cours d`algèbre linéaire et bilinéaire

Algèbre linéaire et bilinéaire
(version du 17 février 2017)
Bernard Le Stum

Il existe [.. .] un certain ordre de considérations Métaphysiques qui planent sur tous les calculs, et
qui souvent les rendent inutiles, Évariste Galois.
Réalisé en L
A
T
EX à partir du modèle Legrand Orange Book
Copyright c 2016 Bernard Le Stum

Table des matières
Introduction ................................................... 7
IPremière partie
1Structures algébriques ........................................ 13
1.1 Ensemble 13
1.2 Monoïde, groupe 18
1.3 Anneau, corps 22
1.4 Module, espace vectoriel 24
1.5 Algèbre 26
1.6 Opérations élémentaires 27
1.7 Exercices 29
2Algèbre linéaire .............................................. 33
2.1 Espace vectoriel 33
2.2 Image, noyau 34
2.3 Produit 36
2.4 Dual (début) 39
2.5 Orthogonal 41
2.6 Quotient 44
2.7 Exercices 48

3Somme directe, base ......................................... 51
3.1 Somme directe (externe) 51
3.2 Somme directe interne 55
3.3 Base 58
3.4 Théorème d’existence 61
3.5 Dual (suite) 62
3.6 Exercices 65
II Seconde partie
4Dimension ................................................... 69
4.1 Dimension 69
4.2 Rang 72
4.3 Changement de base 75
4.4 Dual (fin) 78
4.5 Exercices 82
5Trace et déterminant ......................................... 85
5.1 Application multilinéaire 85
5.2 Produit tensoriel 89
5.3 Trace 92
5.4 Puissance extérieure 94
5.5 Déterminant 98
5.6 Exercices 102
6Classification des endomorphismes .......................... 105
6.1 Polynôme annulateur 105
6.2 Diagonalisation 108
6.3 Endomorphisme nilpotent 111
6.4 Trigonalisation 112
6.5 Exercices 115
III Troisième partie
7Forme quadratique .......................................... 121
7.1 Forme bilinéaire sur un espace vectoriel 121
7.2 Forme bilinéaire symétrique non dégénérée 123
7.3 Forme quadratique 126
7.4 Décomposition d’une forme quadratique 129
7.5 Formes quadratiques complexes et réelles 131
7.6 Exercices 134

5
8Espace vectoriel normé ...................................... 137
8.1 Topologie 137
8.2 Valeur absolue 139
8.3 Norme 140
8.4 Espace de Banach 143
8.5 Algèbre de Banach 145
8.6 Exponentielle 146
8.7 Fonction vectorielle 149
8.8 Exercices 152
9Espace vectoriel euclidien ................................... 155
9.1 Produit scalaire 155
9.2 Espace euclidien 157
9.3 Réduction des matrices symétriques 161
9.4 Forme hermitienne 163
9.5 Espace préhilbertien 168
9.6 Exercices 170
IV Compléments
Solutions des exercices 175
Initiation à Sagemath 183
Références 186