1 Théor`eme de Baire - IECL

Universit´e de Lorraine ann´ee 2016-2017
M2 MFA – Agr´egation de Math´ematiques
Th´eor`emes de Baire et de Banach-Steinhaus
1 Th´eor`eme de Baire
Th´eor`eme 1. Soit Eun espace m´etrique complet.
L’intersection d’une famille d´enombrable d’ouverts (On)n∈Ndenses dans Eest
encore dense dans E.
D´emonstration. Soit Oun ouvert non vide.
Il s’agit de montrer que O∩ ∩n≥1Onest non-vide. Comme O1est dense dans
Eet que Oest non vide, il existe x1∈O∩O1. Comme O∩O1est ouvert,
il existe r1>0 tel que B(x1, r1)⊂O∩O1. On peut supposer r1≤1. Ainsi,
on construit une suite (xi)i≥1et une suite (ri)i≥1de r´eels strictements positifs
telles que pour tout n≥1
—B(xn, rn)∩O1∩ ··· ∩ On̸=∅.
—B(xn+1, rn+1)⊂B(xn, rn)∩O1∩ ··· ∩ On.
—rn≤1/2n−1.
En effet, une fois qu’on a construit x1, . . . xn, r1, . . . rn, on refait le raisonne-
ment suivant : puisque On+1 est dense et que B(xn, rn)∩O1∩ ··· ∩ On̸=∅,
On+1 rencontre B(xn, rn)∩O1∩ ··· ∩ Onen un point xn+1. Mais comme
B(xn, rn)∩O1∩ ··· ∩ On∩On+1 est ouvert, pour rn+1 suffisamment petit,
on aura B(xn+1, rn+1)⊂B(xn, rn)∩O1∩···∩On. Bien sˆur, il ne coˆute rien de
prendre rn+1 ≤1/2n.B(xn+1, rn+1)∩O1∩···∩On+1 ̸=∅car il contient xn+1.
Comme B(xn+1, rn+1)⊂B(xn, rn)∩O1∩ ··· ∩ On, on a d(xn, xn+1)≤1
2n−1.
On en d´eduit que pour tous n, p on a
d(xn, xn+p)≤
k≥0
1
2n+k−1=1 2n.
Ainsi la suite (xn) est de Cauchy, donc convergente car l’espace est complet.Pour
tout k≥1, xn+k∈B(xn+1, rn+1) (les boules sont emboˆıt´ees), donc la limite x
est dans B(xn+1, rn+1) qui est ferm´e. Cependant B(xn+1, rn+1)⊂O∩On, donc
finalement x∈O∩ ∩n≥1On.
En passant au compl´ementaire, on voit qu’une r´eunion d´enombrable de
ferm´es d’int´erieurs vides est d’int´erieur vide.
Le r´esultat est souvent utilis´ee sous la forme contrapos´ee : si une r´eunion
d´enombrable de ferm´es est d’int´erieur non-vide, alors un des ferm´es est d’int´erieur
non vide.
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Exercices
Exercice 1. Soit fune application lineaire continue d’un Banach Xdans lui
mˆeme telle que
∀x∈X, ∃n∈N, f n(x) = 0
Montrer que fest nilpotente i.e.
∃N∈N, fN= 0
Exercice 2. Soit fune fonction holomorphe sur un ouvert connexe de Ctelle
que pour tout x, il existe ntel que f(n)(x) = 0. Montrer que fest un polynˆome.
Remarque : dans le mˆeme ordre d’id´ees, on peut montrer qu’une fonction
C∞sur Rtelle que pour tout x, il existe ntel que f(n)(x) = 0, est un polynˆome.
La preuve est plus d´elicate, voir par exemple Chambert-Loir–Fermigier, Analyse
2, ou Leichnam–Schauer, tome 4, ou sur le web
http://www.les-mathematiques.net/c/a/b/node20.php#cloire.
Exercice 3. Soit fune fonction continue de Rdans R, telle que pour tout x, la
suite (f(nx))n≥1est de limite nulle. Soit ε > 0. Montrer qu’il existe u, v,n∈N
avec u < v tels que
∀x∈[u, v]∀m∈[n, +∞[∩N;|f(mx)| ≤ ε.
En d´eduire que fest de limite nulle. Et si fn’est pas continue ?
Exercice 4. 1. Soit Mune partie non born´ee de R+. Montrer que pour
tout n, l’ensemble
∪
p≥n
1
pM.
est dense dans R+.
2. Soit Oun ouvert de R+non born´e. Montrer qu’il existe x > 0 tel que la
suite (nx)n≥1a une infinit´e de points dans O.
3. Retrouver alors simplement le r´esultat de l’exercice pr´ec´edent.
Exercice 5. Montrer que si dans un espace m´etrique complet, une r´eunion
d´enombrable de ferm´es est ´egal `a l’espace tout entier, la r´eunion de leurs int´erieurs
est dense.
Exercice 6. Montrer qu’un espace de Banach ne peut s’´ecrire comme r´eunion
d´enombrable de sous-espaces stricts. En particulier, on ne peut munir R[X]
d’une structure d’espace de Banach.
Exercice 7. Un espace de Banach de dimension infinie n’a pas de base alg´ebrique
d´enombrable.
Exercice 8. Soit El’ensemble des fonctions continues de [0,1] dans R, muni
de la norme infinie. On pose
An={f∈E;∀t∈[0,1] ∃s∈[0,1]; |f(t)−f(s)|> n|t−s|}.
Montrer que Anest un ouvert dense de E. En d´eduire que l’ensemble des fonc-
tions continues, d´erivables nulle part est dense dans E.
2

2 Th´eor`eme de Banach-Steinhaus
Th´eor`eme 2 (Principe de la borne uniforme).Soit Eun espace de Banach.
On suppose qu’on a F ⊂ L(E, F )telle que
∀x∈E Mx=sup
T∈F ∥T x∥<+∞.
Alors, il existe Mtelle que
∀x∈E∀T∈ F ∥T x∥ ≤ M∥x∥.
D´emonstration. On pose Fn={x∈E;Mx≤n}. On a
Fn=∩
T∈F {x∈E:∥T x∥ ≤ n}.
Fnest une intersection de ferm´es, donc un ferm´e 1.Eest la r´eunion des Fn, donc
d’apr`es le th´eor`eme de Baire, un des Fnest d’int´erieur non-vide. Soit z∈E,
ε > 0 tel que B(z, ε)⊂Fn. Soit x∈Enon nul. On pose y=z+εx
∥x∥. On a
x=∥x∥
ε(y−z), donc par homog´en´eit´e, pour tout Tdans F, on a
∥T x∥=∥x∥
ε∥T y −T z∥ ≤ 2n ε∥x∥,
ce qui fait que M=2n
εconvient, l’in´egalit´e ´etant encore v´erifi´ee pour x= 0.
Ce th´eor`eme admet un raffinement qui peut ˆetre utile
Th´eor`eme 3 (Principe de la borne uniforme 2).Soit Eun espace de Banach.
On suppose qu’on a F ⊂ L(E, F ).
Si
sup
T∈F|∥T∥| = +∞,
alors il existe un ensemble Uqui peut s’´ecrire comme l’intersection d’une famille
d´enombrable d’ouverts denses, et tel que
∀x∈Usup
T∈F ∥T x∥= +∞.
D´emonstration. Posons Mx= supT∈F ∥T x∥.
Par contrapos´ee, la derni`ere ´etape de la preuve pr´ec´edente montre que l’hy-
poth`ese supT∈F|∥T∥| = +∞entraˆıne qu’il ne peut exister de ntel que Fn=
{x∈E;Mx≤n}soit d’int´erieur non vide. Ainsi, pour tout n, comme Fnest
ferm´e, c’est donc un ferm´e d’int´erieur vide : son compl´ementaire Onest donc un
ouvert dense, or sur l’intersection des On,Mx= +∞, ce qui montre le r´esultat
voulu.
1. La premi`ere version de ce texte, de mˆeme que la plupart des livres, affirmait froidement
sans preuve, comme une ´evidence : Fnest ferm´e. Attention `a bien v´erifier syst´ematiquement
ce genre d’affirmations p´eremptoires, qui cachent parfois un vrai argument.
3

Corollaire 1. Soit Eun espace de Banach et Fun espace vectoriel norm´e. On
suppose que pour tout n Tnest un op´erateur lin´eaire de Edans Fet que pour
tout x∈E Tnx→T x. Alors Test un op´erateur continu de Edans F.
D´emonstration. La lin´earit´e de Test facile, pour le reste il suffit de remar-
quer qu’une suite convergente est born´ee et d’appliquer le principe de la borne
uniforme.
Remarque : il n’est pas pas vrai que Tntende n´ecessairement vers Ten
norme d’op´erateur. Par exemple, si Eest un espace Hilbertien dont (en)n≥1est
une base, Tn(x) = ⟨x, en⟩tend vers 0 pour tout x, mais |∥Tn∥| = 1 pour tout n.
Exercices
Exercice 9. Soit αnune suite de r´eels telle que pour toute suite (xn)∈ℓ2(N),
+∞
n=1 |αnxn|<+∞.
Montrer que x∈ℓ2(N). La r´eciproque est-elle vraie ?
Exercice 10. Densit´e des fonctions continues dont la s´erie de Fourier diverge
en un point donn´e
1. Soit El’ensemble des fonctions continues 2π-p´eriodiques, que l’on munit
de la norme infinie. Montrer que pour toute fonction f∈E, si on pose
Sn(f)(x) = n
k=−nck(f)eikx, on a
Sn(f)(x) = 1
2ππ
−π
f(t)Dn(x−t)dt, o`u Dn(t) = sin(2n+ 1) t
2
sin t
2
.
(Dnest le noyau de Dirichlet)
2. Soit x∈Rfix´e. Tn:f7→ Snf(x) est une forme lin´eaire sur E. Montrer
que
|∥Tn∥| =1
2ππ
−π|Dn(t)|dt.
Indication : on rappelle qu’une indicatrice peut souvent s’exprimer comme
limite de fonctions continues.
3. Montrer qu’il existe une constante Ktelle que
|∥Tn∥| ∼ Klog n.
Indication : on pourra commencer par montrer que l’´ecart entre |∥Tn∥|
et
Mn=1
ππ
−π
|sin(2n+ 1) t
2|
tdt.
est born´e uniform´ement en n.
4. En d´eduire que l’ensemble des fonctions dont la s´erie de Fourier diverge
au point xest dense dans E.
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3 Th´eor`eme de l’application ouverte et du graphe
ferm´ee
D´efinitions
On dit qu’une application fest ouverte si l’image d’un voisinage quelconque
de xcontient un voisinage de f(x). On dit qu’une application fest presque
ouverte si l’adh´erence de l’image d’un voisinage quelconque de xcontient un
voisinage de f(x).
Th´eor`eme 4. Soit Eun espace vectoriel, Fun espace de Banach. Si une
application lin´eaire de Edans Fest surjective, alors elle est presque ouverte.
D´emonstration. Soit Tune telle application. Comme Test surjective,
F=∪
n≥1T(B(0, n))
Comme Fest complet, un de ses ensembles est d’int´erieur non-vide. Supposons
donc que B(x, r)⊂T(B(0, n)). T(B(0, n)) est sym´etrique, donc son adh´erence
aussi, d’o`u B(−x, r)⊂T(B(0, n)). T(B(0, n)) est convexe, donc son adh´erence
aussi et B(0, r)⊂T(B(0, n)). Par lin´earit´e, on a alors pout tout y∈Eet pour
tout δ > 0,
B(T(y),δr
n)⊂T(B(y, δ)),
ce qui montre que Test presque ouverte.
Th´eor`eme 5. Soit Eun espace de Banach, Fun espace vectoriel norm´e. Une
application lin´eaire continue de Edans Fpresque ouverte est ouverte.
D´emonstration. Il existe δ > 0 tel que B(0, δ)⊂T(B(0,1)), donc par ho-
mog´en´eit´e,
B(0,∥y∥)⊂T(B(0,∥y∥
δ)),
soit en particulier y∈T(B(0,∥y∥
δ)). Ainsi, pour tout yon peut construire, g(y)
et r(y) avec
y=T(g(y)) + r(y); ∥g(y)∥ ≤ 1
δ∥y∥et ∥r(y)∥ ≤ ∥y∥ 2.
Par r´ecurrence, on a pour tout n
y=
n−1
k=0
T(g(r◦n(y))) + r◦n(y)
=T(Sn) + r◦n(y),avec Sn=
n−1
k=0
g(r◦n(y)).
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