TD3

ENS de Lyon G´eom´etrie alg´ebrique
2016-2017
TD num´ero 3
Exercice 1. Les familles ci-dessous d´efinissent-elles un pr´efaisceau ? Un faisceau ? (les morphismes de
restrictions ´etant les restrictions usuelles)
1. Si Xest un espace topologique, pour tout Uouvert de X,F(U) d´esigne l’ensemble des fonctions
born´ees sur U.
2. Si Xest une vari´et´e diff´erentielle, pour tout Uouvert de X,F(U) d´esigne l’ensemble des fonctions
diff´erentiables sur U.
3. Si Xest une vari´et´e complexe, pour tout Uouvert de X,F(U) d´esigne l’ensemble des fonctions
holomorphes sur U.
4. Si Xest une vari´et´e complexe, pour tout Uouvert de X,F(U) d´esigne l’ensemble des fonctions
holomorphes sur Uadmettant une racine carr´ee holomorphe.
Exercice 2. Soit φ:F → G un morphisme de faisceaux.
1. Montrer que le pr´efaisceau U7→ Ker(φU) est un faisceau.
2. Donner un exemple pour lequel les pr´efaisceaux U7→ Im(φU) et U7→ Coker(φU) ne sont pas des
faisceaux.
Exercice 3. Soit Fun faisceau sur un espace topologique X. Montrer que :
Hom(ZX,F) = Γ(F, X) = F(X),
o`u ZXest le faisceau constant en groupe Z.
Exercice 4. Soit Fun faisceau sur X. On note e Fl’union disjointe des tiges Fxpour x∈X(c’est
l’espace ´etal´e associ´e `a F). On a une projection naturelle π:e F → X. Pour tout ouvert Ude Xet toute
section s∈ F(U), on d´efinit une application gs:U→e Fpar gs(x) = sx∈ Fx. On d´efinit alors une
topologie (dite topologie ´etale) sur e Fcomme la topologie dont les ouverts sont les gs(U).
1. Montrer que, pour tout x∈X, la topologie induite sur Fxest la topologie discr`ete.
2. Montrer que gsest un hom´eomorphisme de Usur son image.
3. Montrer que, pour tout U,F(U) est identifi´e `a l’ensemble des applications continues s:U→e F
telles que π◦s= IdU.
Remarque On peut ´egalement d´efinir l’espace ´etal´e et la topologie ´etale lorsque Fest seulement un
pr´efaisceau. Dans ce cas, F+(U) = {s:U→e F | scontinue, π ◦s= IdU}d´efinit le faisceau associ´e
`a F.
Exercice 5. Soit Xun espace topologique et Fun faisceau sur X. Soient s, t ∈ F(X). Montrer que
l’ensemble des x∈Xtels que sx=txest ouvert dans X.
1

Exercice 6. Soit Xun espace topologique et Fun pr´efaisceau en groupes ab´eliens sur X. Pour toute
famille U={Ui}i∈Id’ouverts de X, on d´efinit une suite :
0//FSi∈IUid0
//Qi∈IF(Ui)d1 //Qi,j∈IF(Ui∩Uj),
d´efinie par d0:s7→ (s|Ui)i∈Iet d1: (si)i∈I7→ (si|Ui∩Uj−sj|Ui∩Uj)i,j∈I.
1. Montrer que Fest un faisceau si et seulement si la suite ci-dessus est exacte pour toute famille
d’ouverts de X.
2. Soit U={Ui}i∈Iun recouvrement ouvert de X. On pose FU(X) = ker d1. Pour tout ouvert Wde
X, on d´efinit de la mˆeme mani`ere un groupe FU(W) en consid´erant le recouvrement {W∩Ui}de
W. Montrer que FUest un pr´efaisceau sur Xet que l’on a un morphisme de pr´efaisceaux F → FU.
3. Soit V={Vj}j∈Jun autre recouvrement ouvert de X. On d´efinit une relation d’ordre partielle sur
les recouvrements ouverts par : V  U si tout Vjest contenu dans un Ui. Montrer que l’on a un
morphisme canonique FU(W)→ FV(W) pour tout ouvert Wsi V  U.
4. On pose
F+(W) = lim
−→
V
FV(W),
o`u l’image directe porte sur les recouvrements ouverts Vde W. Montrer que F+est le faisceau
associ´e `a F.
Exercice 7. Soient Uun ouvert d’un espace topologique Xet Gun faisceau de groupes ab´eliens sur X.
On d´efinit Γ(U, G) = G(U).
1. Montrer que, pour une suite exacte de faisceaux sur X, 0 → F0→ F → F00,
0→Γ(U, F0)→Γ(U, F)→Γ(U, F00)
est une suite exactes de groupes.
2. Donner un exemple o`u F → F00 est un morphisme surjectif de faisceaux, mais o`u Γ(U, F)→Γ(U, F00)
n’est pas surjectif.
Exercice 8. [Faisceaux flasques]
Un faisceau Fsur un espace topologique Xest dit flasque si pour toute inclusion d’ouverts V →U,
l’homomorphisme de restriction F(U)→ F(V) est surjectif.
1. Supposons que 0 → F0→ F → F00 →0 est une suite exacte de faisceaux sur Xet F0est flasque,
montrer que la suite de groupes
0→Γ(U, F0)→Γ(U, F)→Γ(U, F00)→0
est aussi exacte pour tout ouvert Ude X.
2. Supposons que 0 → F0→ F → F00 →0 est une suite exacte de faisceaux. Montrer que si F0et F
sont flasques alors F00 est aussi flasque.
3. Soit f:X→Yune application continue. Montrer que si Fest un faisceau flasque sur X, alors f∗F
est un faisceau flasque sur Y.
Exercice 9. Soit Xun espace topologique et Fun faisceau sur X. On d´efinit le support de Fpar :
Supp(F) = {x∈X| Fx6= 0}.
On suppose ici que Supp(F) est un ensemble fini de points ferm´es. Montrer que pour tout ouvert Ude X
on a F(U) = ⊕x∈UFx.2