Recollements de faisceaux et de morphismes

Recollements de faisceaux et de
morphismes
Colas Bardavid
samedi 25 juin 2005
Table des mati`eres
1 Recollement de faisceaux 4
1.1 Un faisceau est d´etermin´e localement . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Le proc´ed´e de recollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Recollement de morphismes 5
2.1 Restriction d’un morphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Recollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
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R´esultats
Principe 1 La donn´ee d’un faisceau sur Xest ´equivalente `a la donn´ee des
restrictions de ce faisceau aux ouverts d’un recouvrement.
Th´eor`eme 2 Soient (X, OX)un espace annel´e et (Ui)i∈Iun recouvrement ou-
vert de X. Soit (S, OS)un autre espace annel´e.
Soient ϕi: (Ui,OX|Ui)→(S, OS)des morphismes tels que, pour tous i, j ∈
I,ϕi|Ui∩Uj=ϕj|Ui∩Uj.
Alors, il existe un unique ϕ: (X, OX)→(S, OS)tel que pour tout i∈I,
ϕ|Ui=ϕi.
2

Questions en suspens et travail `a faire
Petit travail `a faire 3 S’informer un peu des faisceaux `a valeurs dans une
cat´egorie plus ou moins quelconque.
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1 Recollement de faisceaux
Je reprends dans cette section le th´eor`eme de recollement des faisceaux,
d´emontr´e enti`erement dans l’Introduction `a la th´eorie des sch´emas de Claude
Chevalley (dans EGA, Grothendieck dit que c’est ´evident).
1.1 Un faisceau est d´etermin´e localement
Avant de commencer, on ´enonce un fait ´evident. On se place dans le cadre
des espaces annel´es, mais ceci se g´en´eralise `a des faisceaux quelconques, je pense.
Soit Xun espace topologique. On note FAnn(X) l’ensemble des faisceaux
d’anneaux sur X.
Alors :
Fait 4 Soit (Ui)i∈Iun recouvrement ouvert de X. Alors,
ϕ:FAnn(X)→Qi∈IFAnn (Ui)
G 7→ (G |Ui)i∈Iest injective (modulo isomorphisme).
D´emonstration : Soit Uun ouvert de X. On veut d´emontrer que G(U)'
F(U) en supposant que ϕ(G) = ϕ(F).
Soit f∈ F(U). Alors, fi=f|Ui∈ G(Ui) ; par ailleurs, les fise recollent
(pour G) : ρG(fi, Ui∩Uj) = ρF(fi, Ui∩Uj) puisque ce sont les faisceaux qui
sont ´egaux et non pas juste les sections sur un recouvrement.
Donc, `a f∈ F(U), on peut associer une unique fG∈ G(U).
On v´erifie ensuite que cette fonction est un morphisme d’anneaux et que la
mˆeme construction de G`a Fdonne le morphisme r´eciproque. 
En fait, on peut dire plus g´en´eral que le fait pr´ec´edent :
Principe 5 La donn´ee d’un faisceau sur Xest ´equivalente `a la donn´ee des
restrictions de ce faisceau aux ouverts d’un recouvrement.
Cependant, la donn´ee d’un faisceau n’est pas ´equivalente `a la donn´ee des
anneaux des fonctions sur un recouvrement. Par exemple, si on consi`edre le
sch´ema P1(k) o`u kest un corps, l’anneau des fonctions globales est k, c’est-`a-
dire le mˆeme que celui du faisceau constant ksur P1(k).
1.2 Le proc´ed´e de recollement
On cite le th´eor`eme donn´e par Chevalley (pp. 98 `a 109).
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Th´eor`eme 6 (Recollements de faisceaux)
– Soit Iun ensemble d’indices et Cune cat´egorie fix´ee.
– Pour tout i∈I, soit (Xi,Oi)un espace topologique muni d’un faisceau Oi`a
valeurs dans C.
– Pour tous i, j ∈I, soit Ωj(i)⊂
→◦ Xiun ouvert, qu’on munit du faisceau res-
treint pour obtenir un espace (Ωj(i),Oi|Ωj(i)).
– Enfin, pour tous i, j ∈I, soit ϕi,j : (Ωj(i),Oi|Ωj(i))→(Ωi(j),Oj|Ωi(j))un
morphisme.
On suppose que ces donn´ees v´erifient :
H1 Ωi(i) = Xiet ϕii = IdXi
H2 ϕij Ωj(i)∩Ωk(i)⊂Ωi(j)∩Ωk(j)
H3 (conditions de recollement) Sur Ωj(i)∩Ωk(i), on a ϕij =ϕkj ◦ϕik
Alors, il existe un espace topologique (X, O)muni d’un faisceau `a valeurs dans
C, recouvert par des ouverts f Xi⊂
→◦ Xet des isomorphismes
ψi: (Xi,Oi)∼//(e
Xi,O | e
Xi)⊂
→◦ (X, O)
qui v´erifient :
C1 X=Si∈Ie Xi
C2 Au-dessus de Ωj(i), on a ψi=ψj◦ϕij . C’est-`a-dire que le diagramme
XiΩj(i)
 _
?
oo
ϕij
ψi**
U
U
U
U
U
U
e
Xi∩e Xj
XjΩi(j)
 _
?
ooψj
44
i
i
i
i
i
i
commute.
C3 
x∈Xi
y∈Xj=⇒x∈Ωj(i)et y=ϕij (x)
ψ(x) = ψ(y)
C’3 ψiΩj(i)=ψjΩi(j)=e Xi∩e Xj
Enfin, il y a unicit´e `a un unique isomorphisme pr`es (compatible avec les
donnn´ees).
2 Recollement de morphismes
Dans cette partie, on va ´enoncer un th´eor`eme beaucoup moins compliqu´e.
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