Chapitre. Nombres relatifs en écriture fractionnaire.

Chapitre.
Nombres relatifs en écriture fractionnaire.
I.Quotient de deux nombres
Définition: Le quotient de a par b ( b différent de 0) est le nombre x tel que : b x = a.
a
On note x =
b
remarque: c'est le résultat de la division de a par b.
3
est le quotient de 3 par 5.
5
est le nombre x tel que 5 x = 3
x = 0,6
II.
simplification d'écriture:
Quelques définitions :
a
s’appelle une écriture fractionnaire.
b
a s’appelle le numérateur.
b s’appelle le dénominateur.
Définition: on appelle fraction une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur
sont des nombres entiers.
3
est une fraction
5
2,5
n’est pas une fraction, mais une écriture fractionnaire de 0,25 c’est-à-dire ¼ ; 25/100 ou 2/8.
10
2,5
est une écriture fractionnaire du quotient de 2,5 par 10.
10
π
6
n’est pas une fraction (π n’est pas un entier) mais c'est une écriture fractionnaire.
1)
Propriété admise
Propriété: Pour tous nombres relatifs a, b, k avec b et k différents de 0, on a:
ka a
=
kb b
Démonstration: Effectivement, on note x le quotient de a par b.
On a donc bx = a.
Donc k ( bx) = k a
Donc (kb) x = ka (associativité de la multiplication).
Donc x est bien le quotient de ka par kb.
3
= 0,6
5
6
2×3 3
= 0,6 donc on a bien
=
10
2×5 5
30
10 × 3 3
= 0,6 donc on a bien
=
50
10 × 5 5
Ce théorème va servir à comparer des nombres en écriture fractionnaire, et à additionner ou soustraire des
nombre en écriture fractionnaire.
exemple 1:
Les capacités travaillées dans le programme de sixième "multiplier un nombre entier ou décimal par un quotient de deux entiers
sans effectuer une division" et "reconnaître dans des cas simples que deux écritures fractionnaires différentes sont celles d'un même
nombre" sont exigible dans le socle en fin de cinquième."
2)
application à la division par un décimal
Théorème: le quotient d'une division ne change pas si on multiplie ou si l'on divise le dividende et
le diviseur par un même nombre, en particulier 10, 100, 1000…
Ainsi, lorsqu'on veut déterminer l'écriture décimale exacte ou une valeur approchée du quotient de deux
décimaux, on peut multiplier dividende et diviseur pour se ramener au quotient d'un décimal par un entier.
exemple 1:
Trouver une valeur approchée du quotient de 12,3 par 1,3.
12,3 12,3 × 10
12,3 123
=
=
1,3
1,3 × 10
1,3
13
Pour trouver une valeur approchée du quotient de 12,3 par 1,3, on peut poser la division de 123 par 13.
1 2 3, 0 0
1 3
6 0
8 0
9, 4 6
2
Une valeur approchée du quotient de 12,3 par 1,3 est 9,46.
exemple 2:
Trouver une écriture décimale exacte du quotient de 4 par 0,12.
Pour cela, on multiplie par 100 numérateur et dénominateur.
4, 0 0 0 0
0,1 2
4 0 0, 0 0
4 0
4 0
4 0
4
1 2
3 3, 3 3
Une valeur approchée du quotient de 4 par 0,12 est 33,33.
La capacité de sixième "donner la valeur approchée décimal (par excès ou par défaut) d'un décimal à l'unité, au dixième, au
centième près" qui n'était pas exigible pour le socle en sixième, l'est en cinquième.
III.
Comparaison des nombres en écriture fractionnaire (ne fait pas partie du socle commun).
1) symboles utilisés.
<: est strictement inférieur à >: est strictement supérieur à
≤: est inférieur ou égal à
≥ : est supérieur ou égal à
2) Comparaison de deux nombres en écriture fractionnaire.
a) Méthode 1:
Dans une écriture fractionnaire d'un nombre positif,
• si le numérateur positif est strictement supérieur au dénominateur, alors le nombre est
strictement supérieur à 1.
• si le numérateur positif est strictement inférieur au dénominateur, alors le nombre est
strictement inférieur à 1.
Application: Comparer
12 > 8
5<6
donc
donc
12 5
et .
8 6



12
>1
8
5
<1
6
Donc
5
12
<1<
6
8
donc
5 12
<
6 8
b) Méthode 2:
Pour comparer des nombres positifs en écriture fractionnaire, on peut les écrire de telle sorte qu'ils aient
le même dénominateur positif.
De deux nombres, le plus grand est celui qui a le plus grand numérateur.
3
2
exemple 1:
comparer 8 et 7 .
56 est un multiple commun à 7 et 8. On peut donc choisir d'écrire les deux écritures de telle sorte que le
dénominateur soit 56.
3
21
8 = 56 (on a multiplié par 7 numérateur et dénominateur)
16
2 3
2
= 56 (on a multiplié par 8 numérateur et dénominateur)
16 < 21 donc 7 < 8 .
7
c) Méthode 3:
Pour comparer des nombres positifs en écriture fractionnaire, on peut les écrire de telle sorte qu'ils aient
le même numérateur positif.
De deux nombres, le plus grand est celui qui a le plus petit dénominateur.
3
2
exemple 1:
comparer 8 et 7 .
6 est un multiple commun à 3 et 2. On peut donc choisir d'écrire les deux écritures de telle sorte que le
numérateur soit 6.
3 6
=
(on a multiplié par 2 numérateur et dénominateur)
8 16
2 6
=
(on a multiplié par 2 numérateur et dénominateur)
7 21
16 < 21 donc
6
6
3 2
>
donc > .
16 21
8 7