D1 – Nombre dérivé, tangente et approximations I La notion de

D1 – Nombre dérivé, tangente et approximations
OBJECTIFS DU CHAPITRE
D1-1 Connaître la définition d’une fonction dérivable en un réel a, le cas échéant, calculer le nombre dérivé
f0(a)d’une fonction fen un réel a
D1-2 Faire le lien entre tangente et nombre dérivé. Déterminer une équation de la tangente à Cfau point
d’abscisse ad’une fonction fonction dérivable en a∈R.
D1-3 Déterminer une approximation affine locale d’une fonction fau voisinage d’un réel a. Mettre en œuvre
cette approximation et estimer l’erreur d’approximation.
D1-3 Utiliser ces notions dans la résolution de problèmes.
I La notion de nombre dérivé
A Limite réelle d’une fonction en zéro
Exemple de la fonction « vitesse moyenne »
Reprenons l’activité “Chute libre...”. Nous avons considéré la fonction
g:x7→ 5(2 + x)2−20
x
définie sur R r {0}. Rappelons que le nombre g(x)représente la vitesse moyenne de la bille entre les instants
2et 2 + x.
Certes, la quantité g(0) n’existe pas ; cependant, on peut calculer la valeur de g(x)lorsque xest très proche de
0. Il s’agit ici de répondre à la question
“ Que peut-on dire des nombres g(x) lorsque x prend des valeurs arbitrairement voisine de zéro ? ”
Pour répondre à cette question, on peut simplifier l’écriture de g(x): pour tout x∈R r {0}, on a
g(x) = 5(4 + 4x+x2)−20
x= 20 + 5x.
Donc, lorsque xprend des valeurs de plus en plus voisines de zéro, les nombres 20 + 5xs’accumulent autour
de 20.
Plus précisément, quel que soit l’intervalle I=]20 −α; 20 + α[centré en 20, aussi petit que soit α(α > 0), les
nombres 20 + 5xfinissent par appartenir à cet intervalle pourvu que xsoit suffisamment proche de zéro. On
dit que 20 est la limite de gen zéro et on écrit lim
x→0g(x) = 20 .
Définition
Soit fune fonction définie sur un intervalle ou une réunion d’intervalle Df. On suppose que 0appartient ou
est une borne de Df. Dire que la fonction fa pour limte le nombre `, en zéro, signifie, intuivement, que lorsque
xs’approche de plus en plus de la valeur 0, les nombres f(x)s’accumulent autour du réel `. Plus précisément,
ils finissent par se trouver dans tout intervalle ]`−α;`+α[, aussi petit que soit α,α > 0dès lors que xest
suffisamment proche de zéro. On écrit alors
lim
x→0f(x) = `.
B Fonction dérivable en un point. Nombre dérivé.
Activité : “Chute libre...” (approche cinématique de la notion de nombre dérivé)
Définition (Taux de variation – ou taux d’accroissement).
Etant donnée une fonction fdéfinie sur un intervalle Dfet aun nombre réel appartenant à Df. A tout réel
hnon nul, tel que (a+h)appartient à Df, on peut associer le rapport
t(h) = f(a+h)−f(a)
h.
Cette quantité est appelée taux de variation (ou encore taux d’accroissement) de fentre aet (a+h).
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Dans l’activité, nous avons étudié le comportement de la quantité t(h)lorsque hs’approche de zéro. Pour
reprendre le vocabulaire introduit auparavant, il s’agit de répondre à la question
« la fonction t admet-elle une limite en zéro ? »
Définition.Soit fune fonction et aun point de son ensemble de définition. Dire que la fonction fest
dérivable au point asignifie que la fonction
t:h7→ f(a+h)−f(a)
h
admet une limite réelle `en zéro. Dans ce cas, cette limite est appelée nombre dérivé de fau point a. On le
note f0(a).
Si fest dérivable en a, on peut écrire
f0(a) = lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h.
Exemples.Reprenons l’exemple de la fonction vitesse moyenne gintroduite lors de l’activité.
Nous avons vu que
lim
h→0
g(2 + h)−g(2)
h= 20
donc la fonction gest dérivable en 2et
g0(2) = 20.
La vitesse instantanée du solide à l’instant 2est de 20 m·s−1.
Exercice 1 Soit fla fonction inverse définie sur R r {0}par f(x) = 1
x.
1) Soit hun réel différent de 0et −1. Exprimer plus simplement le taux de variation
t(h) = f(1 + h)−f(1)
h.
2) Calculer lim
h→0t(h).
3) Justifier que fest dérivable en 1et précisez son nombre dérivé f0(1).
Exercice 2 Soit gla fonction carrée définie sur Rpar f(x) = x2. Démontrer que gest dérivable
en tout point ade Ret calculer le nombre dérivé g0(a)de gau point a.
Exercice 3 Soit kla fonction racine carrée définie sur R+par k(x) = √x. La fonction kest-elle
dérivable au point 0? Justifier.
II Nombre dérivé et tangente en un point
On considère une fonction fdérivable en un point a
de son domaine de définition. On note Cfsa courbe
représentative dans le plan rapporté à un repère
(O;−→ i , −→ j).
Soit Ale point de la courbe Cfde coordonnés (a;f(a))
et Mle point de Cfd’abscisse (a+h). Le coefficient
directeur de la sécante (AM)est donné par
t(h) = f(a+h)−f(a)
h.
fétant dérivable en a, on a
lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h=f0(a).
x
y
O
Cf
T
A
M
aa+h
f(a)
f(a+h)
Interprétons géométriquement cette limite : la droite Tqui passe par le point Aet qui admet f0(a)comme
coefficient directeur, se conçoit comme « la position limite » des sécantes (AM )lorsque Mse rapproche de A.
La droite Tcorrespond à l’idée intuitive de « tangente à une courbe ». Ceci nous conduit à introduire la
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Définition.Cfest la courbe représentative d’une fonction fqui est dérivable au point a. La tangente à Cf
au point A(a;f(a)) est la droite qui passe par Aet dont le coefficient directeur est f0(a).
Exemples.Déterminons l’équation réduite de la tangente T2à la courbe représentative Cde la
fonction carrée f:x7→ x2au point d’abscisse a= 2. On a vu précédemment que la fonction fest
dérivable en tout point a∈Ret, pour tout a∈R, on a f0(a) = 2a.
On sait, par définition, que le coefficient directeur mde cette droite vaut
m=f0(2) = 2 ×2 = 4.
Ainsi, l’équation réduite de la tangente T2s’écrit y= 4x+p. Reste à déterminer la valeur de p:
cette tangente passe par le point A(2; f(2)), soit A(2; 4). Donc
4 = 4 ×2 + pd’où p= 4 −8 = −4.
Finalement,
T2:y= 4x−4.
Explicitons, plus généralement, l’équation réduite de la tangente Taà la courbe représentative Cfd’une fonc-
tion fdérivable en a:
Proposition.Une équation de la tangente à Cfau point A(a;f(a)) est
y=f0(a)(x−a) + f(a).
Démonstration. Cette tangente Taadmet pour coefficient directeur f0(a). Par conséquent, son équation réduite s’écrit
y=f0(a)x+poù pest un réel qu’il nous faut préciser. Etant donné que Aappartient à cette tangente, on a alors
f(a) = f0(a)×a+pd’où on tire p=f(a)−af0(a). Finalement, l’équation réduite de Ts’écrit
y=f0(a)x+f(a)−af0(a)soit encore y=f0(a)(x−a) + f(a).
Exercice 4 Déterminer une équation de la tangente au point d’abscisse −1de la courbe repré-
sentative de la fonction carrée f:x7→ x2puis tracer cette tangente.
Exercice 5 On considère la fonction cube g:x7→ x3.
1) Démontrer que la fonction cube est dérivable en −2puis calculer le nombre dérivé g0(−2)
de gen −2.
2) En déduire une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction gen le
point d’abscisse −2.
Exercice 6 On considère la fonction inverse, définie sur ]− ∞; 0[∪]0; +∞[par h:x7→ 1
x. On
note Csa courbe représentative.
1) Démontrer que pour chaque réel a6= 0, la fonction hest dérivable en aet expliciter le
nombre dérivé h0(a)de hen a.
2) En déduire une équation de la tangente à Cau point d’abscisse a.
3) Existe-t-il des tangentes à Cqui sont parallèles à la droite dd’équation y=−4x−1?
4) Parmi les tangentes à C, en existe-t-il une qui passe par l’origine Odu repère ?
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III Approximation affine locale au voisinage d’un réel
Nous avons vu qu’étant donné une fonction fdérivable en un
point a, alors, l’équation réduite de la tangente à la courbe repré-
sentative Cfde fau point A(a;f(a)) est donnée par
y=f0(a)(x−a) + f(a).
Géométriquement, la courbe et la tangente sont très proches et
se touchent au point A. Numériquement, on peut déduire l’ap-
proximation suivante : lorsque xest suffisamment proche de a,
f0(a)(x−a) + f(a)est une approximation de f(x), on peut noter :
f(x)≈f0(a)(x−a) + f(a).
ou encore, en notant h=x−al’écart relatif entre xet a, on a
f(a+h)≈f0(a)h+f(a).
x
y
O
Cf
T
A
M
P
aa+h
f(a)
f(a+h)
f0(a)h+f(a)
Plus hest proche de zéro, c’est-à-dire plus xest proche de a, plus cette approximation est bonne c’est-à-dire,
l’écart
|f(a+h)−(f0(a)h+f(a))|
est proche de 0.
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Définition.Soit fune fonction dérivable en un réel a. On appelle approximation affine locale de fen ala
fonction affine
T:x7→ f0(a)(x−a) + f(a).
Lorsque h=x−aest proche de 0, on peut faire l’approximation
f(a+h)≈f0(a)h+f(a).
L’erreur d’approximation est le nombre
e(h) = |f(a+h)−(f0(a)h+f(a))|.
L’erreur e(h)tend vers 0lorsque htend vers 0.
Quelques exemples pour comprendre l’utilité de ces approximations affines
1Déterminons l’approximation affine locale de (1 + h)3pour hproche de 0puis prouvons que l’erreur
commise est inférieure à 4h2lorsque 0< h < 1.
On considère la fonction cube f:x7→ x3.fest dérivable en 1avec f0(1) = 3 ×12= 3, on a donc
l’approximation affine locale, pour hvoisin de 0,
f(1 + h)≈f0(1)h+f(1) soit (1 + h)3≈1 + 3h.
L’erreur d’approximation e(h)est égale à
e(h) = (1 + h)3−(1 + 3h) = 1 + 3h2+ 3h+h3−1−3h=|3h2+h3|=|h2(3 + h)|
si 0< h < 1, alors 0< h2(3 + h)<4h2.
Déduire une approximation de 1,043puis donner une majoration de l’erreur :
1,043= (1 + 0,04)3≈1 + 3 ×0,04 ≈1,12.
L’erreur est inférieure à 4×0,042= 4 ×0,0016 = 0,0064.
2Déterminons l’approximation affine locale de √1 + hpour hproche de 0.
On considère la fonction racine carrée f:x7→ √x.fest dérivable en 1avec f0(1) = 1
2√1=1
2, on a donc
l’approximation affine locale, pour hvoisin de 0,
f(1 + h)≈f0(1)h+f(1) soit √1 + h≈1
2h+ 1.
Déduisons-en une valeur approchée de √1,52 :
1,52 = 1 + 0,52 ≈1
2×0,52 + 1 d’où 1,52 ≈1,26.
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