TRIGONOMÉTRIE 1. INTRODUCTION De tous temps les hommes ont eu le désir de mesurer des phénomènes physiques. Les Sumériens, de nombreux siècles avant Jésus Christ, souhaitaient étudier la position des étoiles dans le ciel et devaient disposer pour cela d’une unité de mesure d’angles. Comme les étoiles faisaient une révolution complète en une année (360 jours pour les Sumériens) et que leur système de numération était de base 60, ils décidèrent de couper le cercle en 360 parties : le degré était né. Compter en base 60 : Soit le système de base 60 défini par : 1 unité = | ; 1 soixantaine = # ; soixante soixantaines = @ Alors : 73 = # ||||||||||||| Ecrire : 9 = 67 = 126 = 434 = 3851 = Ce n’est qu’à la fin du dix-neuvième siècle que cette mesure d’angle fut remplacée par les scientifiques qui souhaitaient établir une relation simple entre le rayon d’un cercle et la longueur de ses arcs : ils allaient créer le radian. Définition 1 : Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 orienté dans le sens direct. → Sens direct positif → Le plan est muni d’un repère orthonormal (O; i , j ). Le cercle de centre O et de rayon 1 dans lequel on mesure les angles dans le sens direct est un cercle trigonométrique. M → j Remarque : Le sens direct trigonométrique est le sens contraire du sens de rotation des aiguilles d’une montre. Exercice : Placer sur le cercle ci-contre les points représentant les angles suivants : AOB = 120° AOC = – 90° AOD = – 135° AOE = 240° +60° → i O A -30° N 2. ENROULEMENT DE LA DROITE RÉELLE → → Soit c le cercle trigonométrique dans le repère orthonormal (O; i , j ). → On trace la tangente en I au cercle que l’on munit du repère (I ; j ), cette droite représente la droite des nombres réels. On enroule cette droite autour de c dans le sens direct et indirect. Propriété : Tout point N d’abscisse x de la droite des réels vient se superposer à un point M du cercle trigonométrique. On associe ainsi à tout réel x un unique point M du cercle trigonométrique. Définition 2 : Soit x un nombre réel et M le point du cercle trigonométrique . associé à x. On dit alors que x est la mesure en radian de l’angle ۷ۻ۽ Exercice : Déterminer les mesures en radian des angles suivants : (IOA est un triangle équilatéral) = IOI = IOJ = IOK = IOL = IOI′ = IOA -1- DMartin-LAH Remarques : • Dans un cercle trigonométrique, la mesure d’un angle en radian est égale à la longueur de l’arc qu’il intercepte. • Cette unité est plus utile géométriquement que le degré car elle établit une correspondance simple entre un angle et l’arc qu’il intercepte. Elle remplacera donc progressivement le degré dans la communauté scientifique. Propriété : La mesure en degré et la mesure en radian d’un angle sont proportionnelles. Exercice : Remplir le tableau de proportionnalité suivant : × … mesure en radian mesure en degré π 4 0 π 2 30 × … . 60 90 180 2. COSINUS ET SINUS D’UN NOMBRE RÉEL A. Cosinus et sinus d’un angle en radian M Dans un cercle trigonométrique considérons un angle α en radian compris dans l’intervalle I = ]–π ; π]et le point M du cercle lui correspondant. C sin α → j α Définition 3 : Pour tout angle α appartenant à I : → → Le cosinus de α est l’abscisse du point M dans le repère (O; i , j ). Il est noté cos α. → → Le sinus de α est l’ordonnée du point M dans le repère (O; i , j ). Il est noté sin α. Valeurs remarquables de cosinus et sinus : π π 0 Mesure en radian α 6 4 3 2 1 cos α 2 2 1 2 0 sin α 2 2 π 3 1 2 3 2 π 2 π 0 –1 1 0 O → cos α i (Voir aussi le cercle trigonométrique) B. Cosinus et sinus d’un nombre réel → → Le plan est muni d’un repère orthonormal (O; i , j ) et d’un cercle trigonométrique C de centre O. D Soit le point I défini par OI = i . M On considère l’axe D tangent à C en I et muni du repère (I ; j ). On peut associer à chaque nombre réel x représenté sur D un unique point M du cercle C par « enroulement ». Exercice : Placer les réels suivants sur l’axe D et les points qui leurs correspondent sur le cercle trigonométrique : π π x1 = ; x2 = – ; x3 = 2 2 3 x C → → j j x O → i I On constate que pour les valeurs de x comprises dans l’intervalle [–π ; π] la longueur x sur l’axe D qui est égale à celle de l’arc IM ( ) correspond à la mesure de l’angle OI; OM . (Nous sommes sur un cercle trigonométrique) -2- DMartin-LAH Si x se trouve à l’extérieur de cet intervalle le point M existe encore et on peut élargir la définition du cosinus et du sinus données ci-dessus à tous les nombres réels : Définition 4 : Soit x un nombre réel et M le point du cercle trigonométrique associé à x. → → Le cosinus de x est l’abscisse du point M dans le repère (O; i , j ). Il est noté cos x. → → Le sinus de x est l’ordonnée du point M dans le repère (O; i , j ). Il est noté sin x. Exercice : Déterminer la valeur exacte des nombres suivants : 5π cos = 6 13π sin = 3 23π cos (– )= 4 Théorème 1 : Pour tout nombre réel x et pour tout entier relatif k, nous avons : (1) –1 ≤ cos x ≤ 1 et –1 ≤ sin x ≤ 1 (2) cos2 x + sin2 x = 1 (3) cos(–x) = cos x et sin(–x) = – sin x (4) cos (x + 2kπ) = cos x et sin (x + 2kπ) = sin x Démonstrations : (2) En considérant les triangles rectangles OHM et OKM dans la figure ci-contre, démontrez que cos2 x + sin2 x = 1. M K → j x O -3- → Hi I DMartin-LAH 3. FONCTION COSINUS ET FONCTION SINUS A. Fonction sinus Définition : La fonction sinus est la fonctions définie sur IR qui à tout nombre réel associe son sinus On a : sin : IR → IR x → sin x π x 0 π 2 Propriété 1 : La fonction sinus est périodique de période 2π 1 Variations Explication : Pour toute valeur réelle x , sin (x + 2π) = sin (x) de sinus La courbe représentative de la fonction sinus "répète" le 0 0 même morceau de longueur 2π à l'infini. Propriété 2 : La fonction sinus est impaire. Explication : Pour toute valeur réelle x , sin (–x) = – sin x. La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère. Propriété 3 : Variations de la fonction sinus sur l'intervalle [0 ; π] : Courbe représentative de la fonction sinus: On commence par tracer la courbe correspondant au tableau de variation sur l'intervalle [0 ;π] : y 1 0 1 2 3 x On complète sur [–π ; 0] par une symétrie de centre O du premier morceau (la fonction étant impaire): y 1 M sin x -x -3 -2 -1 0 x 1 2 3 x sin (-x) = - sin x M' -1 Puis on trace la courbe sur r en translatant le morceau obtenu sur une période par les vecteurs k*2π i avec k ∈ Z. -4- DMartin-LAH y 1 sin x = sin (x+2π) = sin (x–2π) -7 -6 x– 2π -5 -4 -3 -2 -1 0 x 1 2 3 4 5 6 7 x+2π x -1 B. Fonction cosinus Définition : La0 fonction cosinus est la fonctionsπ définie sur IR qui à tout nombre réel associe son cosinus x On a : cos : IR → [–1 ; 1] 1 x → cos x Variations de cosinus Propriété 1 : La fonction cosinus est périodique–1de période 2π Explication : Pour toute valeur réelle x , cos (x + 2π) = cos (x) La courbe représentative de la fonction cosinus "répète" le même morceau de longueur 2π à l'infini. On retrouve la même image par la fonction cosinus pour tous les nombres de la forme : x +k*2π , avec k ∈ Z. Propriété 2 : La fonction cosinus est paire. Explication : Pour toute valeur réelle x , cos (–x) = cos x. La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère. Propriété 3 : Variations de la fonction cosinus sur l'intervalle [0 ; π] : Courbe représentative de la fonction cosinus : 1 –π -7 -6 -5 -4 -3 π -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -1 De la même manière que pour la fonction sinus : • On trace la courbe pour x ∈ [0 ; π] (en rouge) • On complète sur [–π ;0] en faisant une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées (en bleu) • On translate le morceau obtenu sur [–π ; π] par les vecteurs : k*2π i avec k ∈ Z. Exercice : Dans les repères ci-dessous, tracer les courbes représentatives de fonctions usuelles paires ou impaires : Une courbe de fonction paire : Une courbe de fonction impaire : f(x) = ………définie sur : … f(x) = ………définie sur : … -5- DMartin-LAH y 9 y 4 3 8 2 7 1 6 5 -4 1 2 3 4 x -4 1 0 0 -3 2 -1 -1 -2 3 -2 -2 -1 4 -3 -3 1 2 3 x -1 -6- DMartin-LAH