mémoire de Master 2

Leçon 236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de
calcul d’intégrales d’une ou plusieurs variables réelles
(Mémoire pour le Master 2)
Novembre 2014
Florian LEMONNIER
ENS Rennes
Université de Rennes 1
Table des matières
Introduction 2
1 Méthodes directes 3
1.1 Primitives[Gou08] ......................................... 3
1.1.1 Primitivesusuelles..................................... 3
1.1.2 Fractionsrationnelles ................................... 3
1.1.3 Polynômes en sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Intégrationparparties ....................................... 4
1.3 Changement de variable [BP12, Gou08] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Parenthèse sur la mesurabilité et l’intégrabilité [BP12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Utilisation de convergences 8
2.1 SommesdeRiemann[Gou08]................................... 8
2.2 Suites et séries de fonctions [BP12, Gou08] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Régularité des intégrales à paramètre [BP12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Utilisation de l’analyse complexe [BMP05, AM04] 12
4 Calcul approché d’intégrales 16
4.1 Méthodes des rectangles [Dem06] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Méthode de quadrature de Gauss [Rom05] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 Méthode de Monte-Carlo [Tou99] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Références 22
1

Introduction
Le calcul intégral a de nombreuses applications en mathématiques. Tout d’abord, il permet de calcu-
ler des aires et des volumes d’objets dont on est capable de paramétrer le bord.
Il permet d’établir la convergence de certaines suites en utilisant des sommes de Riemann, ou en
comparant une intégrale à une série.
En probabilités, on est souvent amené à calculer une intégrale pour déterminer la probabilité qu’une
variable aléatoire à densité prenne sa valeur dans un certain intervalle. Ceci a une grande application
quand on s’intéresse à des variables aléatoires normales : l’obtention d’intervalles de confiance par le
théorème central limite nécessite le calcul intégral.
Dans cette leçon, on se placera dans le cadre de l’intégration de fonctions de la variable réelle. Cela ne
signifie pas que l’intégration de fonctions méromorphes dans le plan complexe sera totalement délaissée :
elle aura ici le rôle d’outil pour calculer d’autres intégrales de la variable réelle.
Une première et large partie s’intéressera au calcul exact d’intégrales. On présentera diverses mé-
thodes, comme l’intégration par parties et le changement de variables, en dimension 1 ou plus ; on uti-
lisera ensuite des résultats de convergence de suites et séries, ainsi que de continuité et dérivabilité
d’intégrales à paramètres : l’obtention d’équations différentielles, dont l’unicité de la solution est four-
nie par le théorème de Cauchy-Lipschitz, se révèlera cruciale. Enfin, on utilisera l’analyse complexe (le
théorème de résidus notamment) pour calculer des intégrales de la variable réelle.
Cependant, on est forcé de constater qu’on ne peut pas toujours calculer une intégrale de façon
exacte : la gaussienne en est un illustre exemple. On abordera donc à la fin de ce mémoire quelques
méthodes de calcul approché d’intégrales : la méthode des rectangles, une méthode de quadrature (due
à Gauss), ainsi que la méthode de Monte-Carlo (basée sur la loi des grands nombres et le théorème
central limite).
2

1 Méthodes directes
1.1 Primitives [Gou08]
Soit fune fonction continue sur un intervalle [a,b]de R. La fonction fadmet alors une primitive F.
Si Fest facile à déterminer, on peut alors utiliser la formule bien connue :
Zb
af(x)dx=F(b)−F(a)
On adoptera la notation Rf(x)dx=F(x) + klorsque Fest une primitive de f, c’est-à-dire que
l’ensemble des primitives de fest l’ensemble des fonctions x7→ F(x) + k, où k∈R.
1.1.1 Primitives usuelles
On commence par donner un tableau de primitives usuelles, qui ne se veut évidemment pas exhaus-
tif.
f(x)F(x)
xα,α6=−1xα+1
α+1
1
xln |x|
exex
sin x−cos x
cos xsin x
tan x−ln |cos x|
f(x)F(x)
sh xch x
ch xsh x
th xln(ch x)
1
√1−x2arcsin x
1
√x2+b,b6=0 ln x+√x2+b
1
x2+1arctan x
1.1.2 Fractions rationnelles
Pour calculer l’intégrale d’une fraction rationnelle à coefficients réels, on commence par la décompo-
ser en éléments simples sur R. On est ainsi ramené à calculer les primitives des fonctions de la forme :
Zdx
(x−a)hoù h∈N∗
Zax +b
(x2+cx +d)hdxoù c2−4d<0 et h∈N∗
Ces deux primitives peuvent être calculées en utilisant intégration par parties et changement de
variable, deux méthodes exposées plus bas.
Exemple : On cherche une primitive de 1
x(x2+1)2.
On a : 1
x(x2+1)2=1
x−x
x2+1−x
(x2+1)2.
On en déduit alors : Zdx
x(x2+1)2=ln |x|− 1
2ln x2+1+1 2
1
1+x2+k.
3

1.1.3 Polynômes en sinus et cosinus
On veut calculer les primitives Zsinmxcosnxdx, où m,n∈N. Si met nsont pairs, on opère par
linéarisation ; sinon, il est préférable d’effectuer un changement de variable (la règle de Bioche sera pré-
sentée plus bas).
Exemple : On cherche une primitive de cos4xsin2x.
On a : Zcos4xsin2xdx=Zcos4xdx−Zcos6xdx.
Or cos4x=eix+e−ix
24
=1
8e4ix+e−4ix 2+4e2ix+e−2ix 2+3=1 8cos(4x) + 1 2cos(2x) + 3 8.
De même cos6x=1
32 cos(6x) + 3 16 cos(4x) + 15 32 cos(2x) + 5 16.
Et donc : Zcos4xsin2xdx=1
192 sin(6x) + 5 64 sin(4x) + 31 64 sin(2x) + 11 16 x+k.
1.2 Intégration par parties
Proposition 1 (Formule d’intégration par parties)
Soient uet vdeux fonctions de classe C1sur le segment [a,b].
On a l’égalité suivante :
Zb
au0(x)v(x)dx=u(b)v(b)−u(a)v(a)−Zb au(x)v0(x)dx
Cette formule est un corollaire de la formule de dérivation du produit :
(uv)0(x) = u0(x)v(x) + u(x)v0(x)
Application : Formule de récurrence des intégrales de Wallis
Soit n>2, Wn:=Zπ
2
0sinn(x)dx=h−sinn−1(x)cos(x)iπ
2
0+ (n−1)Zπ
2
0cos2(x)sinn−2(x)dx= (n−1)(Wn−2−Wn).
Ce qui nous fournit : Wn=n−1
nWn−2.
Application : Évaluation de la fonction Gamma d’Euler aux points entiers naturels
Pour n∈N,Γ(n+1):=Z∞
0tne−tdt=−tne−t∞
0+nZ∞
0tn−1e−tdt=nΓ(n).
Ce qui nous fournit : ∀n∈N,Γ(n+1) = n!
1.3 Changement de variable [BP12, Gou08]
Proposition 2 (Formule de changement de variable unidimensionnel)
Soit ϕun C1-difféomorphisme défini sur le segment [a,b], à valeurs réelles.
Soit fune fonction continue sur le segment ϕ([a,b]).
On a l’égalité suivante :
Zb
af(ϕ(t))ϕ0(t)dt=Zϕ(b) ϕ(a)f(u)du
Cette formule est un corollaire de la formule de dérivation de la composée :
(f◦ϕ)0(x) = ϕ0(x)f0(ϕ(x))
Exemple : Règle de Bioche pour les fractions rationnelles en cos(x)et sin(x)
Il s’agit d’étudier les invariances de R(cos x, sin x)dx:
– Si on a l’invariance x→ −x, on pose t=cos x;
4

– Si on a l’invariance x→π−x, on pose t=sin x;
– Si on a l’invariance x→π+x, on pose t=tan x.
Application : On veut calculer une primitive de x7→ sin3(x)
1+cos2(x).
La règle de Bioche nous invite à poser t=cos x,etona:
Zsin3(x)
1+cos2(x)dx=Z1−t2 1+t2(−dt) = t−2 arctan(t) + k=cos(x)−2 arctan(cos(x)) + k
Proposition 3 (Formule de changement de variable multidimensionnel)
Soit Uun ouvert de Rn.
Soit ϕ:U→Rnun C1-difféomorphisme ; on note V=ϕ(U).
On pose : Jϕ(u) = det ∂ϕi
∂xj
(u)16i,j6n .
Soit fune fonction continue sur V.
On a l’égalité suivante : ZVf(v)dv=ZUf(ϕ(u))|Jϕ(u)|du
Application : Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires dans R2
Soit Dun ouvert de R2, si ∆=(r,θ)∈R+×[0, 2π[(rcos θ,rsin θ)∈D(c’est-à-dire si ∆représente Den
coordonnées polaires), alors on a :
ZZDf(x,y)dxdy=ZZ∆f(rcos θ,rsin θ)rdrdθ
Exemple : Volume de la boule euclidienne de Rd:Bd:=nx∈Rdx2
1+. . . +x2
d61o
Soit d>3.
Vd=λd(Bd)=ZRd 1{x2
1+...+x2
d61}dx1. . . dxd
=ZR2ZRd−2 1{x2
1+...+x2
d−261−x2 d−1−x2 d}dx1. . . dxd−21{x2 d−1+x2 d61}dxd−1dxd
– Si x2
d−1+x2 d=1,
alors ZRd−2 1{x2
1+...+x2
d−261−x2 d−1−x2 d}dx1. . . dxd−2=λd({0Rd−2})=0.
– Si x2
d−1+x2 d<1, on pose xi=uiq1−x2
d−1−x2 d, pour 1 6i6d−2.
On définit alors clairement une application linéaire bijective de déterminant 1−x2
d−1−x2 dd
2−1.
Vd=ZR2 ZBd−21−x2
d−1−x2 dd
2−1du1. . . dud−2!1{x2
d−1+x2 d61}dxd−1dxd
=Z{x2
d−1+x2 d61}Vd−21−x2
d−1−x2 dd
2−1dxd−1dxd
=Vd−2Zπ
−πZ1 01−r2d
2−1rdrdθ
=Vd−2×2πZ1
01−r2d
2−1rdr=2π
dVd−2
Il vient donc finalement :
– Si dest pair, Vd=πd
2
d
2!;
– Si dest impair, Vd=2dπd−1
2d−1
2!
d!.
5