trigonométrie

DMartin-LAH
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TRIGONOMÉTRIE
1. INTRODUCTION
De tous temps les hommes ont eu le désir de mesurer des phénomènes physiques. Les Sumériens, de nombreux
siècles avant Jésus Christ, souhaitaient étudier la position des étoiles dans le ciel et devaient disposer pour cela
d’une unité de mesure d’angles. Comme les étoiles faisaient une révolution complète en une année (360 jours pour
les Sumériens) et que leur système de numération était de base 60, ils décidèrent de couper le cercle en 360 parties :
le degré était né.
Compter en base 60 : Soit le système de base 60 défini par :
1 unité = | ; 1 soixantaine = # ; soixante soixantaines = @
Alors : 73 = # |||||||||||||
Ecrire : 9 = 67 =
126 = 434 =
3851 =
Ce n’est qu’à la fin du dix-neuvième siècle que cette mesure d’angle fut remplacée par les scientifiques qui
souhaitaient établir une relation simple entre le rayon d’un cercle et la longueur de ses arcs : ils allaient créer le
radian.
Définition 1 : Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 orienté dans le sens direct.
Le plan est muni d’un repère orthonormal (O;
→
i ,
→
j ).
Le cercle de centre O et de rayon 1 dans lequel on mesure
les angles dans le sens direct est un cercle trigonométrique.
Remarque : Le sens direct trigonométrique est le sens contraire du sens
de rotation des aiguilles d’une montre.
Exercice : Placer sur le cercle ci-contre les points représentant les angles
suivants : AOB = 120° AOC = – 90° AOD = – 135° AOE = 240°
2. ENROULEMENT DE LA DROITE RÉELLE
Soit c le cercle trigonométrique dans le repère orthonormal (O;
→
i ,
→
j ).
On trace la tangente en I au cercle que l’on munit du repère (I ;
→
j ), cette droite
représente la droite des nombres réels.
On enroule cette droite autour de c dans le sens direct et indirect.
Propriété : Tout point N d’abscisse x de la droite des réels vient se superposer
à un point M du cercle trigonométrique.
On associe ainsi à tout réel x un unique point M du cercle trigonométrique.
Définition 2 : Soit x un nombre réel et M le point du cercle trigonométrique
associé à x. On dit alors que x est la mesure en radian de l’angle
۷۽ۻ
෣
.
Exercice : Déterminer les mesures en radian des angles suivants :
(IOA est un triangle équilatéral)
IOI
෢ = IOJ ෢ = IOK ෢ =
IOL
෢ = IOI′
෢ = IOA
෢ =
Oi
→
j
→
M
N
Sens direct positif
+60°
-30°
A
Oi
→
j
→

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Remarques :
• Dans un cercle trigonométrique, la mesure d’un angle en radian est égale à la longueur de l’arc qu’il
intercepte.
• Cette unité est plus utile géométriquement que le degré car elle établit une correspondance simple entre un
angle et l’arc qu’il intercepte.
Elle remplacera donc progressivement le degré dans la communauté scientifique.
Propriété : La mesure en degré et la mesure en radian d’un angle sont proportionnelles.
Exercice : Remplir le tableau de proportionnalité suivant :
×
…
mesure en
radian 0
π
4
π
2
×
… .
mesure en
degré 30 60 90 180
2. COSINUS ET SINUS D’UN NOMBRE RÉEL
A. Cosinus et sinus d’un angle en radian
Dans un cercle trigonométrique considérons un angle α en radian compris dans
l’intervalle I = ]–π ; π]et le point M du cercle lui correspondant.
Définition 3 : Pour tout angle α appartenant à I :
Le cosinus de α est l’abscisse du point M dans le repère (O;
→
i ,
→
j ). Il est noté cos α.
Le sinus de α est l’ordonnée du point M dans le repère (O;
→
i ,
→
j ). Il est noté sin α.
Valeurs remarquables de cosinus et sinus :
Mesure en radian α 0
π
6
π
4
π
3
π
2 π
cos α 1 3
2 2 2 1
2 0 –1
sin α 0 1
2 2
2 3 2 1 0
(Voir aussi le cercle trigonométrique)
B. Cosinus et sinus d’un nombre réel
Le plan est muni d’un repère orthonormal (O;
→
i ,
→
j ) et d’un cercle
trigonométrique C de centre O.
Soit le point I défini par OI = i .
On considère l’axe D tangent à C en I et muni du repère (I ; j ).
On peut associer à chaque nombre réel x représenté sur D un
unique point M du cercle C par « enroulement ».
Exercice : Placer les réels suivants sur l’axe D et les points qui
leurs correspondent sur le cercle trigonométrique :
x
1
=
π
2 ;
x
2
= –
π
3 ;
x
3
= 2
On constate que pour les valeurs de
x comprises dans l’intervalle
[– π ; π ] la longueur x sur l’axe D qui est égale à celle de l’arc IM
correspond à la mesure de l’angle
(
)
OM;OI . (Nous sommes sur un
cercle trigonométrique)
Oi
→
j
→
j
→
M
I
x
x
C
D
Oi
→
j
→
j
→
Oi
→
j
→
M
C
Oi
→
j
→
α
cos α
sin α

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Oi
→
j
→
M
I
x
K
H
Oi
→
j
→
Si x se trouve à l’extérieur de cet intervalle le point M existe encore et on peut élargir la définition du cosinus et du
sinus données ci-dessus à tous les nombres réels :
Définition 4 : Soit x un nombre réel et M le point du cercle trigonométrique associé à x.
Le cosinus de x est l’abscisse du point M dans le repère (O;
→
i ,
→
j ). Il est noté cos x.
Le sinus de x est l’ordonnée du point M dans le repère (O;
→
i ,
→
j ). Il est noté sin x.
Exercice : Déterminer la valeur exacte des nombres suivants :
cos 5π
6 =
sin 13π
3 =
cos (– 23π
4) =
Théorème 1 : Pour tout nombre réel x et pour tout entier relatif k, nous avons :
(1) –1 ≤ cos x ≤ 1 et –1 ≤ sin x ≤ 1
(2) cos
2
x + sin
2
x = 1
(3) cos(–x) = cos x et sin(–x) = – sin x
(4) cos (x + 2kπ) = cos x et sin (x + 2kπ) = sin x
Démonstrations :
(2) En considérant les triangles rectangles OHM et OKM dans la figure
ci-contre, démontrez que cos
2
x + sin
2
x = 1.

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3. FONCTION COSINUS ET FONCTION SINUS
A. Fonction sinus
Explication : Pour toute valeur réelle x , sin (x + 2π) = sin (x)
La courbe représentative de la fonction sinus "répète" le
même morceau de longueur 2π à l'infini.
Explication : Pour toute valeur réelle x , sin (–x) = – sin x.
La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Propriété 3 : Variations de la fonction sinus sur l'intervalle [0 ; π
ππ
π] :
Courbe représentative de la fonction sinus:
On commence par tracer la courbe correspondant au tableau de variation sur l'intervalle [0 ;π] :
On complète sur [–π ; 0] par une symétrie de centre O du premier morceau (la fonction étant impaire):
Puis on trace la courbe sur r en translatant le morceau obtenu sur une période par les vecteurs k*2π i avec k ∈ Z.
2 30 1
1
x
y
x
sin x
-x
sin (-x) = - sin x
M
M'
2 3-1-2-3
-1
0 1
1
x
y
Définition : La fonction sinus est la fonctions définie sur IR qui à tout nombre réel associe son sinus
On a : sin : IR
→
IR
x
→
sin x
Propriété 1 : La fonction sinus est périodique de période 2π
Propriété 2 : La fonction sinus est impaire.
x 0
π
2 π
Variations
de sinus
1
0 0

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B. Fonction cosinus
Explication : Pour toute valeur réelle x , cos (x + 2π) = cos (x)
La courbe représentative de la fonction cosinus "répète" le même morceau de longueur 2π à l'infini.
On retrouve la même image par la fonction cosinus pour tous les nombres de la forme : x +k*2π , avec k ∈ Z.
Explication : Pour toute valeur réelle x , cos (–x) = cos x.
La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère.
Propriété 3 : Variations de la fonction cosinus sur l'intervalle [0 ; π
ππ
π] :
Courbe représentative de la fonction cosinus :
De la même manière que pour la fonction sinus :
• On trace la courbe pour x ∈ [0 ; π] (en rouge)
• On complète sur [–π ;0] en faisant une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées (en bleu)
• On translate le morceau obtenu sur [–π ; π] par les vecteurs : k*2π i avec k ∈ Z.
Exercice :
Dans les repères ci-dessous, tracer les courbes représentatives de fonctions usuelles paires ou impaires :
Une courbe de fonction paire : Une courbe de fonction impaire :
f(x) = ………définie sur : … f(x) = ………définie sur : …
2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7
-1
0 1
1
x
y
2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7
-1
0 1
1
Définition : La fonction cosinus est la fonctions définie sur IR qui à tout nombre réel associe son cosinus
On a : cos : IR
→
[–1 ; 1]
x
→
cos x
Propriété 1 : La fonction cosinus est périodique de période 2π
Propriété 2 : La fonction cosinus est paire.
x 0
π
Variations
de cosinus
1
–
1
x+2π
x
sin x = sin (x+2π) = sin (x–2π)
x – 2π
–π π