Solutions au Intra 1. - Département de mathématiques et de statistique

Département de mathématiques et de statistique
Université de Montréal
Théorie des nombres. Mat 3632. Examen intra 1
Le 7 novembre 2012. 10h00-11h50
Professeure: Matilde N. Lalı́n
NOM:
CPER:
1. Aucune documentation permise.
2. Les téléphones cellulaires doivent être éteints. Les portables ne sont pas permis.
3. Ne pas oublier d’écrire vos nom et CPER sur cette feuille.
4. Lire attentivement les questions avant de commencer à travailler.
5. Justifier tous vos raisonnements.
6. Continuer sur le verso de la feuille si vous avez besoin de plus d’espace.
7. Répondre à toutes les questions.
Question:
1
2
3
4
5
Total
Points:
4
3
2
2
4
15
Score:
1. Soit p et q des nombres premiers positifs différents.
(a) (2 points) Trouver le nombre des diviseurs entiers positifs de p3 q 9 .
(b) (2 points) Si a ∈ Z et (a, pq 4 ) = pq 4 , trouver tous les valeurs possibles de (a2 , p3 q 9 )
Solution: (a) Si d | p3 q 9 , alors cela veut dire que d = pi q j avec 0 ≤ i ≤ 3 et
0 ≤ j ≤ 9. Cela donne 4 possibilités pour i et 10 possibilités pour j, alors, 40
diviseurs. (Les différentes combinaisons donnent des nombres différents à cause du
théorème fondamental de l’arithmétique).
(b) On a que p | a et que q 4 | a, alors p2 q 8 | a2 . Alors, (a2 , p3 q 9 ) = p2 q 8 , p3 q 8 , p2 q 9 , p3 q 9 .
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2. (3 points) Soit a, b, c ∈ N. Montrer que
(ab, c) = (a(b, c), c)
Solution: Soit
a=
r
Y
pαi i ,
i=1
b=
r
Y
pβi i ,
c=
i=1
r
Y
pγi i
i=1
avec αi , βi , γi ∈ N ∪ {0}.
L’exposant de pi dans (ab, c) est min{αi + βi , γi } alors que ce de pi dans (a(b, c), c)
est min{αi + min{βi , γi }, γi }. Comme min{βi , γi } ≤ βi , il est clair que
min{αi + min{βi , γi }, γi } ≤ min{αi + βi , γi },
et on a l’égalité si βi ≤ γi . Supposer maintenant que γi < βi . Donc,
min{αi + min{βi , γi }, γi } = min{αi + γi , γi } = γi
alors que γi < βi + αi donne
min{αi + βi , γi } = γi .
On a donc l’égalité dans tout cas.
Solution: Soit d = (ab, c). Alors, d | ab et d | c. En particulier, d | ac, alors
d | (ab, ac) = a(b, c). Puisque d | c, (ab, c) = d | (a(b, c), c).
Maintenant soit d = (a(b, c), c), alors d | a(b, c) = (ab, ac) et d | c. En particulier,
d | ab et d | c, alors (a(b, c), c) = d | (ab, c).
Comme il s’agit the deux naturels (positifs) que l’un divise l’autre, ils sont égaux:
(ab, c) = (a(b, c), c).
Solution: Puisque a(b, c) = (ab, ac) et que (a, b, c) = ((a, b), c) = (a, (b, c)), on a
(a(b, c), c) = (ab, bc, c) = (ab, c(b, 1)) = (ab, c)
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3. (2 points) Montrer que, pour chaque entier positif n, on a
32n+1 ≡ 2(−1)n+1 (mod 5).
Solution: Par induction. Si n = 1, 33 = 27 ≡ 2 ≡ 2(−1)2 (mod 5). Suppposer que
le resultat est vrai pour n = k. Alors,
32(k+1)+1 = 9 · 32k+1 ≡ 4 · 2(−1)k+1 ≡ (−2)(−1)k+1 ≡ 2(−1)k+2 (mod 5).
Solution:
32n+1 ≡ 9n · 3 ≡ (−1)n (−2) ≡ 2(−1)n+1 (mod 5).
Page 4
4. (2 points) Soit N un entier positif dont la représentation décimale est N = an 10n + . . . +
a2 102 + a1 10 + a0 avec 0 < an ≤ 9 et 0 ≤ ak ≤ 9 pour k = 0, . . . , n − 1. Montrer que N
est divisible par 8 ⇐⇒ 4a2 + 2a1 + a0 ≡ 0 (mod 8).
Solution: Comme 10k ≡ 0 mod 8 si k ≥ 3, on a que
an 10n + . . . + a2 102 + a1 10 + a0 ≡ a2 100 + a1 10 + a0 ≡ 4a2 + 2a1 + a0 (mod 8)
Alors, 8 | N ssi N ≡ 0 (mod 8) ssi 4a2 + 2a1 + a0 ≡ 0 (mod 8).
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5. (a) (2 points) En utilisant l’algorithme d’Euclide, trouver les solutions entières x, y ∈ Z
de
57x + 33y = 6.
(b) (1 point) Combien des solutions x, y ∈ Z y-a-t-il avec 0 ≤ x ≤ 50?
(c) (1 point) Combien des solutions modulo 57 y-a-t-il pour chacunes des équations
suivantes? Justifier la réponse.
a)
33y ≡ 12 (mod 57)
b)
33y ≡ 5 (mod 57)
Solution: (a)
57
33
24
9
6
=
=
=
=
=
1 · 33 + 24
1 · 24 + 9
2·9+6
1·6+3
2·3
Alors 3 = (57, 33).
Maintenant,
3 =
=
=
=
9−1·6
9 − 1(24 − 2 · 9) = 3 · 9 − 1 · 24
3(33 − 24) − 1 · 24 = 3 · 33 − 4 · 24
3 · 33 − 4(57 − 33) = 10 · 33 − 4 · 57
Alors
3 = 7 · 33 − 4 · 57
et
6 = 14 · 33 − 8 · 57
est une solution particuliére.
Alors, la solution générale est donnée par:
x = −8 +
33
k = −8 + 11k,
3
y = 14 −
Page 6
57
k = 14 − 19k,
3
k ∈ Z.
(b) Il y a cinq solutions avec 0 ≤ x ≤ 50 avec valeurs k = 1, 2, 3, 4, 5 (elles sont: x =
3, 14, 25, 36, 47)
(c) (a) 3 solutions, car (57, 33) | 12 et (57, 33) = 3.
(b) Aucune solution car (57, 33) = 3 6| 5.
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