Preuve : cours sur les complexes
On déduit de la dérivabilité de la fonction sin :
théorème 1.4 :
h πi
hπ i
1. la fonction sin est croissante sur 0;
et décroissante sur
;π
2
2
sin x
2. lim
=1
x7→0 x
3. sin x ∼ x
0
définition 1.5 :
La courbe représentative de la fonction sinus est appelée sinusoı̈de.
Représentation :
1. D’abord sur [0; π] :
2
y = sin x
1
− 5π
2
−3π
−2π
− 3π
2
−π
− π2
π
2
~
O
π
3π
2
2π
5π
2
3π
~ı
−1
−2
2. On complète sur [−π; 0] en utilisant la symétrie de centre O puisque la fonction sin est impaire
2
y = sin x
1
− 5π
2
−3π
−2π
− 3π
2
−π
− π2
π
2
~
O
π
3π
2
2π
5π
2
3π
π
3π
2
2π
5π
2
3π
~ı
−1
−2
3. Enfin on prolonge le graphique en utilisant la périodicité de la fonction sin :
2
y = sin x
1
− 5π
2
−3π
−2π
− 3π
2
−π
− π2
π
2
~
O
→
~ı
−1
2π i
−2
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1.2 Fonction Cosinus
définition 1.6 :
Nous verrons lors du cours sur les complexes que la fonction cosinus, notée cos, est définie sur R à partir de
l’exponentielle complexe par :
cos x = Re(eix )
propriété 1.7 :
La fonction cosinus vérifie :
– ∀x ∈ R, −1 ≤ cos x ≤ 1
– ∀x ∈ R, cos(−x) = cos x ( elle est paire)
– ∀x ∈ R, cos(x + 2π) = cos x (elle est 2π-périodique).
Remarque : il suffit donc d’étudier la fonction cos sur [0; π] puis d’utiliser la parité et la périodicité .
propriété 1.8 :
La fonction cos est de classe C ∞ sur R et ,
∀x ∈ R, cos0 (x) = − sin(x)
Preuve : cours sur les complexes
On déduit de la dérivabilité de la fonction cos :
théorème 1.9 :
1. La fonction cos est décroissante sur [0; π].
cos(x) − 1
=0
2. lim
x7→0
x
x2
3. cos(x) − 1 ∼
0 2
définition 1.10 :
La courbe représentative de la fonction cosinus est appelée sinusoı̈de.
Représentation :
1. D’abord sur [0; π] :
2
y = cos x
1
−3π
− 5π
2
−2π
− 3π
2
−π
− π2
π
2
~
O
π
3π
2
2π
5π
2
3π
2π
5π
2
3π
~ı
−1
−2
2. On complète sur [−π; 0] en utilisant la symétrie d’axe (Oy) puisque la fonction cos est paire
2
y = cos x
1
−3π
− 5π
2
−2π
− 3π
2
−π
− π2
π
2
~
O
π
3π
2
~ı
−1
−2
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3. Enfin on prolonge le graphique en utilisant la périodicité de la fonction cos :
2
y = cos x
1
− 5π
2
−3π
−2π
− 3π
2
− π2
−π
π
2
~
O
→
π
3π
2
2π
5π
2
~ı
−1
2π i
−2
1.3 Fonction tangente
définition 1.11 :
Soit x ∈ R, la fonction tangente, notée tan, est la fonction définie sur R\
nπ
2
o
+ kπ, k ∈ Z par :
sin x
tan x =
cos x
propriété 1.12 :
La fonction tangente vérifie :
– ∀x ∈ R, tan(−x) = − tan x ( elle est impaire)
– ∀x ∈ R, tan(x + π) = tan x (elle est π-périodique).
h πh
Remarque : il suffit donc d’étudier la fonction tan sur 0;
puis d’utiliser la parité et la périodicité .
2
propriété 1.13 :
nπ
o
La fonction tan est classe C ∞ sur chaque intervalle de R\
+ kπ, k ∈ Z et ,
2
o
nπ
1
0
+ kπ, k ∈ Z , tan (x) = 1 + tan2 (x) =
∀x ∈ R\
2
cos2 x
Preuve :en cours
On déduit de la dérivabilité de la fonction tan :
théorème 1.14 :
h πh
1. La fonction tan est croissante sur 0; .
2
tan(x)
2. lim
=1
x7→0
x
3. tan(x) ∼ x
0
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3π
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Représentation graphique :
π
1. D’abord sur [0; ] :
2
7
y = tan x
6
5
4
3
2
−3π
− 5π
2
− 3π
2
−2π
−π
− π2
1
~
O ~ı
−1
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
−2
−3
−4
−5
−6
−7
π
2. On complète sur [− ; 0] en utilisant la symétrie de centre O puisque la fonction tan est impaire
2
7
y = tan x
6
5
4
3
2
−3π
− 5π
2
− 3π
2
−2π
−π
− π2
1
~
O ~ı
−1
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
5π
2
3π
−2
−3
−4
−5
−6
−7
3. Enfin on prolonge le graphique en utilisant la périodicité de la fonction tan :
7
y = tan x
6
5
4
3
2
−3π
− 5π
2
− 3π
2
−2π
−π
− π2
1
~
π
2
π
3π
2
2π
O ~ı
−1
−2
−3
−4
−5
−6
→
πi
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−7
5
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1.4 Cercle trigonométrique
→ →
On rappelle que, dans un repère orthonormé orienté (O, i , j ) , le cercle trigonométrique est un cercle de centre
O et de rayon 1.
propriété 1.15 :
→
→
1. Tout point M du cercle trigonométrique peut être repéré par un angle ( i , OM ).
2. Si θ est une mesure de cet angle orienté, alors le point M a pour coordonnées (cos θ, sin θ).
π
3. Si, ∀k ∈ Z, θ 6= + kπ, alors la droite (OM ) est sécante avec la tangente en I(1, 0) au cercle, en un point
2
N d’ordonnée tan θ
4. Si, ∀k ∈ Z, θ 6= kπ, alors la droite (OM ) est sécante avec la tangente en J(0, 1) au cercle, en un point P
cos θ
d’abscisse cotanθ où cotan θ =
.
sin θ
représentation graphique :
axe des tangentes
N
J
C
P
axe des cotangentes
M
sin θ
→
−
θ
cos θ
→
−ı
O
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On dispose alors des valeurs remarquables suivantes :
axe des
tangentes
√
3
axe des
sinus
π
2
2π
3
3π
4
√
π
4
π
6
1
2
−
√
−
1
2
2
5π
6
π
π
3
√
3
2
3
2
√
2
2
√
2
2
− 12
1
2
√
3
2
− 12
− 5π
6
− π6
√
−
− 3π
4
− 2π
3
2
2
− π4
√
−
0
axe des
cosinus
3
2
− π3
− π2
On peut déduire du cercle trigonométrique :
propriété 1.16 : pour tout x ∈ R :
cos2 x + sin2 x = 1
et
propriété 1.17 : pour tout x ∈ R tel que les expressions suivantes existent :
π
cos (π − x) = -cos (x )
cos(π + x)=- cos (x) cos
− x = sin x
π2
sin (π − x) = sin (x )
sin(π + x)=- sin (x)
sin
− x = cos x
2π
tan (π − x) = -tan (x ) tan(π + x)=tan (x)
tan
− x = cotan x
2
π
+ x = - sin x
π2
sin
+ x = cos x
2π
tan
+ x = -cotanx
2
cos
et
propriété 1.18 : pour tout x, y ∈ R tels que les expressions suivantes existent :

 x = y + 2kπ, k ∈ Z
ou
sin x = sin y ⇔

x = π − y + 2kπ, k ∈ Z

 x = y + 2kπ, k ∈ Z
ou
cos x = cos y ⇔

x = −y + 2kπ, k ∈ Z

 x = y + kπ, k ∈ Z
ou
tan x = tan y ⇔

x = π + y + 2π, k ∈ Z
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II Fonctions circulaires réciproques
2.1 Fonction Arcsinus
définition 2.1 :
h π πi
vers [-1 ;1]. La bijection réciproque est appelée fonction arcsinus
La fonction sin est une bijection de − ;
2 2
et est notée arcsin :
h π πi
(
[−1; 1] → − ;
arcsin :
2 2
x
7→ arcsin x
puisque les fonctions sin et arcsin sont réciproques l’une de l’autre on en déduit que :
propriété 2.2 :
– ∀x ∈ [−1;
h π 1],π i sin(arcsin x) = x
– ∀x ∈ − ;
, arcsin(sin(x)) = x
2 2
– ∀x ∈ [−1; 1] , arcsin(−x) = − arcsin(x) ( elle est impaire).
Remarque : il suffit donc d’étudier la fonction arcsin sur [0; 1] puis d’utiliser la parité .
propriété 2.3 :
La fonction arcsin est de classe C ∞ sur ] − 1; 1[ et ,
∀x ∈] − 1; 1[,
arcsin0 (x) = √
1
1 − x2
Preuve : en cours
On déduit de la dérivabilité de la fonction arcsin :
théorème 2.4 :
1. la fonction arcsin est strictement croissante sur [-1 ;1].
arcsin x
2. lim
=1
x7→0
x
3. arcsin x ∼ x
0
propriété 2.5 :
Les courbes représentatives des fonctions arcsin et sin sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.
Représentation :
y = arcsin x
π
2
y = sin x
~
−2
−1
~ı
O
1
2
− π2
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2.2 Fonction Arccosinus
définition 2.6 :
La fonction cos est une bijection de [0; π] vers [-1 ;1]. La bijection réciproque est appelée fonction arccosinus et
est notée arccos :
h π πi
(
[−1; 1] → − ;
arccos :
2 2
x
7→ arccos x
puisque les fonctions cos et arccos sont réciproques l’une de l’autre on en déduit que :
propriété 2.7 :
– ∀x ∈ [−1; 1], cos(arccos x) = x
– ∀x ∈ [0; π] , arccos(cos(x)) = x
– ∀x ∈ [−1; 1] , arccos(−x) = arccos(x) ( elle est paire).
Remarque : il suffit donc d’étudier la fonction arccos sur [0; 1] puis d’utiliser la parité .
propriété 2.8 :
La fonction arccos est de classe C ∞ sur ] − 1; 1[ et ,
arccos0 (x) = − √
∀x ∈] − 1; 1[,
1
1 − x2
Preuve : en cours
On déduit de la dérivabilité de la fonction arccos :
théorème 2.9 :
1. la fonction arccos est strictement décroissante sur [-1 ;1].
π
arccos x −
2 = −1
2. lim
x7→0
x
π
3. arccos x − ∼ −x
2 0
propriété 2.10 :
Les courbes représentatives des fonctions arccos et cos sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.
Représentation :
y = arccos x
π
π
2
~
−2
−1
O
~ı
2
3
y = cos x
− π2
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2.3 Fonction Arctangente
définition 2.11 :
i π πh
La fonction tan est une bijection de − ;
vers R. La bijection réciproque est appelée fonction arctangente
2 2
et est notée arctan :
i π πh
(
R → − ;
arctan :
2 2
x 7→ arctan x
puisque les fonctions tan et arctan sont réciproques l’une de l’autre on en déduit que :
propriété 2.12 :
– ∀x ∈ iR, tan(arctan
x) = x
π πh
– ∀x ∈ − ;
, arctan(tan(x)) = x
2 2
– ∀x ∈ R, arctan(−x) = − arctan(x) ( elle est impaire).
Remarque : il suffit donc d’étudier la fonction arctan sur [0; +∞[ puis d’utiliser la parité .
propriété 2.13 :
La fonction arctan est de classe C ∞ sur R et ,
∀x ∈ R,
arctan0 (x) =
1
1 + x2
Preuve : en cours
On déduit de la dérivabilité de la fonction arctan :
théorème 2.14 :
1. la fonction arctan est strictement croissante sur R.
arctan x
=1
2. lim
x7→0
x
3. arctan x ∼ x
0
D’autre part :
théorème 2.15 :
π
.
x7→+∞
2
π
2. lim arctan x = − .
x7→−∞
2
1.
lim arctan x =
propriété 2.16 : Les courbes représentatives des fonctions arctan et tan sont symétriques par rapport à la droite
d’équation y=x.
Représentation :
y = tan x
π
y = arctan x
π
2
−3π
− 5π
2
−2π
− 3π
2
−π
~
− π2
O
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
~ı
− π2
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2.4 propriétés
propriété 2.17 :
Les graphes des fonctions arcsin et arccos sont symétriques par rapport à la droite d’équation y =
Pour tout x ∈ [−1; 1],
arcsin x + arccos x =
π
:
4
π
.
2
Preuve : en cours
Représentation :
y = arccos x
π
π
2
~
−2
−1
y = arcsin x
O
~ı
1
2
3
− π2
propriété 2.18 :
pour tout x ∈ R∗ ,
 π
1  2
arctan x + arctan =
π
x −
2
si
x>0
si
x≤0
Preuve : en cours
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