Recollements de faisceaux et de morphismes

Recollements de faisceaux et de
morphismes
Colas Bardavid
samedi 25 juin 2005
Table des matières
1 Recollement de faisceaux
1.1 Un faisceau est déterminé localement . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Le procédé de recollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
4
2 Recollement de morphismes
2.1 Restriction d’un morphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Recollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
6
1
Résultats
Principe 1 La donnée d’un faisceau sur X est équivalente à la donnée des
restrictions de ce faisceau aux ouverts d’un recouvrement.
Théorème 2 Soient (X, OX ) un espace annelé et (Ui )i∈I un recouvrement ouvert de X. Soit (S, OS ) un autre espace annelé.
Soient ϕi : (Ui , OX |Ui ) → (S, OS ) des morphismes tels que, pour tous i, j ∈
I, ϕi|Ui ∩Uj = ϕj |Ui ∩Uj .
Alors, il existe un unique ϕ : (X, OX ) → (S, OS ) tel que pour tout i ∈ I,
ϕ|Ui = ϕi .
2
Questions en suspens et travail à faire
Petit travail à faire 3 S’informer un peu des faisceaux à valeurs dans une
catégorie plus ou moins quelconque.
3
1
Recollement de faisceaux
Je reprends dans cette section le théorème de recollement des faisceaux,
démontré entièrement dans l’Introduction à la théorie des schémas de Claude
Chevalley (dans EGA, Grothendieck dit que c’est évident).
1.1
Un faisceau est déterminé localement
Avant de commencer, on énonce un fait évident. On se place dans le cadre
des espaces annelés, mais ceci se généralise à des faisceaux quelconques, je pense.
Soit X un espace topologique. On note FAnn (X) l’ensemble des faisceaux
d’anneaux sur X.
Alors :
Fait 4 Soit (Ui )i∈I un recouvrement ouvert de X. Alors,
Q
FAnn (X) → i∈I FAnn (Ui )
ϕ:
est injective (modulo isomorphisme).
G 7→ (G |Ui )i∈I
Démonstration : Soit U un ouvert de X. On veut démontrer que G(U ) '
F(U ) en supposant que ϕ(G) = ϕ(F).
Soit f ∈ F(U ). Alors, fi = f|Ui ∈ G(Ui ) ; par ailleurs, les fi se recollent
(pour G) : ρG (fi , Ui ∩ Uj ) = ρF (fi , Ui ∩ Uj ) puisque ce sont les faisceaux qui
sont égaux et non pas juste les sections sur un recouvrement.
Donc, à f ∈ F(U ), on peut associer une unique fG ∈ G(U ).
On vérifie ensuite que cette fonction est un morphisme d’anneaux et que la
même construction de G à F donne le morphisme réciproque. En fait, on peut dire plus général que le fait précédent :
Principe 5 La donnée d’un faisceau sur X est équivalente à la donnée des
restrictions de ce faisceau aux ouverts d’un recouvrement.
Cependant, la donnée d’un faisceau n’est pas équivalente à la donnée des
anneaux des fonctions sur un recouvrement. Par exemple, si on consièdre le
schéma P1 (k) où k est un corps, l’anneau des fonctions globales est k, c’est-àdire le même que celui du faisceau constant k sur P1 (k).
1.2
Le procédé de recollement
On cite le théorème donné par Chevalley (pp. 98 à 109).
4
Théorème 6 (Recollements de faisceaux)
– Soit I un ensemble d’indices et C une catégorie fixée.
– Pour tout i ∈ I, soit (Xi , Oi ) un espace topologique muni d’un faisceau Oi à
valeurs dans C.
– Pour tous i, j ∈ I, soit Ωj (i)⊂→
◦ Xi un ouvert, qu’on munit du faisceau restreint pour obtenir un espace (Ωj (i), Oi |Ωj (i) ).
– Enfin, pour tous i, j ∈ I, soit ϕi,j : (Ωj (i), Oi |Ωj (i) ) → (Ωi (j), Oj |Ωi (j) ) un
morphisme.
On suppose que ces données vérifient :
H1 Ωi (i) = Xi et ϕii = IdXi
H2 ϕij Ωj (i) ∩ Ωk (i) ⊂ Ωi (j) ∩ Ωk (j)
H3 (conditions de recollement) Sur Ωj (i) ∩ Ωk (i), on a ϕij = ϕkj ◦ ϕik
Alors, il existe un espace topologique (X, O) muni d’un faisceau à valeurs dans
fi ⊂ X et des isomorphismes
C, recouvert par des ouverts X
→
◦
ψi : (Xi , Oi )
∼
/ (X
ei , O | e )⊂ (X, O)
◦
Xi →
qui vérifient :
S
ei
C1 X = i∈I X
C2 Au-dessus de Ωj (i), on a ψi = ψj ◦ ϕij . C’est-à-dire que le diagramme
Xi o
Xj o
_ Ωj (i) U
?
UUUψUiU
*
ϕij
ei ∩ X
ej
X
iiiiii4
ψj
_ Ωi (j)
?
commute.
 x ∈ Xi
y ∈ Xj
=⇒ x ∈ Ωj (i) et y = ϕij (x)
C3

ψ(x) = ψ(y)
ei ∩ X
ej
C’3 ψi Ωj (i) = ψj Ωi (j) = X
Enfin, il y a unicité à un unique isomorphisme près (compatible avec les
donnnées).
2
Recollement de morphismes
Dans cette partie, on va énoncer un théorème beaucoup moins compliqué.
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2.1
Restriction d’un morphisme
Soit (X, OX ) un espace annelé, U ⊂→
◦ X un ouvert et (S, OS ) un autre espace
annelé.
Soit ϕ : (X, OX ) → (S, OS ) un morphisme d’espaces annelés.
Alors, on peut définir ϕ|U : (U, OX |U ) → (S, OS ).
Ensemblistement et topologique, c’est comme d’habitude.
Du point de vue faisceautique, si V ⊂→
◦ S est un ouvert, on doit définir
#
(ϕ|U )V : OS (V ) → (OX |U ) (V ).
On le définit de façon à ce que le diagramme commute :
OS (V )
2.2
(ϕ|U )#
V
/ (OX |U ) (V )
QQQ
O
QQQ
QQQ
ρV →V ∩U
QQQ
ϕ#
(
V
OX (V )
Recollement
Théorème 7 Soient (X, OX ) un espace annelé et (Ui )i∈I un recouvrement ouvert de X. Soit (S, OS ) un autre espace annelé.
Soient ϕi : (Ui , OX |Ui ) → (S, OS ) des morphismes tels que, pour tous i, j ∈
I, ϕi|Ui ∩Uj = ϕj |Ui ∩Uj .
Alors, il existe un unique ϕ : (X, OX ) → (S, OS ) tel que pour tout i ∈ I,
ϕ|Ui = ϕi .
Démonstration : Ensemblistement, c’est facile de définir ϕ : si x ∈ X, alors,
il existe i ∈ I tel que x ∈ Ui et on définit ϕ(x) = ϕi (x). Cette définition ne
dépend pas du i choisi.
La fonction ϕ est alors bien continue.
Concernant les faisceaux : soit U ⊂→
à construire ϕ#
◦ S. On
U : OS (U ) →
Scherche
−1
OX (U ). Soit donc f ∈ OS (U ). Notons que i∈I ϕi (U ) = ϕ−1 (U ).
#
On peut alors considérer pour tout i ∈ I, gi = (ϕi )U (f ). Les gi se recollent :
le diagramme
−1
3 OX |Ui (ϕi (U ))
ϕi #
U
ρU
i ∩ϕi
OS (U )
(ϕi|Ui ∩Uj )#
U
(ϕj|Ui ∩Uj )#
U
−1 (U )→U ∩U ∩ϕ −1 (U )
i
j
i
/ OX |Ui ∩Uj (ϕ−1 (U ))
O
ρU
j ∩ϕj
ϕj #
U
+
−1 (U )→U ∩U ∩ϕ −1 (U )
i
j
j
OX |Uj (ϕj −1 (U ))
commute.
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Ainsi, si on note Ui0 = Ui ∩ ϕ−1 (U ), on a gi|Ui0 ∩Uj0 = gj |Uj0 ∩Ui0 .
Donc, les gi se recollent en une fonction g ∈ OX (ϕ−1 (U )), qui sera ϕ#
U (f ) =
g.
On vérifie que ces fonctions constituent bien une transformation naturelle et
qu’il y a unicité. 7