Bases Hilbertiennes 1 Familles orthogonales

SOM1MT05 Universit´e d’Orl´eans
Analyse Fonctionnelle 2014-2015
Cours, Chapitre n8
Luc Hillairet.
Bases Hilbertiennes
1 Familles orthogonales
D´efinition 1. Dans un espace euclidien (E,h·,·i)une famille de vecteurs non-nuls (ui)i2I
est dite
— orthogonale d`es lors que 8i6=j, hui,u
ji=0,
— orthonorm´ee, si elle est orthogonale et de plus, 8i, kuik=1.
Lorsque (ui)i2Iest une base de E, on parle de base orthogonale (resp. orthonorm´ee).
Remarque : On v´erifiera sans peine que si (ui)i2Iest orthogonale, alors ( ui
kuik)i2Iest ortho-
norm´ee.
Lemme 1. Toute famille orthogonale (a fortiori orthonorm´ee) est libre.
D´emonstration. En e↵et, soit Pi2I↵iuiune combinaison lin´eaire finie qui annule la famille :
X
i2I
↵iui=0.
Pour tout ien faisant le produit scalaire avec uiet en utilisant l’orthogonalit´e, on obtient :
↵ikuik2=0.
D’o`u ↵i= 0 et la libert´e de la famille.
L’int´erˆet des bases orthonorm´ees est que de nombreuses formules sont plus simples. On a
par exemple les propri´et´es suivantes.
1. Soit (E, h·,·i) un espace euclidien de dimension finie et (ei)1inune base orthonorm´ee
alors par sesquilin´earit´e on obtient pour x=Pn
i=1 xieiet y=Pn i=1 yiei
hx, yi=
n
X
i=1
xiyi.
En particulier, on trouve que n´ecessairement xi=hei,xi.
2. Soit Hun espace de Hilbert et F⇢Eun sous-espace de dimension finie dont (ei)1in
est une base orthonorm´ee alors
8x2H,⇡
F(x)=
n
X
i=1
hei,xiei.
En e↵et, si on d´efinit zpar la formule de droite alors il est clair que z2Fet de plus
8j, hej,x⇡F(x)i=hej,xihej,xi.
Ce qui caract´erise le projet´e orthogonal sur F.
1

2 Orthonormalisation
La proc´edure d’orthonormalisation permet de transformer toute famille libre en famille
orthonorm´ee.
Th´eor`eme 1. Soit (ui)1inune famille libre finie dans un espace euclidien (E,h·,·i)alors
il existe une famille orthonorm´ee (ei)1intelle que
8mnvect(ui)1im=vect(ei)1im.
D´emonstration. Pour 1 mn, on note Fm:= vect(ui)1imet ⇡mla projection orthogo-
nale sur Fm.On d´efinit alors la famille (vi)1inde la fa¸con suivante
⇢v1:= u1,
8in1,v
i+1 := ui+1 ⇡i(ui+1).
On montre alors par r´ecurrence sur mles propri´et´es voulues.
Il n’y a rien `a faire pour m=1.
On suppose alors la propri´et´e au rang m. Remarquons tout d’abord que par construction
vm+1 est orthogonal `a Fmet donc `a tous les vi,1im. La famille (vi)1im+1 est donc
orthogonale. Comme la famille (ui)1inest libre on a
Fm+1 =Fmvect(um+1).
Ceci entraˆıne que vm+1 6= 0 et de plus, vm+1 2Fm+1 et donc
vect(vi)1im+1 ⇢Fm+1.
En ´ecrivant um+1 =vm+1 ⇡m(um+1) on en d´eduit aussi um+1 2vect(ui)1im+1 d’o`u la
propri´et´e cherch´ee. On pose alors ei:= vi
kvik.
Corollaire 1. Soit (E,h·,·i)un espace euclidien de dimension finie, alors Eadmet des bases
orthonorm´ees.
2.1 Applications `a la dimension finie
L’existence de bases orthonorm´ees en dimension finie a de nombreuses applications. On
en liste quelques-unes ci dessous. Dans tous ces exemples (E, h·,·i) est un espace vectoriel
euclidien de dimension n.
1. Eest isom´etrique `a Cnmuni de son produit scalaire canonique. Plus pr´ecis´ement,
si (ei)1inest une base orthonorm´ee alors l’application lin´eaire d´efinie par x7!
(he1,xi,...,hen,xi) est une isom´etrie.
2. Dans une base orthonorm´ee on repr´esente xet ypar des vecteurs colonnes Xet Yet
on a
hx, yi=X⇤Y.
On en d´eduit qu’une matrice de passage Uentre deux bases orthonorm´ees v´erifie
U⇤U=UU⇤=I. On en d´eduit aussi que la matrice d’une isom´etrie dans une base
orthonorm´ee v´erifie aussi cette relation.
3. Le proc´ed´e d’orthonormalisation de Schmidt est alors ´equivalent `a l’´enonc´e suivant.
Proposition 1. Soit Aune matrice hermitienne d´efinie positive alors il existe T
triangulaire telle que A=T⇤T.
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3 Bases Hilbertiennes
Soit (ei)i2Iune famille finie ou infinie de vecteurs d’un espace vectotiel E. On rappelle que
le sous-espace vectoriel vect(ei)i2Iest l’ensemble des combinaisons lin´eaires finies des (ei)i2I.
En particulier pour une famille (en)n0index´ee par N, on a l’´equivalence
x2vect(en)n0,9N2N,x
0,...,x
N,x=
N
X
n=0
xnen.
3.1 Etude d’un mod`ele : `2
On rappelle que `2(N,Rou C) est l’espace des suites (xn)n0r´eelles ou complexes telles
que X
n0
|xn|2<1.
Le produit scalaire d´efini par
hx, yi:= X
n0
xnyn,
fait de `2un espace de Hilbert.
Pour tout k2N, on d´efinit la suite ek2`2par
ek(n)=⇢1sik=n,
0 sinon.
On a alors le lemme suivant
Lemme 2. La famille (ek)k0est orthonorm´ee dans `2et vect(ek)k0est dense dans `2.
D´emonstration. Le fait que la famille est orthonorm´ee est imm´ediat :
pour tout x:= (xn)n02`2et tout ">0,il existe Ntel que
0
@X
nN+1
|xn|21
A
1
2
".
Ce qui se r´e´ecrit
kx
N
X
n=0
xnenk".
Ainsi
vect(en)n0\B(x, ")6=;.
Remarquons que si on note FN=vect(en)0nNet ⇡Nla projection orthogonale dans `2
sur FNalors, pour tout x:= (xn)n0,on a
⇡N(x)=
N
X
n=0
xnen.
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Exercice 1. D´emontrer la propri´et´e pr´ec´edente.
Ainsi, dans le lemme, on a en fait montr´e que la suite (⇡N(x))N0convergeait vers xdans
`2.Comme on a aussi montr´e
⇡N(x)=
N
X
n=0
hen,xien,
on obtient donc
8x2`2,x=
1
X
n=0
hen,xien.
3.2 Familles totales
On travaille maintenant dans un espace de Hilbert complexe 1Hde dimension infinie et
on suppose qu’il existe (en)n2Nune famille orthonorm´ee.
Lemme 3. Soit (xn)n02`2(N,C)alors la suite (XN)N0d’´el´ements de Hd´efinis par
XN:=
N
X
n=0
xnen,
converge vers un ´el´ement not´e
1
X
n=0
xnenou X
n0
xnen.
D´emonstration. Il suffit de montrer que la suite (XN)N0est de Cauchy. Comme la famille
(en)n0est orthonorm´ee, on a
8p>q, kXpXqk2=
q
X
n=p+1
|xn|2.
Comme x2`2,cela entraˆıne que (XN)N0est une suite de Cauchy de Hqui converge donc
puisque ce dernier est complet.
Remarque : Par d´efinition on a donc que, pour tout x2`2,
X
n0
xnen2vect(en)n0.
Th´eor`eme 2. Soit x2Het (en)n0une famille orthonorm´ee. On d´efinit la suite (xn)n0
par xn:= hen,xi.On a alors
1. La suite (xn)n0appartient `a `2(N,C)et
1
X
n=0
|xn|2kxk2.
1. le cas r´eel est compl`etement similaire
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2. Notons F:= vect(en)n0et ⇡la projection orthogonale sur Falors
⇡(x)=X
n0
xnen.
D´emonstration. On note FN:= vect(en)0nN.Comme FNest un sous-espace vectoriel de
dimension finie, il est notamment ferm´e, et on peut noter ⇡Nla projection orthogonale sur
FN.On affirme que, pour tout xet tout Non a
⇡N(x)=
N
X
n=0
xnen.
En e↵et, si on note XN:= PN
n=0 xnen,il est d’abord clair que XN2FN.De plus, pour tout
0nN, on a
hen,xXNi=xnhen,X
Ni
=0.
Ce qui prouve xXN2F?
Net donc l’assertion. On en d´eduit que, pour tout N2N,
kXNk2=
N
X
n=0
|xn|2kxk2.
Ceci donne le premier point en passant `a la limite.
D’apr`es le premier point, X:= Pn0xnenest bien d´efini et appartient `a Fpuisque c’est
une limite de combinaisons lin´eaires finies des (en)n0.Par ailleurs, par continuit´e du produit
scalaire avec enon a
8n0,hen,xXi=lim
N1hen,xXNi=0.
Par lin´earit´e, on en d´eduit que
8y2vect(en)n0,hy, x Xi=0.
Par continuit´e, on en d´eduit,
8z2F, hz,x Xi=0.
D’o`u X=⇡(x).
Remarque : La premi`ere in´egalit´e dans la proposition, valable d`es que (en)n0est une fa-
mille orthonorm´ee d’un espace de Hilbert H, s’appelle l’in´egalit´e de Bessel.
Corollaire 2. Avec les notations du th´eor`eme pr´ec´edent.
k⇡(x)k2=X
n0
|xn|2,
d(x, F )2=kxk2X
n0
|xn|2.
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