D1 – Nombre dérivé, tangente et approximations I La notion de

D1 – Nombre dérivé, tangente et approximations
O BJECTIFS
DU CHAPITRE
D1-1 Connaître la définition d’une fonction dérivable en un réel a, le cas échéant, calculer le nombre dérivé
f 0 (a) d’une fonction f en un réel a
D1-2 Faire le lien entre tangente et nombre dérivé. Déterminer une équation de la tangente à Cf au point
d’abscisse a d’une fonction fonction dérivable en a ∈ R.
D1-3 Déterminer une approximation affine locale d’une fonction f au voisinage d’un réel a. Mettre en œuvre
cette approximation et estimer l’erreur d’approximation.
D1-3 Utiliser ces notions dans la résolution de problèmes.
I La notion de nombre dérivé
A Limite réelle d’une fonction en zéro
Exemple de la fonction « vitesse moyenne »
Reprenons l’activité “Chute libre...”. Nous avons considéré la fonction
5(2 + x)2 − 20
x
g : x 7→
définie sur R r {0}. Rappelons que le nombre g(x) représente la vitesse moyenne de la bille entre les instants
2 et 2 + x.
Certes, la quantité g(0) n’existe pas ; cependant, on peut calculer la valeur de g(x) lorsque x est très proche de
0. Il s’agit ici de répondre à la question
“ Que peut-on dire des nombres g(x) lorsque x prend des valeurs arbitrairement voisine de zéro ? ”
Pour répondre à cette question, on peut simplifier l’écriture de g(x) : pour tout x ∈ R r {0}, on a
g(x) =
5(4 + 4x + x2 ) − 20
= 20 + 5x.
x
Donc, lorsque x prend des valeurs de plus en plus voisines de zéro, les nombres 20 + 5x s’accumulent autour
de 20.
Plus précisément, quel que soit l’intervalle I =]20 − α ; 20 + α[ centré en 20, aussi petit que soit α (α > 0), les
nombres 20 + 5x finissent par appartenir à cet intervalle pourvu que x soit suffisamment proche de zéro. On
dit que 20 est la limite de g en zéro et on écrit lim g(x) = 20 .
x→0
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle ou une réunion d’intervalle Df . On suppose que 0 appartient ou
est une borne de Df . Dire que la fonction f a pour limte le nombre `, en zéro, signifie, intuivement, que lorsque
x s’approche de plus en plus de la valeur 0, les nombres f (x) s’accumulent autour du réel `. Plus précisément,
ils finissent par se trouver dans tout intervalle ]` − α; ` + α[, aussi petit que soit α, α > 0 dès lors que x est
suffisamment proche de zéro. On écrit alors
lim f (x) = `.
x→0
B Fonction dérivable en un point. Nombre dérivé.
Activité : “Chute libre...” (approche cinématique de la notion de nombre dérivé)
Définition (Taux de variation – ou taux d’accroissement).
Etant donnée une fonction f définie sur un intervalle Df et a un nombre réel appartenant à Df . A tout réel
h non nul, tel que (a + h) appartient à Df , on peut associer le rapport
t(h) =
f (a + h) − f (a)
.
h
Cette quantité est appelée taux de variation (ou encore taux d’accroissement) de f entre a et (a + h).
Lycée Les Pannevelles – 1S1
Page 1
FBoure - Année 2009/2010
Dans l’activité, nous avons étudié le comportement de la quantité t(h) lorsque h s’approche de zéro. Pour
reprendre le vocabulaire introduit auparavant, il s’agit de répondre à la question
« la fonction t admet-elle une limite en zéro ? »
Définition. Soit f une fonction et a un point de son ensemble de définition. Dire que la fonction f est
dérivable au point a signifie que la fonction
t : h 7→
f (a + h) − f (a)
h
admet une limite réelle ` en zéro. Dans ce cas, cette limite est appelée nombre dérivé de f au point a. On le
note f 0 (a) .
Si f est dérivable en a, on peut écrire
f 0 (a) = lim
h→0
f (a + h) − f (a)
.
h
Exemples. Reprenons l’exemple de la fonction vitesse moyenne g introduite lors de l’activité.
Nous avons vu que
g(2 + h) − g(2)
= 20
lim
h→0
h
donc la fonction g est dérivable en 2 et
g 0 (2) = 20.
La vitesse instantanée du solide à l’instant 2 est de 20 m · s−1 .
Exercice 1 Soit f la fonction inverse définie sur R r {0} par f (x) = x1 .
1) Soit h un réel différent de 0 et −1. Exprimer plus simplement le taux de variation
t(h) =
f (1 + h) − f (1)
.
h
2) Calculer lim t(h).
h→0
3) Justifier que f est dérivable en 1 et précisez son nombre dérivé f 0 (1).
Exercice 2 Soit g la fonction carrée définie sur R par f (x) = x2 . Démontrer que g est dérivable
en tout point a de R et calculer le nombre dérivé g 0 (a) de g au point a.
Exercice 3 Soit k la fonction racine carrée définie sur R+ par k(x) =
dérivable au point 0 ? Justifier.
√
x. La fonction k est-elle
II Nombre dérivé et tangente en un point
y
On considère une fonction f dérivable en un point a
de son domaine de définition. On note Cf sa courbe
représentative dans le plan rapporté à un repère
−
→ −
→
(O; i , j ).
Soit A le point de la courbe Cf de coordonnés (a; f (a))
et M le point de Cf d’abscisse (a + h). Le coefficient
directeur de la sécante (AM ) est donné par
t(h) =
f (a)
f étant dérivable en a, on a
O
f (a + h) − f (a)
= f 0 (a).
h→0
h
Cf
f (a + h) − f (a)
.
h
lim
M
f (a + h)
A
a
x
a+h
T
Interprétons géométriquement cette limite : la droite T qui passe par le point A et qui admet f 0 (a) comme
coefficient directeur, se conçoit comme « la position limite » des sécantes (AM ) lorsque M se rapproche de A.
La droite T correspond à l’idée intuitive de « tangente à une courbe ». Ceci nous conduit à introduire la
Lycée Les Pannevelles – 1S1
Page 2
FBoure - Année 2009/2010
Définition. Cf est la courbe représentative d’une fonction f qui est dérivable au point a. La tangente à Cf
au point A(a; f (a)) est la droite qui passe par A et dont le coefficient directeur est f 0 (a).
Exemples. Déterminons l’équation réduite de la tangente T2 à la courbe représentative C de la
fonction carrée f : x 7→ x2 au point d’abscisse a = 2. On a vu précédemment que la fonction f est
dérivable en tout point a ∈ R et, pour tout a ∈ R, on a f 0 (a) = 2a.
On sait, par définition, que le coefficient directeur m de cette droite vaut
m = f 0 (2) = 2 × 2 = 4.
Ainsi, l’équation réduite de la tangente T2 s’écrit y = 4x + p. Reste à déterminer la valeur de p :
cette tangente passe par le point A(2; f (2)), soit A(2; 4). Donc
4 = 4×2+p
d’où
p = 4 − 8 = −4.
Finalement,
T2 : y = 4x − 4.
Explicitons, plus généralement, l’équation réduite de la tangente Ta à la courbe représentative Cf d’une fonction f dérivable en a :
Proposition. Une équation de la tangente à Cf au point A(a; f (a)) est
y = f 0 (a)(x − a) + f (a).
Démonstration. Cette tangente Ta admet pour coefficient directeur f 0 (a). Par conséquent, son équation réduite s’écrit
y = f 0 (a)x + p où p est un réel qu’il nous faut préciser. Etant donné que A appartient à cette tangente, on a alors
f (a) = f 0 (a) × a + p d’où on tire p = f (a) − af 0 (a). Finalement, l’équation réduite de T s’écrit
y = f 0 (a)x + f (a) − af 0 (a)
soit encore
y = f 0 (a)(x − a) + f (a).
Exercice 4 Déterminer une équation de la tangente au point d’abscisse −1 de la courbe représentative de la fonction carrée f : x 7→ x2 puis tracer cette tangente.
Exercice 5 On considère la fonction cube g : x 7→ x3 .
1) Démontrer que la fonction cube est dérivable en −2 puis calculer le nombre dérivé g 0 (−2)
de g en −2.
2) En déduire une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g en le
point d’abscisse −2.
Exercice 6 On considère la fonction inverse, définie sur ] − ∞; 0[∪]0; +∞[ par h : x 7→
note C sa courbe représentative.
1
x.
On
1) Démontrer que pour chaque réel a 6= 0, la fonction h est dérivable en a et expliciter le
nombre dérivé h0 (a) de h en a.
2) En déduire une équation de la tangente à C au point d’abscisse a.
3) Existe-t-il des tangentes à C qui sont parallèles à la droite d d’équation y = −4x − 1 ?
4) Parmi les tangentes à C , en existe-t-il une qui passe par l’origine O du repère ?
Lycée Les Pannevelles – 1S1
Page 3
FBoure - Année 2009/2010
III Approximation affine locale au voisinage d’un réel
Nous avons vu qu’étant donné une fonction f dérivable en un
point a, alors, l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative Cf de f au point A(a; f (a)) est donnée par
y
M
f (a + h)
y = f 0 (a)(x − a) + f (a).
Géométriquement, la courbe et la tangente sont très proches et
se touchent au point A. Numériquement, on peut déduire l’approximation suivante : lorsque x est suffisamment proche de a,
f 0 (a)(x − a) + f (a) est une approximation de f (x), on peut noter :
f 0 (a)h + f (a)
Cf
f (x) ≈ f 0 (a)(x − a) + f (a).
ou encore, en notant h = x − a l’écart relatif entre x et a, on a
f (a)
P
A
O
x
a+h
a
f (a + h) ≈ f 0 (a)h + f (a).
T
Plus h est proche de zéro, c’est-à-dire plus x est proche de a, plus cette approximation est bonne c’est-à-dire,
l’écart
|f (a + h) − (f 0 (a)h + f (a))|
est proche de 0.
#
Définition. Soit f une fonction dérivable en un réel a. On appelle approximation affine locale de f en a la
fonction affine
T : x 7→ f 0 (a)(x − a) + f (a).
Lorsque h = x − a est proche de 0, on peut faire l’approximation
f (a + h) ≈ f 0 (a)h + f (a).
L’erreur d’approximation est le nombre
e(h) = |f (a + h) − (f 0 (a)h + f (a))| .
L’erreur e(h) tend vers 0 lorsque h tend vers 0.
"
!
Quelques exemples pour comprendre l’utilité de ces approximations affines
1 Déterminons l’approximation affine locale de (1 + h)3 pour h proche de 0 puis prouvons que l’erreur
commise est inférieure à 4h2 lorsque 0 < h < 1.
On considère la fonction cube f : x 7→ x3 . f est dérivable en 1 avec f 0 (1) = 3 × 12 = 3, on a donc
l’approximation affine locale, pour h voisin de 0,
f (1 + h) ≈ f 0 (1)h + f (1)
soit
(1 + h)3 ≈ 1 + 3h.
L’erreur d’approximation e(h) est égale à
e(h) = (1 + h)3 − (1 + 3h) = 1 + 3h2 + 3h + h3 − 1 − 3h = |3h2 + h3 | = |h2 (3 + h)|
si 0 < h < 1, alors 0 < h2 (3 + h) < 4h2 .
Déduire une approximation de 1,043 puis donner une majoration de l’erreur :
1,043 = (1 + 0,04)3 ≈ 1 + 3 × 0,04 ≈ 1,12.
L’erreur est inférieure à 4 × 0,042 = 4 × 0,0016 = 0,0064.
√
2 Déterminons l’approximation affine locale de √1 + h pour h proche de 0.
On considère la fonction racine carrée f : x 7→ x. f est dérivable en 1 avec f 0 (1) =
l’approximation affine locale, pour h voisin de 0,
f (1 + h) ≈ f 0 (1)h + f (1)
Déduisons-en une valeur approchée de
Lycée Les Pannevelles – 1S1
1,52 =
√
1,52 :
1 + 0,52 ≈
soit
= 21 , on a donc
√
1
1 + h ≈ h + 1.
2
1
× 0,52 + 1 d’où
2
Page 4
1
√
2 1
1,52 ≈ 1,26.
FBoure - Année 2009/2010