Fonctions d`une variable réelle - images.hachette

CHAPITRE
Chap. 1 : Fonctions d’une variable réelle 9
1
Fonctions d’une
variable réelle
Un peu d’histoire
C’est Euler qui, au milieu du XVIIIe siècle, dégagea véritablement le concept de fonction, donna une
classification des fonctions et proposa des méthodes générales pour l’étude des variations et la recherche des
minimums et des maximums.
La résolution de certains problèmes a ensuite permis de faire émerger de nouveaux types de fonctions, ce
qui a conduit à donner progressivement l’éclairage actuel de la notion de fonction lié à la théorie des
ensembles.
Cours................................................................................................................................... 10
Travaux pratiques ............................................................................................................. 43
Exercices avec corrigés...................................................................................................... 47
Exercices corrigés pour le BTS ........................................................................................ 53
QCM pour se tester ........................................................................................................... 56
Exercices non corrigés....................................................................................................... 57
Exercices pour le BTS ....................................................................................................... 73
Ce chapitre est conçu pour permettre aux étudiants de consolider et de compléter leurs acquis
sur les fonctions d’une variable réelle en tenant compte des programmes de mathématiques
qu’ils ont suivis antérieurement.
Certains paragraphes du cours et certains types d’exercices peuvent être sautés s’ils
constituent des révisions inutiles.
L’objectif essentiel est d’exploiter la pratique de la dérivation pour l’étude du comportement
global et local de phénomènes continus décrits mathématiquement par la notion de fonction,
les représentations graphiques jouant un rôle important.
On se place dans le cadre de fonctions à valeurs réelles, définies sur un intervalle de .

10
COURS A. FONCTIONS ET COURBES
DE RÉFÉRENCE
1. FONCTIONS EN ESCALIER
Voir l’exercice corrigé 1. La
fonction qui, à la masse m d’une
lettre en grammes (0  m  500)
associe le tarif d’affranchissement
en euros, est en escalier.
Une fonction en escalier est une fonction constante par intervalles.
Sa représentation graphique est consti-
tuée de segments de droite ou de demi-
droites parallèles à l’axe des abscisses.
Par exemple, soit ƒ la fonction définie
sur [1, + ∞[ par
ƒ(t)  3 si 1  t  2,
ƒ(t)  1 si 2 < t  3,
ƒ(t)  2 si 3 < t < 5,
ƒ(t)  4 si t  5.
2. FONCTIONS AFFINES
Nous serons amenés à considérer
des fonctions affines t  at  b
définies uniquement sur un
intervalle de , par exemple
1, 4 ou 0,   .
Une fonction affine ƒ est définie sur  par ƒ(t)  at  b où a et b sont des
nombres réels fixés avec a  0.
Une fonction affine est dérivable sur  et, pour tout nombre réel t, ƒ '(t)  a.
Une fonction affine par morceaux est une fonction affine par intervalles.
Sa représentation graphique est constituée de segments de droite ou de demi-
droites non parallèles aux axes de coordonnées.
O
y
t
1
1
2
2
3
3
4
4
5
56
Fig. 1
On note le plus souvent t la
variable, en BTS, conformément au
programme.
Cas a > 0Cas a < 0
ƒ est strictement
croissante sur 
ƒ est strictement
décroissante sur 
La représentation graphique de la
fonction affine t  at  b est une
droite de coefficient directeur a.
Son point d’intersection avec l’axe
des ordonnées a pour ordonnée
ƒ(0)  b : c’est « l’ordonnée à
l’origine » de la droite.
Dans le cas où b  0, la fonction
t  at est linéaire ; sa droite
représentative passe par l’origine
du repère.
O
y
a  0
t
y  at  b
ƒ'(t)
ƒ(t)
t 
Fig. 2
ƒ'(t)
ƒ(t)
t 
O
y
a  0
t
y  at  b
Fig. 3

Chap. 1 : Fonctions d’une variable réelle 11
COURS 3. FONCTIONS PUISSANCES
D’EXPOSANT ENTIER
a. Fonctions puissances d’exposant entier
strictement supérieur à 1
Soit ƒn la fonction définie sur  par ƒn(t)  tn, où n est un nombre entier
strictement supérieur à 1.
ƒn est dérivable sur  et, pour tout nombre réel t, ƒ'n(t)  nt n  1.
b. Fonctions puissances d’exposant entier
strictement négatif
Soit gn et hn les fonctions définies respectivement sur 0,    et sur
  , 0  par et où n est un nombre entier strictement
positif.
gn et hn sont dérivables sur l’intervalle où elles sont définies ;
pour tout t de 0,   , ,
pour tout t de   , 0 , .
Cas n pair Cas n impair
ƒn paire
Cn symétrique par rapport
à l’axe des ordonnées
ƒn impaire
Cn symétrique par rapport
à l’origine du repère
 Attention au cas où n  0 : 00
n’est pas défini et, pour tout t  0,
t0  1.
Dans le cas où n  1, ƒ1(t)  t.
ƒ1 est le cas particulier où a  1
et b  0 des fonctions étudiées ci-
dessus au paragraphe 2.
Pour tout nombre réel t,
t–()
ntn si n est pair
tn
– si n est impair.
⎩
⎨
⎧
ƒ'n(t)
ƒn(t)
t0
0
0
O–1–2 1
1
23–3
C4C2
y
t
Fig. 4
ƒn a le même tableau de variation su
r
0,    dans les cas n pair et n
impair. Il n’en est pas de même su
r
 , 0. Pour  , figure une
« limite » dans le tableau :  . Ce
qui traduit le fait que ƒn(t) devien
t
« de plus en plus grand positif »
quand t devient « de plus en plus
grand positif ». La notion de
« limite » est présentée au
paragraphe B. de ce chapitre.
On note Cn la courbe représentative
de ƒn.
ƒn (0)  0 ; donc Cn passe par
l’origine O.
ƒ'
n (0)  0 ; donc Cn a une tangente
horizontale en O.
C2 est une parabole.
ƒ'n(t)
ƒn(t)
t0
0
0
O 1
1
23
C
5
C
3
y
t
Fig. 5
Pour les fonctions polynômes du
second degré définies par
f
(x) = ax2 + bx + c, on peut se
reporter au complément de la page
71.
gnt() 1
tn
----
hnt() 1
tn
----
.
Donc .
.
D’où .
1
tn
----tn–
gn
′t() n–()tn–()1–
tn–()1– tn1+()–1
tn1+
-----------
gn
′t() n–
tn1+
-----------
gn
′t() n
tn1+
-----------
–
hn
′t() n
tn1+
-----------
–

12
COURS
Dans chaque cas les axes des coordonnées sont les asymptotes des courbes Cn
et .
4. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
a. Définition
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la primitive de x  sur
 0,    qui prend la valeur 0 pour t  1.
b. Relation fonctionnelle
Pour tous nombres réels strictement positifs a et b, pour tout nombre entier
relatif n,
Cas n pair Cas n impair
Cn et sont symétriques par rapport à
l’origine du repère.
Cn et sont symétriques par rapport à
l’axe des ordonnées.
O1
1
2
3
4
234
C2
C1
y
t
Fig. 6
g'n(t)
gn(t)
t
0
0 
On note Cn et les courbes
représentatvies de gn et hn.
C1 et sont les deux branches
d’une hyperbole.
+  dans le tableau de variation, à
droite de la double barre, est « une
limite ». Cette notion est introduite
au paragraphe B. De même pour 0
« sous » + .
Cn
′
C1
′
h'n(t)
hn(t)
t
0
0
O
–1
–1
–2
–3
–4
–2–3–4
C'1
t
y
Fig. 7
Pour tout t < 0,
tn + 1 < 0 si n + 1 est impair,
c’est-à-dire si n est pair ;
tn + 1 > 0 si n + 1 est pair,
c’est-à-dire si n est impair.
Aux extrémités des deux flèches,
dans les deux tableaux de variation
ci-contre, figurent des « limites »,
0, – , + . La notion de limite est
introduite au paragraphe B.
Cn
′
h'n(t)
hn(t)
t
0
0
O
1
2
3
4
C'2
t
y
Fig. 8
Cn
′
Cn
′
Pour tout t > 0,
Nous reviendrons sur limites et
asymptotes au paragraphe B.
hnt–() gnt()– si n est impair
gnt() si n est pair.
⎩
⎨
⎧
1
x
---
La notion de primitive figure au
paragraphe D.1. ƒ est une primitive
de F si et seulement si F = ƒ.
Graphiquement, pour tout t > 0, ln
t
est l’aire algébrique coloriée, avec
la convention : cette aire algébrique
est négative si 0 < t < 1.

Chap. 1 : Fonctions d’une variable réelle 13
COURS
ln ab  ln a  ln b ; ln   ln a ; ln  ln a  ln b ;
ln an  n ln a ; ln ln a.
c. Variations. Courbe représentative
La courbe représentative de la fonction ln admet pour asymptote l’axe des
ordonnées.
5. FONCTION EXPONENTIELLE
a. Définition
La fonction exponentielle, notée exp, est la fonction qui, à tout nombre réel t,
associe le nombre strictement positif unique y tel que t  ln y.
exp : t  y  exp t défini par t  ln y.
 →  0,    .
Pour tout nombre réel t, exp t  et.
b. Relation fonctionnelle
Pour tous nombres réels a et b, pour tout nombre entier relatif n,
e a  b  e a  e b ; e a  b  ; e a  ; (e a ) n  e na.
c. Variations. Courbe représentative
Les courbes représentatives des fonctions exp et ln se déduisent l’une de
l’autre par la symétrie orthogonale d’axe la droite d’équation y  t.
Dans le tableau de variation, pour 0
et + , figurent les « limites » –  e
t
+ . La notion de limite est abordée
au paragraphe B, ainsi que celle
d’as
y
m
p
tote.
Oxt
1
1
2
lnt
y
Fig. 9
1
a
---a
b
---
a1
2
---
ln t
t0 
1
0
ln'(t)  1–t
Ote
1
123
y
y = lnt
Fig. 10
ea
eb
-----1
ea
-----
t
0
ƒ'(t)  et
ƒ(t)  et
Ote
e
1
1
y
y = lnt
y = expt
y = t
Fig. 11
Dans le tableau de variation, pour
–  et + , figurent les « limites » 0
et + . La notion de limite est
abordée au paragraphe B.