1) On fait un schéma des portes et de leurs changements d`état pour

PROBLEME DES PORTES – MANUEL « PHARE » 3EME (P. 63)
1) On fait un schéma des portes et de leurs changements d’état pour les premières étapes ; on note
« – » une porte fermée et « || » une porte ouverte ; on peut indiquer seulement les portes dont
l’état change :
Porte
État
Étape 1
Étape 2
Étape 3
Étape 4
Étape 5
Étape 6
Résultat
1
–
||
2
–
||
–
3
–
||
4
–
||
–
5
–
||
–
6
–
||
–
||
7
–
||
…
…
…
1000
–
||
–
||
||
–
–
||
–
–
||
–
–
–
Puisqu’on ne dépasse pas la porte 6, il suffit de s’arrêter à l’étape 6 ; en effet, ensuite, on ne
changera d’état que les portes qui sont multiples de 7, 8, etc., ce qui ne concerne plus les n° de 1 à 6.
Résultat : les portes 1 et 4 sont ouvertes ; les portes 2, 3, 5, 6 sont fermées.
2) Diviseurs de 30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Il existe 8 diviseurs de 30.
Le nombre 30 est donc un multiple de 8 nombres : 1, 2, 3, …, 30. Donc, l’état de la porte 30 sera
changé lors de 8 étapes (étape 1, étape 2, étape 3, …, étape 30).
Or, chaque fois que l’on peut appliquer 2 étapes successives à une porte, son état ne change pas :
-
Soit elle est ouverte -> elle devient fermée -> elle redevient ouverte
-
Soit elle est fermée -> elle devient ouverte -> elle redevient fermée
Porte n° N
||
–
1 = premier diviseur de N
Étape 1
–
||
D = diviseur suivant de N
Étape D
||
–
Etc. …
Comme on appliquera 8 étapes = 4 x (2 étapes) à la porte 30, son état ne sera pas changé. À la fin de
processus, la porte 30, qui était fermée au début, restera fermée.
3) Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Il existe 9 diviseurs de 36.
Le nombre 36 est donc un multiple de 9 nombres : 1, 2, 3, …, 36. Donc, l’état de la porte 36 sera
changé lors de 9 étapes (étape 1, étape 2, étape 3, …, étape 36).
Mais tout groupe de 2 étapes ne change pas l’état de la porte (initialement fermée) ; c’est donc la
9ème étape (étape 36) qui change l’état de la porte et qui la rend ouverte. À la fin de processus, la
porte 36, qui était fermée au début, devient ouverte.
 Les questions 2) et 3) permettent d’établir le résultat suivant :
Soit la porte n° N (fermée au départ)

Si N a un nombre pair de diviseurs, la porte N
reste fermée à la fin du processus

Si N a un nombre impair pair de diviseurs, la
porte N devient ouverte à la fin du processus
4) Soit N le numéro de la 23ème porte ouverte ; que sait-on sur N ?

On sait déjà que N doit avoir un nombre impair de diviseurs (puisque la 23ème porte est
ouverte à la fin du processus);

De plus, dans la suite de tous les nombres : 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc., N doit être le 23ème nombre
ayant un nombre impair de diviseurs.
On peut regarder quels sont les diviseurs des premiers nombres :
Nombre
Diviseurs
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
1
3
1
2
4
1
5
1
2
3
6
1
7
1
2
4
8
1
3
9
1
2
5
…
On voit que les premiers nombres ayant un nombre impair de diviseurs sont : 1, 4, 9. Mais trouver le
23ème par cette méthode est difficile.
Pour trouver le 23ème nombre, N, on peut se poser la question : les nombres ayant un nombre impair
de diviseurs ont-ils une propriété particulière ?
Examinons par exemple les 9 diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Ces diviseurs peuvent être
regroupés par couples, en commençant par la droite et par la gauche :
(1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9), et ensuite 6 reste seul. Chaque produit à l’intérieur d’un couple
reconstitue le nombre 36 : 1 x 36 = 2 x 18 = 3 x 12 = 4 x 9 = 36.
Et comme 6 reste seul, on a : 6 x 6 = 36, c'est-à-dire que 36 est un carré.
Donc, à chaque fois qu’un nombre N a un nombre impair de diviseurs, on peut les ranger par ordre
croissant et il existe au centre de cette série de diviseurs un diviseur D tel que D x D = N.
On peut dire : si N a un nombre impair de diviseurs, alors N est un carré.
D’un autre côté, si N est un carré, c’est qu’il possède un diviseur D tel que D x D = N. Donc, si l’on
range les diviseurs de N par ordre croissant, D va se retrouver au centre de la série des diviseurs et le
nombre de diviseurs sera impair.
On peut donc dire : seuls les nombres qui sont des carrés ont un nombre impair de diviseurs. Les
autres nombres, qui ne sont pas des carrés, ont un nombre pair de diviseurs.
C’est ce qu’on peut constater sur le tableau précédent :
1 (= 12), 4 (= 22), 9 (= 32) ont un nombre impair de diviseurs. Les autres ont un nombre pair.
Par conséquent, le 23ème nombre ayant un nombre impair de diviseurs, c’est le 23ème carré, c'est-àdire le 23ème nombre au carré : 232 = 529.
La 23ème porte ouverte est donc la porte numéro 529. Bravo, vous avez gagné le trésor !
REMARQUES (qui ne sont pas au programme de 3ème) :
 Pour trouver le nombre de diviseurs d’un nombre, il faut écrire ce nombre sous sa forme
décomposée en facteurs premiers. Par exemple :
36 = 6 x 6 = 2 x 3 x 2 x 3 = 22 x 32
600 = 6 x 10 x 10 = 2 x 3 x 2 x 5 x 2 x 5 = 23 x 31 x 52
Ensuite, on prend toutes les puissances des facteurs premiers, on leur ajoute 1, et on fait le produit.
Par exemple :
600 = 23 x 31 x 52



on prend 3
on prend 1
on prend 2
on fait le produit (3 + 1) x (1 + 1) x (2 + 1) = 4 x 2 x 3 = 24

le nombre 600 possède 24 diviseurs.
 Pour trouver la somme des diviseurs d’un nombre, on utilise aussi la forme décomposée en
facteurs premiers, de la façon suivante :
600 = 23 x 31 x 52
On prend chaque facteur premier à sa puissance augmentée de 1 :
23+1= 24
31+1 = 32
52+1 = 53
24 - 1
32 - 1
53 - 1
On enlève 1 à ces valeurs :
On divise le résultat par le facteur premier correspondant, diminué de 1 :
24  1
2 1
32  1
3 1
53  1
5 1
On multiplie le tout :
2 4  1 32  1 53  1
x
x
2 1 3 1 5 1
On trouve :
1860
 Pour trouver le produit des diviseurs d’un nombre N, il faut d’abord calculer le nombre de ses
diviseurs, disons d, puis prendre la racine carrée de Nd. Par exemple :
N = 600 a 24 diviseurs  le produit de ces diviseurs est
600 24  2,18  10 33 ! La valeur du produit
devient rapidement énorme…
À noter : alors que la racine carrée d’un nombre quelconque n’est pas en général un nombre entier
( 2  1,414 ... ), la valeur
N d est toujours un nombre entier.
En effet :
- si N n’est pas un carré, il a un nombre pair de diviseurs : d = 2 x k ; donc :
N d  ( N d )1 / 2  ( N 2k )1 / 2  N 2k1 / 2  N k
qui est un nombre entier.
- si N est un carré, il s’écrit N = C2 ; donc :
N d  (C 2 )1 / 2  C 21 / 2  C
qui est un nombre entier