EQUATIONS - Monsieur CHAPON

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e
Equation est issu du latin aequus, « égal ». Une équation est une égalité contenant
des lettres qui représentent des nombres inconnus.
Et ce qui est extraordinaire, c’est l’efficacité que peut donner le simple remplacement
d’un nombre inconnu par une lettre…
EQUATIONS
VOCABULAIRE
Il est pratique d’utiliser des lettres pour traduire une phrase un peu compliquée. Par exemple « à quel
nombre doit on enlever 894,5 pour trouver 1029 » peut se traduire en mathématiques par :
x – 894,5 = 1029
La lettre x désigne le nombre que l’on cherche : c’est l’inconnue.
Le membre de gauche est x – 894,5 et le membre de droite est 1029.
Une égalité qui contient une inconnue s’appelle une équation.
Une équation du premier degré est une équation dans laquelle l’inconnue est à la puissance 1 au
maximum (exemple : 2x + 7 = 5x – 5).
Une équation du second degré est une équation dans laquelle l’inconnue est à la puissance 2 au
maximum (exemple : x² – 3x = 2 – 4x).
Une solution d’une équation est un nombre qui, mis à la place de la lettre, rend l’égalité vraie.
Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses solutions (il peut y en avoir plusieurs …).
VERIFIER SI UN NOMBRE EST SOLUTION D’UNE EQUATION
Pour savoir si un nombre est solution d’une équation, il suffit de calculer séparément les deux membres en
prenant ce nombre pour valeur de l’inconnue : si les deux résultats obtenus sont égaux, c’est que le nombre est
solution de l’équation ; si les deux résultats obtenus sont différents, c’est que le nombre n’est pas solution de
l’équation.
Par exemple voyons si 5 est solution de l’équation x² – 3x = 2 – 4x :
membre de gauche : 5² – 3 × 5 = 25 – 15 = 10
membre de droite : 2 – 4 × 5 = 2 – 20 = -18
Les deux membres sont différents donc 5 n’est pas solution de l’équation x² – 3x = 2 – 4x.
RESOLUTION D’UNE EQUATION DU PREMIER DEGRE
En troisième, c’est le seul type d’équation que l’on apprend à résoudre. Il faudra attendre la seconde pour
les équations du second degré…
Le principe est le suivant :
- on peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres.
- on peut aussi multiplier ou diviser les deux membres par le même nombre sauf 0.
Exemple 1 : 3x + 7 = 9x – 5
J’enlève 3x aux deux membres : 7 = 6x – 5
J’ajoute 5 aux deux membres : 12 = 6x
12
Je divise les deux membres par 6 : x =
=2
6
Exemple 2 : 5x + 7 = 0
J’enlève 7 aux deux membres : 5x = -7
Je divise les deux membres par 5 : x =
Collège Ambrussum
-7
= -1,4
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M. CHAPON
EQUATION PRODUIT NUL
Une équation produit nul est une équation dans laquelle l’un des membres vaut 0 et l’autre membre
est un produit de facteurs du premier degré.
Pour résoudre une équation de ce type, on utilise la propriété suivante : si un produit est nul, c’est qu’au
moins l’un de ses facteurs est nul. Ainsi, on n’a plus qu’à résoudre plusieurs équations du premier degré,
chose que l’on sait faire !..
Exemple 1 : soit l’équation (2x + 7)(3x – 12) = 0
C’est une équation produit nul donc soit 2x + 7 = 0, soit 3x – 12 = 0
2x + 7 = 0
2x = -7
7
x = - = -3,5
2
L’équation (2x + 7)(3x – 9) = 0 a donc deux solutions qui sont -3,5 et 4.
3x – 12 = 0
3x = 12
12
x=
=4
3
Exemple 2 : soit l’équation (5 + 2x)(6x – 18)(x – 4) = 0
C’est une équation produit nul donc soit 5 + 2x = 0, soit 6x – 18 = 0, soit x – 4 = 0
5 + 2x = 0
6x – 18 = 0
2x = -5
6x = 18
18
5
x = - = - 2,5
x=
=3
6
2
L’équation (5 + 2x)(6x – 18)(x – 4) = 0 a donc trois solutions qui sont -2,5 ; 3 et 4.
x – 4 =0
x=4
RESOLUTION D’UN PROBLEME A L’AIDE D’UNE EQUATION
Tous les problèmes contenant une équation peuvent se résoudre en suivant le modèle ci-dessous :
remplacer le nombre inconnu par une lettre traduire l’énoncé résoudre l’équation conclure par une phrase.
Exemple : je pense à un nombre, je lui ajoute 1 et je multiplie le résultat par 6. J’obtiens le même résultat
que si j’ajoute 7 au double du nombre de départ. A quel nombre ai-je pensé ?
Appelons x le nombre recherché.
Traduisons l’énoncé :
je pense à un nombre
je lui ajoute 1
je multiplie le résultat par 6
le double du nombre de départ
j’ajoute 7 au double du nombre de départ
x
x+1
6(x + 1)
2x
2x + 7
j’obtiens le même résultat
6(x + 1) = 2x + 7
6x + 6 = 2x + 7
4x + 6 = 7
4x = 1
1
x = = 0,25
4
Le nombre cherché est 0,25
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