Chapitre 3

Alg`ebre : Chapitre 3 Exercices
Exercices sur la r´eduction
Exercice 1:
D´eterminer la matrice de passage de la base B`a la base B′.
1. Best la base canonique de R3et B′= (~u, ~v, ~w) avec ~u = (1,1,1), ~v = (1,−1,0) et ~w = (1,1,−2).
2. B=1 0
0 0,0 1
0 0,0 0
1 0,0 0
0 1 et B′=1 0
0−1,0 1
−1 0,1 0
0 1,0 1
1 0
3. Best la base canonique de R2[X] et B′= (−X2+ 2X+ 1, X + 1, X2+ 2)
4. B= (1, X −2, X2−3X+ 3) et B′est la base canonique de R2[X].
Exercice 2:
Soit la matrice A=
2 0 4
3−4 12
1−2 5
et les matrices colonnes X1=
−4
3
2
,X2=
4
0
−1
et X3=
2
1
0
.
Montrer que les vecteurs X1,X2et X3sont des vecteurs propres de Aet d´eterminer les valeurs propres
associ´ees
Exercice 3:
Soit A=
7 3 −9
−2−1 2
2−1−4
.
1. Soit P(X) = X3−2X2−5X+ 6.
a) R´esoudre dans Rl’´equation P(x) = 0.
b) Calculer P(A).
c) En d´eduire que l’ensemble des valeurs propres de Aest inclus dans {−2; 1; 3}.
2. D´eterminer les valeurs propres de Aet pour chaque valeur propre d´eterminer une base du sous-espace
propre associ´e.
Exercice 4:
D´eterminer les valeurs propres des matrices suivantes, ainsi qu’une base des sous-espaces propres as-
soci´es.
1. A=2 4
1−12. B=
1−1 0
0 2 −2
0 0 3
3. C=
1−2 2
−2 1 2
−2−2 5
Exercice 5:
1. Soit la matrice A=
1 4 6
0 2 5
0 0 3
.Aest-elle diagonalisable ? Aest-elle inversible ?
2. Soit la matrice B=
1 3 5
0 0 4
0 0 2
.Best-elle diagonalisable ? Best-elle inversible ?
3. La matrice D=
01
2
1
2
1
201 2
1
2
1
20
est-elle diagonalisable ?
Alg`ebre : Chapitre 3 Exercices Page 1 R´eduction des endomorphismes

Exercice 6:
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables ? Si oui d´eterminer une matrice diagonale Det une
matrice inversible Ptelles que A=P DP −1
1. A=5−6
3−62. A=
1 0 1
0 1 0
1 1 1
3. A=
3 0 1
−1 2 −1
−2 0 0
4. A=
4−3−1
4−3−2
−1 1 2
Exercice 7:
On note B= (e1, e2, e3) la base canonique de R3. Soit fl’endomorphisme de R3dont la matrice dans
la base Best :
A=
−1 2 −1
−4 5 −3
−2 2 −1
1. a) Soit u1=e1+e2. Calculer les coordonn´ees de f(u1) dans la base B. Que peut-on en d´eduire pour
u1?
b) En utilisant la m´ethode de Gauss, montrer que 1 est l’unique valeur propre de f.
c) L’endomorphisme fest-il diagonalisable ? Est-il bijectif ?
2. On consid`ere les ´el´ements de R3:u2=pe2+qe3et u3=re1+se3, o`u p, q, r, s sont des r´eels.
a) D´eterminer u2et u3pour que :
f(u2) = u1+u2et f(u3) = 2u2+u3
b) V´erifier alors que B′= (u1, u2, u3) est une base de R3.
c) ´ Ecrire la matrice A′de fdans la base B′.
d) Calculer A′−1(les calculs devront figurer sur la copie) ; en d´eduire A−1.
Exercice 8:
On consid`ere pour nentier naturel non nul la matrice carr´ee d’ordre 3 suivante :
An=
11
n
1
n
−1
n
n+2
n
1
n
1
n
−1
n1
et on note I=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
On note fnl’endomorphisme de R3repr´esent´e par Anrelativement `a la base canonique de R3.
On consid`ere ´egalement les vecteurs de R3:−→ u= (1,1,−1), −→ v= (1,1,0) et −→ w= (0,−1,1).
1. D´eterminer pour tout triplet (x, y, z) de R3l’expression de fn((x, y, z)) en fonction de n, x, y, z.
2. a) Montrer que −→ u , −→ v , −→ wsont des vecteurs propres de fn.
b) Montrer que la famille ( −→ u , −→ v , −→ w) est une base de R3.
c) En d´eduire une matrice Ptelle que :
–Pinversible et P−1=
1−1−1
0 1 1
1−1 0
–P−1AnP=Dn, o`u Dn=I+1
nHet H=
0 0 0
0 1 0
0 0 1
3. On pose pour tout entier naturel nnon nul Πn=A1A2···An(avec Π1=A1).
a) Montrer que Πn=P D1D2···DnP−1.
Alg`ebre : Chapitre 3 Exercices Page 2 R´eduction des endomorphismes

b) Montrer par r´ecurrence sur nque pour tout entier naturel nnon nul :
D1D2· · · Dn=I+nH o`u Hest la matrice d´efinie au 2. c)
c) En d´eduire les neuf coefficients de la matrice Πn.
4. a) Montrer que pour tout entier naturel nnon nul D1D2···Dnest inversible et que
(D1D2···Dn)−1=I−n
n+ 1Ho`u Hest la matrice d´efinie au 2. c)
b) En d´eduire que Πnest inversible et donner les neuf coefficients de Π−1
n.
Exercice 9:
On note Bla base canonique de R3et on d´efinit les matrices :
I=
100
010
001
N=
0 1 0
0 0 1
0 0 0
Py=
0 2 1
4 0 y
4 2 0
A=
3 1 −1
1 1 1
2 0 2
On note fl’endomorphisme de R3de matrice Adans la base canonique B.
On note id l’endomorphisme de R3de matrice Idans la base canonique B.
1. a) Calculer (A−2I)2, puis v´erifier que (A−2I)3= 03(matrice nulle de M3(R)).
b) En d´eduire que le r´eel 2 est l’unique valeur propre de Aet d´eterminer une base et la dimension
du sous espace propre de Aassoci´e `a la valeur propre 2.
2. Montrer par la m´ethode du pivot que Pyest inversible si et seulement si y6=−1.
3. On note dans toute la suite les vecteurs u1= (0,4,4) et u2= (2,0,2).
a) D´eterminer l’unique vecteur u3de la forme u3= (1, y, 0) tel que f(u3) = u2+ 2u3.
b) Donner la matrice de passage Pde la base B`a la famille B′= (u1, u2, u3).
Montrer `a l’aide de la question 2) que Pest inversible puis justifier que la famille B′est une base
de R3.
c) Exprimer f(u1) en fonction de u1, puis f(u2) en fonction de u1et u2.
En d´eduire que la matrice Tde l’endomorphisme fdans la base B′est T= 2I+N.
Donner, en la justifiant en une seule ligne, la relation liant les matrices A,T,Pet P−1.
On cherche maintenant `a d´eterminer l’ensemble Sdes endomorphismes hde R3v´erifiant la relation
(R) :
(R)f◦h=h◦f
4. a) On note M′la matrice de l’endomorphisme hrelativement `a la base B′.
Montrer que : (R)⇐⇒ (NM′=M′N).
b) En posant M′=
a a′a′′
b b′b′′
c c′c′′
, montrer que : (R)⇐⇒ M′=
a a′a′′
0a a′
0 0 a
.
c) Calculer la matrice N2et en d´eduire que S= vect(id, f −2id, (f−2id)2).
d) On note G= (I, N, N2). Montrer que Gest libre et en d´eduire la dimension de S.
On note F′= (id, f, f2). Montrer que F′est une base de S.
Alg`ebre : Chapitre 3 Exercices Page 3 R´eduction des endomorphismes

Correction
Exercice 1:
1. Soit (e1, e2, e3) la base canonique de R3. On a :
−→
u= 1e1+ 1e2+ 1e3−→ v= 1e1−1e2+ 0e3−→ w= 1e1+ 1e2−2e3
Donc PB,B′=
1 1 1
1−1 1
1 0 −2
.
2. On a : 1 0
0−1= 1 1 0 0 0+ 0 0 1 0 0+ 0 0 0 1 0−10 0 0 1
0 1
−1 0= 0 1 0 0 0+ 1 0 1 0 0−10 0 1 0+ 0 0 0 0 1
1 0
0 1= 1 1 0 0 0+ 0 0 1 0 0+ 0 0 0 1 010 0 0 1
0 1
1 0= 0 1 0 0 0+ 1 0 1 0 0+ 1 0 0 1 0+ 0 0 0 0 1
Donc PB,B′=
1 0 1 0
0 1 0 1
0−101
−1 0 1 0
.
3. Soit (P0, P1, P2) la base canonique de R2[X]. On a :
−X2+ 2X+ 1 = 1P0+ 2P1−P2X+ 1 = 1P0+ 1P1+ 0P2X2+ 2 = 2P0+ 0P1+ 1P2
Donc PB,B′=
1 1 2
2 1 0
−101
.
4. On pose Q0= 1, Q1=X−2 et Q2=X2−3X+ 3 et (P0, P1, P2) la base canonique de R2[X].
•P0= 1Q0+ 0Q1+ 0Q2.
•P1= 2Q0+ 1Q1+ 0Q2
•On cherche a,bet ctels que
P2=aQ0+bQ1+cQ2⇔X2=a−2b+ 3c+ (b−3c)X+cX2⇔
0 = a−2b+ 3c
0 = b−3c
1 = c
⇔
a= 3
b= 3
c= 1
Donc P2= 3Q0+ 3Q1+ 1Q2
•Donc PB,B′=
123
013
001
.
Exercice 2:
•AX1=
0
0
0
= 0X1. Donc X1est un vecteur propre de Aassoci´e `a la valeur propre 0.
•AX2=
4
0
−1
=X2. Donc X2est un vecteur propre de Aassoci´e `a la valeur propre 1.
Alg`ebre : Chapitre 3 Exercices Page 4 R´eduction des endomorphismes

•AX3=
4
2
0
= 2X3. Donc X3est un vecteur propre de Aassoci´e `a la valeur propre 2.
Exercice 3:
1. a) 1 est une racine ´evidente de P. Donc on peut factoriser Ppar X−1. Grˆace `a la division euclidienne
on a P(X) = (X−1)(X2−X−6) = (X−1)(X+ 2)(X−3)
Donc P(x) = 0 ⇔x= 1 ou x=−2 ou x= 3.
b) P(A) = A3−2A2−5A+ 6I.
On a A2=
25 27 −21
−8−7 8
8 11 −4
et A3=
79 69 −87
−26 −25 26
26 17 −34
.
Donc P(A) = 
0 0 0
0 0 0
0 0 0
.
c) Pest donc un polynˆome annulateur de Adonc les valeurs propres de Asont parmi les racines de
P.
Ainsi l’ensemble des valeurs propres de Aest inclus dans {1; −2; 3}.
2. Dans cette question il suffit de r´esoudre AX =X,AX =−2Xet AX = 3X.
•AX =X⇔
6x+ 3y−9z= 0
−2x−2y+ 2z= 0
2x−y−5z= 0
⇔
−x−2y= 0
z=x+y
−3x−6y= 0
⇔x=−2y
z=−y
Donc 1 est bien valeur propre de Aet son sous-espace propre associ´e est
E1=
−2y
y
−y
/y ∈R
= vect 
−2
1
−1
La famille 
−2
1
−1
est une famille g´en´eratrice de E1form´ee d’un seul vecteur non nulle donc elle
est libre. 
−2
1
−1
est une base de E1.
•AX =−2X⇔
9x+ 3y−9z= 0
−2x+y+ 2z= 0
2x−y−2z= 0
⇔5x−5z= 0
y= 2x−2z⇔x=z y= 0
Donc −2 est bien valeur propre de Aet son sous-espace propre associ´e est
E−2=
x
0
x
/x ∈R
= vect 
1
0
1
La famille 
1
0
1
est une famille g´en´eratrice de E−2form´ee d’un seul vecteur non nulle donc elle
est libre. 
1
0
1
est une base de E−2.
Alg`ebre : Chapitre 3 Exercices Page 5 R´eduction des endomorphismes