MPSI Colle 13 (4 au 8 janvier 2016) : Groupes, anneaux et corps

MPSI Colle 13 (4 au 8 janvier 2016) : Groupes, anneaux et corps
Chapitre 11
:
1 - Groupes
Groupes, anneaux et corps
Exemples : 1) L'addition (ou la multiplication) des entiers, des rationnels, des
réels, des complexes, des polynômes à coecients réels ou complexes, des fonc-
Dénition : soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne (ℓci)
dans E une application φ : E × E −→ E .
Notation : si φ est une loi de composition interne dans E , alors nous conviendrons
de noter
x∗y
φ (x, y).
l'image
Exemples : 1) l'addition (ou la multiplication) des entiers, des rationnels, des réels,
des complexes, des polynômes à coecients réels ou complexes, des fonctions contiou des suites réelles est une ℓci dans Z, dans
K[X], dans C 0 (R, R) ou dans RN respectivement.
nues sur
R,
1-bis) La multiplication est une
ℓci
dans
R∗+ ;
n
un entier naturel, on note
Kn [X]
Q,
dans
R,
dans
C,
dans
ℓci
dans
ou des suites réelles est une
2) L'union (ou l'intersection) de deux parties de
commutative.
est une
ℓci
(dans
Kn [X] est une ℓci commutative.
ℓci commutative.
3) L'addition des polynômes dans
tion des polynômes dans
K[X]
P(E))
com-
5) Soit
E
La multiplica-
est une
4) L'addition des matrices dans M2
(R)
est une
ℓci
commutative.
un ensemble. La composition usuelle des applications est une
EE .
ℓci
NON-
commutative sur
SI que :
R3 )
→
−
−
→
−
→
−
→
v ∧ u = − ( u ∧ v )).
est une
ℓci
7) La multiplication des matrices dans M2
l'ensemble des polynômes de degré
E
ℓci
mutative.
6) Le produit vectoriel (dans
R∗− .
P(E).
mais pas dans
2) L'union (ou l'intersection) donne lieu à une
3) Pour
R,
tions continues sur
1.1 - Lois de composition internes
exemple :
(
)
(
)
(
)
NON-commutative (vous avez vu en
(R)
(
est une
)
ℓci
(
NON-commutative. Par
)
(
)
ℓci dans Kn [X] (le degré d'une
somme de polynômes de Kn [X] étant au plus égal à n). Mais pas la multiplication :
X 2 et X sont dans K2 [X], pas X 3 !
E
4) Soit E un ensemble. La composition usuelle des applications est une ℓci sur E .
3
5) (SI) Dans R , le produit vectoriel est une ℓci (le produit vectoriel de deux
1.2 - Elément neutre
vecteurs étant un vecteur). Mais le produit scalaire n'en est pas une (le produit
Propriété (unicité de l'élément neutre) : soit (E, ∗) un ensemble muni d'une
inférieur ou égal à
n.
L'addition donne lieu à une
scalaire de deux vecteurs étant un nombre réel).
6) Une
matrice carrée de taille
2 à)coecients réels est un tableau de réels
(
à 2 lignes et 2 colonnes :
2
est noté M2
(R).
a b
c d
A=
. L'ensemble des matrices carrées de taille
Pour deux éléments
(
A=
a b
c d
)
et
A′ =
(
′
a
c′
b
d′
on dénit l'addition et la multiplication en posant :
(
)
aa′ + bc′ ab′ + bd′
A+A =
et
A×A =
ca′ + dc′ cb′ + dd′
L'addition et la multiplication donnent encore lieu à des ℓci dans M2 (R).
Dénition : soit E un ensemble, muni d'une ℓci notée ∗. ∗ est une ℓci associative
3
si : ∀ (x, y, z) ∈ E , (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).
Exemples : 1) Toutes les ℓci précédemment évoquées sont associatives.
∗
y
2) On peut dénir une ℓci sur R+ en posant : x ∗ y = x . On peut alors observer
( 2 )3
3
que 2
= 64 tandis que 2(2 ) = 256. On a donc (au moins sur cet exemple)
′
a + a′
c + c′
b + b′
d + d′
)
(
×
si :
une
ℓci
commu-
0
1
=
0 1
0 0
et :
2
0
0
1
×
0
0
1
0
=
0
0
2
0
ℓci.
∀ y ∈ E, x ∗ y = y ∗ x.
Si
∗
admet un élement neutre, alors celui-ci est unique.
Notation : on notera e l'élément neutre.
Exemples : 1) Dans
0
Z, D, Q, R, C le neutre pour l'addition (resp.
la multiplication)
(resp. 1).
2) Dans
P(E),
3) Dans
K[X],
4) Dans
C (R, R),
le neutre pour l'union (resp. l'intersection) est
∅
le neutre pour l'addition est le polynôme nul, noté
1
′
(x ∗ y) ∗ z ̸= x ∗ (y ∗ z) ; la ℓci ∗ n'est donc pas associative.
Dénition : soit E un ensemble, muni d'une ℓci notée ∗. ∗ est
tative si : ∀ (x, y) ∈ E 2 , x ∗ y = y ∗ x.
2
0
Dénition : soit (E, ∗) un ensemble muni d'une ℓci. Un élément x de E est neutre
est
)
′
0 1
0 0
E ).
0K[X] ou e
0.
(resp.
le neutre pour l'addition est la fonction identiquement nulle.
(R), le neutre pour l'addition est la matrice nulle 0M2 (R) =
(
)
1 0
pour la multiplication est la matrice I2 =
.
0 1
5) Dans M2
Le neutre
6) Dans
RN ,
7) Dans
R
3
(
0
0
0
0
)
.
le neutre pour l'addition est la suite nulle.
, il n'existe pas d'élément neutre pour le produit vectoriel.
1.3 - Eléments inversibles
Dénition
: soit
(E, ∗)
existe un élément
y
de
E
ℓci, pour laquelle il existe
E est dit inversible (ou symétrisable)
x ∗ y = e ET y ∗ x = e.
un ensemble muni d'une
élément neutre e. Un élément
x
de
tel que :
un
s'il
Groupes, anneaux et corps
2
Propriété (unicité de l'inverse)
précédente. Si
x
: mêmes hypothèses que dans la dénition
y
est inversible, alors l'élément
tel que
x∗ y = e
ET
y∗ x = e
est
unique.
Dénition : lorsqu'il existe, cet unique
métrique) de x, et il est noté x−1 .
inverse
élément est appelé l'
(ou le
sy-
Z, l'inverse de n pour l'addition est son opposé −n. Il en serait
D, Q, R ou C (toujours pour la somme).
Exemples : 1) Dans
de même dans
2) Dans
R,
tout réel non nul est inversible pour la multiplication. Il n'en est pas
de même dans
Z
2
: par exemple
n'est pas inversible pour la multiplication.
K[X], tout polynôme est inversible pour l'addition, et a pour inverse −P .
X n'est pas inversible pour la multiplication dans K[X] (de fait, seuls
3) Dans
En revanche,
les polynômes constants non nuls le sont).
4) Dans
RN ,
l'inverse d'une suite
u
pour l'addition est son opposée
−u
EE ,
f
une application
est inversible pour la composition SSI elle est
bijective.
(
6) Dans M2
opposée :
(R),
−A =
l'inverse d'une matrice
(
−a
−c
−b
−d
A =
)
. En outre,
A
(
A−1 =
d
ad−bc
c
− ad−bc
a
ad−bc
P(E), une partie A n'a en général
A = E ), ni pour l'union (sauf si A = ∅).
7) Dans
si
)
Dans ce cas, son inverse est :
=
1
ad − bc
Si de plus la
(
−b
a
d
−c
)
x et y sont deux éléments
−1
(x ∗ y) = y −1 ∗ x−1
tout s'assurer que
2) Si
x
est un élément inversible de
E,
alors
x−1
alors
x∗ y
( −1 )−1
x
= x.
E E muni de la composition, la propriété précédente
a déjà été vue cette année : si f et g sont deux bijections (de E dans E ), alors
−1
f ◦ g est une bijection est (f ◦ g) = g −1 ◦ f −1 .
et
B
est une
ℓci.
3)
(Z, −)
4)
(N, +) n'est pas un groupe. Dans N, l'addition est une ℓci, associative, commutative, avec un élément neutre (0) ; mais un entier naturel n'est pas inversible
(sauf s'il est nul) dans N.
5)
(Z, ×)
6)
est un groupe non abélien.
n'est pas un groupe.
(
)
(
)
(K[X], +), (Kn [X], +), KN , + , (M2 (R) , +), C 0 (R, R) , +
sont des groupes
est encore
(U, ×)
est un groupe abélien. Et pour tout entier naturel
n > 2, (Un , ×)
est un
groupe abélien.
9)
( E )
E , ◦ n'est pas un groupe (toute application de E dans E n'est pas bijective).
En revanche, l'ensemble des bijections de E dans E (également appelées permutations de E ), noté σE , est un groupe (non abélien) pour la composition.
(S + , ◦) est un groupe (S +
désignant l'ensemble des similitudes directes du plan
complexe, cf programme de colle 4) non abélien.
10)
(
)
(K[X], ×), (Kn [X], ×), KN , ×
11)
(M2 (R) , ×) n'est pas un groupe (nous avons déjà vu que toute matrice n'est pas
ne sont pas des groupes.
inversible pour la multiplication). L'ensemble des matrices inversibles (celles de
déterminant non nul, voir supra) est noté GL2
groupe (appelé
2) A retenir pour plus tard : dans le cadre des matrices, cette propriété signie que
A
∗
2)
7)
Remarques : 1) Dans le cas de
le produit de deux matrices inversibles (pour la multiplication)
−1
inversible, et que (A × B)
= B −1 × A−1 .
groupe abélien.
est un
(G, ∗) est un groupe, il s'agit de vérier
abéliens.
est inversible et
est inversible et
est un
(Z, +), (D, +), (Q, +), (R, +), (C, +) sont des groupes abéliens.
(
)
(Q∗ , ×), (R∗ , ×), R∗+ , × , (C∗ , ×) sont des groupes abéliens.
8)
E,
(G, ∗)
(G, ∗)
Exemples :
pas d'inverse pour l'intersection (sauf
inversibles de
est commutative, on dit que
dit que
4 conditions. En eet, avant de passer en revue (G1), (G2) et (G3), il faut avant
Propriétés (de l'inverse) : mêmes hypothèses que dans la propriété précédente.
1) Si
ℓci ∗
Remarque : pour montrer en pratique que
pour l'addition est son
est inversible pour la multiplication
− bc ̸= 0).
)
b
− ad−bc
SSI son déterminant est non nul (ad
a b
c d
Dénition : soit (G, ∗) un ensemble muni d'une ℓci. On
groupe si :
ä (G1) la ℓci ∗ est associative ;
ä (G2) la ℓci ∗ admet un élément neutre (noté eG ou e) ;
ä (G3) tout élément g de G est inversible (pour ∗).
1)
(et son
inverse pour la multiplication existe SSI tous ses termes sont non nuls).
5) Dans
1.4 - Groupes
12)
(P(E), ∩)
groupe linéaire) non abélien.
n'est pas un groupe, sauf si
élément). Idem pour
(P(E), ∪).
E=∅
(R).
Alors
(GL2 (R) , ×)
est un
(auquel cas on a un groupe à un
Groupes, anneaux et corps
3
13) Tout groupe ni à 1, 2, 3 ou 4 éléments est abélien.
été rencontré récemment, lors de l'immarcescible preuve du théorème donnant
14) (SI)
le terme général d'une SRL2. Au cours de celle-ci, nous avions étudié une applica2
tion φ : R −→ E où E désignait l'ensemble des suites u satisfaisant une relation
( 3 )
R , ∧ où ∧ désigne le produit vectoriel
( n'est
)pas un groupe (il n'y a déjà
3
pas d'élément neutre !). Joujou 1 : on dit que R , ∧ est un magma (ensemble
muni d'une ℓci).
15) Joujou 2 : le groupe du Rubik's Cube est un groupe de cardinal
càd qu'il contient
43 252 003 274 489 856 000
8!×37×12!×210,
éléments.
Dénition : soit (G, ∗) un groupe. Un sous-groupe de G est un groupe (H, ∗),
H
est une partie de
G.
Caractérisation des sous-groupes : soit (G, ∗) un groupe. (H, ∗) est un sousgroupe de
ä
ä
ä
ä
G
si :
−1
(Z, +)
est un sous-groupe de
(R, +)
∈ H
x
y
) ( ′ ))
((
) ( ′ ))
((
))
((
))
x
x
x
x
x
2
2
,
∈
R
×
R
,
φ
+
=
φ
+φ
y′
y
y′
y
y
A ce titre,
φ
est donc un morphisme de groupes de
(
R2 , +
)
n ∈ N, (Kn [X], +)
(D, +)
qui est un sous-groupe de
est un sous-groupe de
> 2, (Un , ×)
(Q, +)
particuliers de morphismes de groupes.
: soit
f : (G, ∗) −→ (H, ♭)
par
f
noyau de
f,
càd
f , noté ker f la partie de G constituée
ker f = {g ∈ G / f (g) = eH }. ker f est un
est injective SSI
des antécédents de eH
sous-groupe de
(K[X], +).
(U, ×)
qui est
Remarque : en revanche, un sous-groupe d'un groupe non abélien n'est pas néces-
(GL2 (R) , ×).
est surjective SSI im
im
f = f (G) =
f =H
Remarque : l'étude des morphismes de groupes est hors-programme. Mais nous
néaire.
Propriété : tout sous-groupe d'un groupe abélien est lui-même abélien.
groupe non-abélien
f
G.
ker f = {eG }
image de f , notée im f est l'image directe de G par f , càd
{h ∈ H / ∃ g ∈ G, f (g) = h}. im f est un sous-groupe de H .
5)
(SL2 (R) , ×) est un sous-groupe de (GL2 (R) , ×) (où SL2 (R) désigne l'ensemble
des matrices de M2 (R) de déterminant 1) ; il est appelé groupe spécial li-
sairement non abélien. Par exemple :
un
f (eG ) = eH
2) Le
qui est
(C, +).
est un sous-groupe de
(E, +).
dans
Plus tard (et plus généralement), les applications linéaires constitueront des cas
3)
qui est un sous-groupe de
3) Pour tout entier naturel n
∗
un sous-groupe de (C , ×).
4)
∀
4) L'
un sous-groupe de
2) Pour
un point-clef )
1)
Exemples :
1)
avions établi (c'était
morphisme de groupes.
Remarque : les deux dernières conditions peuvent être synthétisées en une seule,
∀ (h, h′ ) ∈ H 2 , h ∗ h′
= aun+1 + bun ; cette application associait
E telle que u0 = x et u1 = y . Nous
que φ était linéaire, vériant en particulier :
l'unique suite de
Propriétés (des morphismes de groupes)
(SG1) H ⊂ G
(SG2) e ∈ H
(SG3) ∀ (h, h′ ) ∈ H 2 , h ∗ h′ ∈ H (H est stable pour ∗)
(SG4) ∀ h ∈ H, h−1 ∈ H (H est stable par passage à l'inverse)
que voici
à un couple de réels
(x, y)
((
1.5 - Sous-groupes
où
du type un+2
({I2 , −I2 } , ×) est un sous-groupe abélien du
2 - Morphismes de groupes (HP)
Dénition : soient (G, ∗) et (H, ♭) deux groupes. Un morphisme de groupes
f : G −→ H telle que :
∀ (g, h) ∈ G × H, f (g ∗ h) = f (g) ♭f (h)
est une application
Un morphisme de groupes est donc dans un certain sens une application compatible avec les lois de groupes au départ et à l'arrivée. Ce concept a déjà
verrons au second semestre que les propriétés ci-dessus restent valables si l'on remplace sous-groupe par sous-espace vectoriel (qui est une structure plus riche).
Et celles-ci seront très très très au programme (de cette année et de la suivante) !
3 - Anneaux et sous-anneaux
3.1 - Présentation des anneaux
Dénition : un anneau (A, +, ×) est un ensemble A muni de deux ℓci associatives
telles que :
1)
(A, +)
2)
∃ 1A ∈ A, ∀ a ∈ A, 1A × a = a × 1A = a (1A
3)
∀ a ∈ A, 0A × a = a × 0A = a (0A
4)
∀ (a, b, c) ∈ A , a × (b + c) = a × b + a × c
+).
est un groupe abélien (de neutre
3
De plus, l'anneau
(A, +, ×)
est dit
0A ) ;
élément
neutre pour la multiplication) ;
absorbant) ;
(distributivité de
commutatif
si la loi
×
×
par rapport à
est commutative.
Groupes, anneaux et corps
4
Exemples :
1)
Exemples :
(Z, +, ×), (D, +, ×), (Q, +, ×), (R, +, ×)
et
(C, +, ×)
sont des anneaux com-
3)
4)
5)
(
)
C 1 (R, R) , +, × est un anneau commutatif : l'anneau des fonctions
C 1 sur R et à valeurs réelles.
( N
)
R , +, × est un anneau commutatif : l'anneau des suites réelles.
(K[X], +, ×)
dans K.
qu'ici la règle : un produit de facteurs est nul SSI l'un au moins de ses facteurs
de classe
est nul).
3)
est un anneau commutatif : l'anneau des polynômes à coecients
(M2 (R) , +, ×)
est un anneau NON commutatif : celui des matrices carrées de
ne peut en revanche pas parler de l'anneau des polynômes de degré infé-
rieur ou égal à
n
(pourquoi ?), de l'anneau des suites divergentes (pourquoi ?),
de l'anneau des fonctions majorées par 2 (pourquoi ?), de l'anneau des matrices
inversibles (pourquoi ?).
4)
(
Dénition
: un anneau
(A, +, ×)
neaux intègres.
2) Les anneaux
(
RN , +, ×
) (
,
RR , +, ×
(
Remarque : en général, dans un anneau :
Propriété (factorisation de
que
a × b = b × a. On a :
an − bn )
∀ n ∈ N∗ , an −bn = (a − b)×
Corollaire (factorisation de
1A −
2
: soient
n−1
∑
a
et
b
deux éléments de
ak ×bn−1−k = (a − b)×
k=0
an : soit
n
∑
)
k=0
n−1
∑
A, tels
bk ×an−1−k
k=0
a
un élément de
A.
On a :
ak
)
Dénition : soit (A, +, ×) un anneau. On appelle diviseur de zéro un élément
A
tel que :
1)
a ̸= 0A
2)
∃ b ∈ A, b ̸= 0A , a × b = 0A
,
C 0 (R, R) , +, ×
Z
, +, ×
3Z
)
,
(M2 (R) , +, ×) ne sont
)
est un anneau intègre. En revanche,
ne l'est pas, puisque chacun sait que
2̄ × 3̄ = 0̄.
Dénition : soit (A, +, ×) un anneau. On appelle élément nilpotent un élément
a
de
A
tel que :
1)
a ̸= 0A
2)
∃ n ∈ N, an = 0A
Propriété : si (A, +, ×) est un anneau intègre, alors il ne contient aucun élément
nilpotent.
De fait, cette notion d'élément nilpotent interviendra essentiellement en algèbre
linéaire, lorsque nous étudierons plus spéciquement les matrices (entre autres).

Exemple : dans M3
3.2 - Diviseurs de zéro
de
Z
, +, ×
6Z
)
) (
sont des an-
3.3 - Parenthèse : éléments nilpotents
3
Application : 1 − X
= (1 − X) 1 + X + X 2 . Ainsi les racines du polynôme
2
X + X + 1 sont j et j̄ (cette remarque étant faite sans aucune arrière-pensée. . . ).
a
(
(a + b) = a2 + a × b + b × a + b2 .
∀ n ∈ N, 1 − an+1 = (1 − a) ×
(
3) Ne le répétez à personne mais
k=0
s'il ne contient aucun diviseur de
(Z, +, ×), (D, +, ×), (Q, +, ×), (R, +, ×), (C, +, ×), (K[X], +, ×)
n
k=0
intègre
Exemples :
pas intègres.
n ( )
n ( )
∑
∑
n k
n k
n−k
∀ n ∈ N, (a + b) =
a ×b
=
b × an−k
k
k
est
zéro.
1)
Propriété (binôme de Newton) : soient a et b deux éléments de A, tels que
a×b = b×a(on dit que a et b commutent ou sont deux éléments commutants).
On a :
)
n
RN , +, × , la suite de terme général 1 + (−1) est un diviseur de zéro.
( R
)
( 0
)
Dans R , +, × , la fonction 1Q est un diviseur de zéro. Dans C (R, R) , +, × ,
la fonction 1[0;π] × sin est un diviseur de zéro (puisqu'elle n'est pas nulle, et
(
) (
)
que 1[0;π] × sin × 1[π;2π] × sin est identiquement nulle).
(
)
0 1
Dans (M2 (R) , +, ×), la matrice A =
est un diviseur de zéro.
0 0
2) Dans
taille 2 à coecients réels.
6) On
il
n'existe pas de diviseur de zéro (c'est pourquoi vous avez pu appliquer jus-
mutatifs.
2)
(Z, +, ×), (D, +, ×), (Q, +, ×), (R, +, ×), (C, +, ×), (K[X], +, ×)
1) Dans
A ̸= 0M3 (R) ,
mais
(R),
la matrice
A3 = 0M3 (R) .
0
A =  0
0
1
0
0

2
3 
0
est nilpotente. En eet,
Propriétés (des éléments nilpotents) : si x et y sont nilpotents, et commutent,
alors
(x + y)
et
(x × y)
sont nilpotents.
Groupes, anneaux et corps
5
3.4 - Sous-anneaux
Dénition : un sous-anneau d'un anneau (A, +, ×) est un anneau (A′ , +, ×) où
A′
désigne une partie de
A.
Propriété (caractérisation des sous-anneaux).
(A′ , +, ×)
ä (SA1)
ä (SA2)
ä (SA3)
ä (SA4)
ä (SA5)
ä (SA6)
est un sous-anneau de A si
A′ ⊂ A
0A ∈ A′
2
∀ (a, b) ∈ A′ , a + b ∈ A′
′
∀ a ∈ A , (−a) ∈ A′
1A ∈ A′
2
∀ (a, b) ∈ A′ , a × b ∈ A′
Soit
(A, +, ×)
un anneau ;
:
7)
Z [i] = {±1; ±i} ;
(C[X], +, ×).
dense dans
C).
6) L'anneau
(C, +, ×) (vous vous souvenez sans
noté Q + iQ ; pour mémoire, c'est une
est un sous-anneau de
que c'est l'ensemble que nous avions
doute
partie
des matrices carrées de taille 2 à coecients réels
est un sous-anneau de l'anneau
(M2 (C) , +, ×)
des matrices carrées de taille 2 à
mutatif est lui-même commutatif.
Propriété (qui ne mange pas de pain, bis). Tout sous-anneau d'un anneau
1)
(A, +, ×)
est un
corps
si
A∗ = A\ {0A }.
Il
R
est un corps (le corps des réels) ;
C
est un corps (le corps des complexes) ;
Q
est un corps (le corps des rationnels).
2) L'anneau des entiers
Z
n'est pas un corps.
3) L'anneau des entiers de Gauss
4)
Q [i]
et
[√ ]
Q 2
Z [i]
n'est pas un corps.
sont des corps.
5) L'anneau
K[X]
6) L'anneau
C 0 (R, R)
7) L'anneau
des polynômes à coecients dans
des fonctions continues sur
R
K
n'est pas un corps.
et à valeurs réelles n'est pas
A
A.
Alors :
(A∗ , ×)
nul). On note
A
l'ensemble des élé-
est un groupe. Moreover, c'est un groupe
est commutatif.
ainsi
∗
Z ( Z\ {0}
Z
nZ
Dénition.
∗
(A′ , +, ×)
(R)
de
est un corps SSI
Soit
A
n'est pas un corps (car il n'est même pas com-
(A, +, ×)
n
Z
3Z
est un corps. Plus générale-
est un nombre premier.
un corps. Un
sous-corps
de
A
est un sous-anneau
qui est un corps.
Exemples :
1)
Q est un sous-corps de Q
de C.
2)
Q [i]
Q∗ = Q\ {0} ; R∗ = R\ {0} ; C∗ = C\ {0}.
Z = {1, −1} ;
des suites complexes n'est pas un corps.
9) Encore une fois, ne le répétez à personne mais
ment,
4 - Corps et sous-corps
Propriété : soit (A, +, ×) un anneau (non
ments inversibles de
CN
mutatif !).
intègre est lui-même intègre.
2)
Un anneau commutatif
Exemples : grâce aux exemples précédents, on peut armer que :
Propriété (qui ne mange pas de pain). Tout sous-anneau d'un anneau com-
∗
Z [i] ( Z[i]\ {0}
8) L'anneau de matrices M2
coecients complexes.
Exemples : 1)
ainsi
un corps.
(M2 (R) , +, ×)
abélien dès que
∗
Enfonçons une porte ouverte : un corps est en particulier un anneau intègre.
anneau des entiers de Gauss (Z[i], +, ×) est un sous-anneau de (C, +, ×).
(Q[i], +, ×)
∗
élément non nul est inversible.
4) L'
5)
(R) = GL2 (R) ;
revient au même dire qu'un corps est un anneau commutatif (non nul) où tout
(Z, +, ×) est un sous-anneau de (D, +, ×) qui est un sous-anneau de
(Q, +, ×) qui est un sous-anneau de (R, +, ×) qui est un sous-anneau de (C, +, ×).
( N
)
( N
)
2) R , +, × est un sous-anneau de C , +, × .
est un sous-anneau de
∗
6)
Exemples : 1)
(R[X], +, ×)
∗
ainsi M2 (R) ( M2 (R) \ {0}
√
[√ ]∗
Q [i] = Q[i]\ {0} ; Q 2 = Q[ 2]\ {0}.
5) M2
Dénition.
Remarque : le lecteur attentif aura reconnu que les quatre premières conditions
′
signient que (A , +) est un sous-groupe (abélien) du groupe (abélien) (A, +).
3)
∗
K[X]∗ = K∗ ; ainsi K[X] ( K[X]\ {0}
( 0
)∗
4) C (R, R)
est l'ensemble des fonctions continues sur R qui ne s'annulent pas.
( 0
)∗ ( 0
)
Ainsi : C (R, R)
( C (R, R) \ {0}
3)
est un sous-corps de
[√ ]
2 qui est un sous-corps de R qui est un sous-corps
C.
Groupes, anneaux et corps
6
Et maintenant, testez-vous !
c/
A l'issue de ce très long (surtout très détaillé) programme de colle, vous devez
pouvoir répondre sans coup férir aux rapides questions suivantes, qui vous per-
d/
mettront de savoir si vous avez retenu les principaux mécanismes relatifs aux
e/
groupes, anneaux et corps.
NB : une ou plusieurs questions pourront vous être posées rapidement en début
f/
de colle.
g/
A propos des groupes
1/
2/
3/
4/
5/
6/
7/
8/
9/
10/
Citer de mémoire 4 exemples de groupes : deux abéliens et deux non
abéliens.
Le produit scalaire est une ℓci sur R2 . Oui Non
(R, −) est un groupe. Oui Non
(
)
Si E est un ensemble non vide, E E , ◦ est un groupe. Oui Non
Si E et F sont deux ensembles non vides, l'ensemble des bijections
de E dans F est un groupe pour la composition. Oui Non
L'ensemble des similitudes directes, muni de la composition, est un
groupe abélien. Oui Non
L'ensemble des rotations de centre O, muni de la composition, est
un groupe abélien. Oui Non
L'ensemble des homothéties, muni de la composition, est un groupe.
Oui Non
12/
13/
14/
h/
15/
est un groupe. Oui Non
Tout sous-groupe de GL2 (R) est non abélien. Oui Non
(Kn [X], +)
Citer de mémoire 6 exemples d'anneaux, dont au moins un non commutatif, et au moins deux non intègres.
(N, +, ×) est un anneau. Oui Non
( ∗
)
R+ , +, × est un anneau. Oui Non
Les( sous-ensembles
de RN suivants constituent-ils des sous-anneaux
)
N
de R , +, × ?
a/ L'ensemble des suites de limite
0.
Oui Non
1.
Les( sous-ensembles
de RR suivants constituent-ils des sous-anneaux
)
R
de R , +, × ? L'ensemble. . .
Oui Non
. . . des fonctions continues et tendant vers +∞ en +∞. Oui Non
1
. . . des fonctions de classe C sur R. Oui Non
. . . des combinaisons linéaires de cos et de de sin ( f = λ cos +µ sin). Oui Non
. . . des fonctions continues et 2π -périodiques. Oui Non
a/ . . . des fonctions continues et tendant vers
b/
c/
d/
e/
16/
0
en
+∞.
Les sous-ensembles de RN suivants constituent-ils des sous-anneaux
de (M2 (R) , +, ×) ? L'ensemble. . .
a/ . . . des matrices inversibles.
A propos des anneaux
11/
Oui Non
L'ensemble des suites convergentes. Oui Non
L'ensemble des suites divergentes. Oui Non
L'ensemble des suites positives. Oui Non
L'ensemble des suites majorées. Oui Non
L'ensemble des suites bornées. Oui Non
L'ensemble des suites périodiques. Oui Non
b/ L'ensemble des suites de limite
Oui Non
(
b/ . . . des matrices diagonales, càd de la forme
a
0
0
b
)
.
Oui Non
(
c/ . . . des matrices triangulaires supérieures, càd de la forme
Oui
d/ . . .
e/ . . .
f/ . . .
Non
b
c
)
.
)
a 0
des matrices scalaires, càd de la forme
. Oui Non
0 a
(
)
a b
des matrices symétriques, càd de la forme
. Oui Non
b a
(
)
0 −b
des matrices antisymétriques, càd de la forme
. Oui b 0
Non
(
a
0
Groupes, anneaux et corps
7
17/
Dans Z/5Z, tout élément non nul est inversible. Oui Non
18/
Dans Z/12Z, il n'existe aucun diviseur de zéro. Oui Non
23/
Pour deux matrices quelconques A et B de M2 (R), on a :
2
(A + B) = A2 + 2A × B + B 2 . Oui Non
24/
19/
20/
21/
22/
Si a et b sont deux éléments nilpotents d'un anneau, alors
nilpotent. Oui Non
a+b
A propos des corps
est
Pour déterminer les racines de 1+X +X 2 , je dois absolument calculer
son discriminant ∆. Non Non
Je sais déterminer rapidement les racines du polynôme 1+X+X 2 +X 3 .
Oui Oui
25/
Citer de mémoire 3 exemples de corps, et 3 exemples d'anneaux
commutatifs qui ne sont pas des corps.
Z est un corps. Oui Non
R∗+ est un corps. Oui Non
26/
R
27/
28/
29/
est un corps. Oui Non
K[X] est un corps. Oui Non
C n'a d'autre sous-corps que C lui-même. Oui Non
Q n'a d'autre sous-corps que Q lui-même. Oui Non
Questions de cours
ä
ä
Propriété : tout groupe ni de cardinal 6 4 est abélien.
Propriété : l'ensemble des bijections de E = {1, 2, 3} dans lui-même est un
groupe. En outre, ce groupe possède 6 éléments, et n'est pas abélien.
ä
ä
Propriété : pour tout entier naturel n > 2, (Un , ×) est un sous-groupe de
(U, ×) ;
et
(U, ×)
est un sous-groupe de
Propriété (factorisation de
tels que
an − bn )
a × b = b × a. On a :
∀ n ∈ N∗ , an − bn = (a − b) ×
n−1
∑
k=0
(C∗ , ×)
: soient
a
et
b
deux éléments de
ak × bn−1−k = (a − b) ×
n−1
∑
k=0
A,
ä
Exercice (entiers de Gauss) : on note Z [i] =
1) Montrer que
(Z [i] , +, ×)
2) Montrer que
z ∈ Z [i]
{
}
a + i b / (a, b) ∈ Z2 .
est un anneau commutatif et intègre.
est inversible SSI
3) Déduire de la question précédente
Z [i]
∗
2
|z| = 1.
. L'anneau des entiers de Gauss
est-il un corps ?
bk × an−1−k
Bonnes fêtes de n d'année à tous !