Solutions au Intra 1. - Département de mathématiques et de statistique

D´ epartement de math´ ematiques et de statistique
Universit´ e de Montr´ eal
Th´ eorie des nombres. Mat 3632. Examen intra 1
Le 7 novembre 2012. 10h00-11h50
Professeure: Matilde N. Lal
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ın
NOM:
CPER:
1. Aucune documentation permise.
2. Les t´el´ephones cellulaires doivent ˆetre ´eteints. Les portables ne sont pas permis.
3. Ne pas oublier d’´ecrire vos nom et CPER sur cette feuille.
4. Lire attentivement les questions avant de commencer `a travailler.
5. Justifier tous vos raisonnements.
6. Continuer sur le verso de la feuille si vous avez besoin de plus d’espace.
7. R´epondre `a toutes les questions.
Question: 1 2 3 4 5 Total
Points: 4 3 2 2 4 15
Score:

1. Soit pet qdes nombres premiers positifs diff´erents.
(a) (2 points) Trouver le nombre des diviseurs entiers positifs de p3q9.
(b) (2 points) Si a∈Zet (a, pq4) = pq4, trouver tous les valeurs possibles de (a2, p3q9)
Solution: (a) Si d|p3q9, alors cela veut dire que d=piqjavec 0 ≤i≤3 et
0≤j≤9. Cela donne 4 possibilit´es pour iet 10 possibilit´es pour j, alors, 40
diviseurs. (Les diff´erentes combinaisons donnent des nombres diff´erents `a cause du
th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique).
(b) On a que p|aet que q4|a, alors p2q8|a2. Alors, (a2, p3q9) = p2q8, p3q8, p2q9, p3q9.
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2. (3 points) Soit a, b, c ∈N. Montrer que
(ab, c)=(a(b, c), c)
Solution: Soit
a=
r
Y
i=1
pαi
i, b =
r
Y
i=1
pβi
i, c =
r
Y
i=1
pγi
i
avec αi, βi, γi∈N∪ {0}.
L’exposant de pidans (ab, c) est min{αi+βi, γi}alors que ce de pidans (a(b, c), c)
est min{αi+ min{βi, γi}, γi}. Comme min{βi, γi} ≤ βi, il est clair que
min{αi+ min{βi, γi}, γi} ≤ min{αi+βi, γi},
et on a l’´egalit´e si βi≤γi. Supposer maintenant que γi< βi. Donc,
min{αi+ min{βi, γi}, γi}= min{αi+γi, γi}=γi
alors que γi< βi+αidonne
min{αi+βi, γi}=γi.
On a donc l’´egalit´e dans tout cas.
Solution: Soit d= (ab, c). Alors, d|ab et d|c. En particulier, d|ac, alors
d|(ab, ac) = a(b, c). Puisque d|c, (ab, c) = d|(a(b, c), c).
Maintenant soit d= (a(b, c), c), alors d|a(b, c)=(ab, ac) et d|c. En particulier,
d|ab et d|c, alors (a(b, c), c) = d|(ab, c).
Comme il s’agit the deux naturels (positifs) que l’un divise l’autre, ils sont ´egaux:
(ab, c) = (a(b, c), c).
Solution: Puisque a(b, c) = (ab, ac) et que (a, b, c) = ((a, b), c) = (a, (b, c)), on a
(a(b, c), c) = (ab, bc, c)=(ab, c(b, 1)) = (ab, c)
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3. (2 points) Montrer que, pour chaque entier positif n, on a
32n+1 ≡2(−1)n+1 (mod 5).
Solution: Par induction. Si n= 1, 33= 27 ≡2≡2(−1)2(mod 5). Suppposer que
le resultat est vrai pour n=k. Alors,
32(k+1)+1 = 9 ·32k+1 ≡4·2(−1)k+1 ≡(−2)(−1)k+1 ≡2(−1)k+2 (mod 5).
Solution:
32n+1 ≡9n·3≡(−1)n(−2) ≡2(−1)n+1 (mod 5).
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4. (2 points) Soit Nun entier positif dont la repr´esentation d´ecimale est N=an10n+. . .+
a2102+a110 + a0avec 0 < an≤9 et 0 ≤ak≤9 pour k= 0, . . . , n −1. Montrer que N
est divisible par 8 ⇐⇒ 4a2+ 2a1+a0≡0 (mod 8).
Solution: Comme 10k≡0 mod 8 si k≥3, on a que
an10n+. . . +a2102+a110 + a0≡a2100 + a110 + a0≡4a2+ 2a1+a0(mod 8)
Alors, 8 |Nssi N≡0 (mod 8) ssi 4a2+ 2a1+a0≡0 (mod 8).
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