Chapitre 3 - IMJ-PRG

CHAPITRE 3
MATRICES, APPLICATIONS LIN´ EAIRES, SYST` EMES
LIN´ EAIRES, D´ ETERMINANTS
Pour tout ce chapitre, on fixe un corps K.
3.1. Matrices
D´efinitions 3.1. — Soient p, q ∈N∗.
(1) On note Mp,q(K) l’ensemble des matrices `a coefficients dans K`a plignes et qcolonnes, i.e.
Mp,q(K) = 
a11 a12 · · · a1q
a21 a22 · · · a2q
.
.
..
.
.....
.
.
ap1ap2· · · apq
aij ∈K .
Une telle matrice est not´ee en abr´eg´e A= (aij )i=1,...,p
j=1,...,q
. Si q=p, on ´ecrit Mp(K) au lieu de Mpp(K)
et l’on ´ecrit A= (aij )i,j=1,...,p ; une telle matrice est dite «carr´ee de taille p».
(2) Mp,q(K) est un K-espace vectoriel pour l’addition et la multiplication par un scalaire d´efinies
par :
(aij)i=1,...,p
j=1,...,q
+ (bij)i=1,...,p
j=1,...,q
= (aij +bij)i=1,...,p
j=1,...,q
et t·(aij)i=1,...,p
j=1,...,q
= (taij)i=1,...,p
j=1,...,q
.
(3) On voit que Mp,q(K) est de dimension pq. Plus pr´ecis´ement, pour tout i, j, on note Eij la
matrice dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui de la ligne iet colonne j, qui vaut 1. Ces
matrices s’appellent les «matrices ´el´ementaires »et forment une base de Mp,q(K). En effet, toute
matrice A= (aij)i=1,...,p
j=1,...,q
s’´ecrit de fa¸con unique comme combinaison lin´eaire des Eij , `a savoir
A=Pi=1,...,p
j=1,...,q
aijEij .
Exemple 3.2. — Si q=p= 2, les matrices ´el´ementaires sont :
E11 =1 0
0 0E12 =0 1 0 0E21 =0 0 1 0E22 =0 0 0 1.
Pour toute matrice A=a b
c d, on a a b c d=a1 0 0 0+b0 1 0 0+c0 0 1 0+d0 0 0 1.
3.1.1. Multiplication des matrices. — On peut multiplier deux matrices A∈Mpn(K) et
B∈Mrq (K) uniquement si r=n, c.-`a-d., si le nombre de colonnes de la premi`ere ´egale le nombre
de lignes de la seconde. On obtient alors une matrice AB ∈Mpq(K). Avant de donner la formule
g´en´erale, illustrons ceci dans le cas o`u p= 1 et q= 1, i.e. lorsque A(resp. B) est une matrice
ligne (resp. colonne). Dans ce cas, ´ecrivant A= (a∗1, a∗2,· · · , a∗n) et B=
b1•
b2•
.
.
.
bn•
on a :

22 CHAPITRE 3. MATRICES, APPLICATIONS LIN´ EAIRES, SYST` EMES LIN´ EAIRES, D´ ETERMINANTS
(?)
b1•
b2•
.
.
.
bn•
(a∗1, a∗2,· · · , a∗n) = a∗1b1•+a∗2b2•+· · · +a∗nbn•=Pn
k=1 a∗kbk•
On voit aussitˆot que si t∈Ket si A0= (a0
∗1, a∗2,· · · , a0
∗n) et B0=
b0
1•
b0
2•
.
.
.
b0
n•
sont d’autres matrices
ligne et colonne, on a les ´egalit´es :
(‡)
(tA +A0)B= (ta∗1+a0
∗1)b1•+ (ta∗2+a0 ∗2)b2•+· · · + (ta∗n+a0
∗n)bn•
=t(a∗1b1•+a∗2b2•+· · · +a∗nbn•) + a0
∗1b1•+a0 ∗2b2•+· · · +a0
∗nbn•
=tAB +A0B.
A(tB +B0) = a∗1(tb1•+b0
1•) + a∗2(tb2•+b0 2•) + · · · +a∗n(tbn•+b0
n•)
=t(a∗1b1•+a∗2b2•+· · · +a∗nbn•) + a∗1b0
1•+a∗2b0 2•+· · · +a∗nb0
n•
=tAB +AB0.
Cette importante remarque ´etant faite, on peut maintenant donner la :
D´efinition 3.3. — Le produit de deux matrices A∈Mp,n(K) et B∈Mn,q (K) est la matrice
(Q) P∈Mp,q(K) o`u, pour chaque i= 1, . . . , p et j= 1, . . . , q, le coefficient Pij est le produit de la
i-`eme ligne Lide Apar la j-`eme colonne Cjde B, c.-`a-d., rempla¸cant ∗par iet •par jdans la
formule (?), on a :
(?)Pij =ai1b1j+ai2b2j+ainbnj =
n
X
k=1
aikbkj .
Il r´esulte de cette d´efinition que si on note C1, . . . , Cqles colonnes de B, alors la matrice P=AB
a pour colonnes les matrices colonnes ACj. Donc, si l’on consid`ere Bcomme la juxtaposition de
ses colonnes en ´ecrivant : B= (C1, . . . , Cq) alors on a AB = (AC1, . . . , ACq) .
Proposition 3.4. — Soient n, p, q, r ∈N∗.
(Q) (i) Le produit matriciel Mp,n(K)×Mn,q(K)→Mp,q(K)est bilin´eaire, i.e. pour tout α, β ∈K,
A, A0∈Mp,n(K)et B, B0∈Mn,q(K), on a :
(αA +A0)B=αAB +A0Bet A(βB +B0) = βAB +AB0.
(ii) Le produit matriciel est associatif : pour tout A∈Mp,n(K),B∈Mn,q(K)et C∈Mq,r(K),
on a (AB)C=A(BC). On pourra donc omettre les parenth`eses.
(iii) Soit In∈Mn(K)la matrice dont les coefficients diagonaux valent 1et tous les autres sont
nuls. Alors InB=B=BInpour tout B∈Mn(K).
D´emonstration. — Le point (i) d´ecoule aussitˆot des ´egalit´es (‡) : pour chaque couple d’indices
(i, j), le coefficient d’indices (i, j) de (αA +A0)Best α(AB)ij + (A0B)ij , qui est le coefficient
d’indices (i, j) de αAB +A0B. On a donc (αA +A0)B=αAB +A0B. Et de mˆeme A(βB +B0) =
βAB +AB0.
Pour prouver (ii), fixons i∈ {1, . . . , p}et j∈ {1, . . . , r}. Alors, d’une part,
(AB)Cij =
q
X
k=1
(AB)ikCkj =
q
X
k=1 n
X
`=1
Ai`B`k!Ckj =X
k=1,...,q
`=1,...,n
Ai`B`kCkj.

3.1. MATRICES 23
Calculons maintenant A(BC)ij . Comme les indices de sommation sont «muets »(i.e. leur nom
n’a pas vraiment d’importance), on peut commencer par sommer sur `= 1, . . . , n et l’on obtient :
A(BC)ij =
n
X
`=1
Ai`(BC)`j =
n
X
`=1
Ai` q
X
k=1
B`kCkj !=X
k=1,...,q
`=1,...,n
Ai`B`kCkj.
On a donc (AB)Cij =A(BC)ij pour tout i, j, d’o`u (AB)C=A(BC).
Prouvons (iii). Pour tout i, j ∈ {1, . . . , n}, (InB)ij =Pn
k=0(In)ikBkj ; or le coefficient (In)ik
vaut 1 si k=iet 0 sinon, donc la somme pr´ec´edente ´egale Bij . Ceci prouve que InB=B. De
mˆeme, (BIn)ij =Pn
k=0 Bik(In)kj ´egale Bij et donc BIn=B. La proposition est d´emontr´ee.
Remarque 3.5. — Le produit de matrices n’est pas commutatif en g´en´eral. D’abord, pour des
raisons ´evidentes : si A∈Mp,n(K) et B∈Mn,q (K) et si q6=p, on peut former le produit AB mais pas le
produit BA. Mˆeme si q=p, alors AB est une matrice carr´ee de taille ptandis que BA est une matrice carr´ee
de taille n, et l’on peut avoir p6=n.Mˆeme si q=p=non peut avoir AB 6=BA. Par exemple,
pour n= 2 et A=E12 =0 1
0 0,B=E21 =0 0 1 0, on a : AB =1 0 0 0=E11 et
BA =0 0
0 1=E22 6=AB.
On a vu au chap. 1 qu’un groupe ab´elien (A, +) muni d’une multiplication qui est associative,
bi-additive et poss`ede un ´el´ement unit´e s’appelle un anneau. D’apr`es la proposition pr´ec´edente,
Mn(K), muni de la multiplication des matrices, est donc un anneau (non-commutatif si n≥2),
d’´el´ement unit´e In. De plus, il a la propri´et´e suppl´ementaire d’ˆetre un K-espace vectoriel et que
la multiplication soit bilin´eaire. Pour rendre compte de cela, on introduit la d´efinition suivante :
D´efinition 3.6. — Une K-alg`ebre est un K-espace vectoriel Amuni d’une multiplication A×A
→A, (x, y)7→ xy v´erifiant les propri´et´es suivantes :
(a) Elle est associative : pour tout x, y, z ∈A, (xy)z=x(yz) et donc on peut omettre les
parenth`eses.
(u) Elle poss`ede un ´el´ement unit´e, not´e 1, tel que 1x=x=x1, pour tout x∈A.
(b) La multiplication est bilin´eaire, i.e. lin´eaire en chaque facteur : pour tout α, β ∈Ket
x, x0, y, y0∈A, on a : (αx +x0)y=αxy +x0yet x(βy +y0) = βxy +xy0.
En particulier, Mn(K) est une K-alg`ebre, d’´el´ement unit´e In. Notons que pour tout α∈Ket
B∈Mn(K), on a (αIn)B=α(InB) = αB et de mˆeme B(αIn) = α(BIn) = αB.
Remarque 3.7 (Produits de matrices ´el´ementaires). — Soit n∈N∗. Consid´erons des matrices ´el´ementaires
Eij et Ek` dans Mn(K). Calculons le produit P=Eij Ek`. Il r´esulte de la formule (?) que :
(1) Comme toutes les lignes de Eij sont nulles sauf la i-`eme, il en est de mˆeme pour les lignes de P.
(2) Comme toutes les colonnes de Ek` sont nulles sauf la `-`eme, il en est de mˆeme des colonnes de P.
(3) Donc le seul coefficient ´eventuellement non nul de Pest celui d’indices (i, `), ´egal au produit de la i-`eme ligne
Lide Eij par la `-`eme colonne C`de Ek`, et qui vaut donc : 1 (seul coeff. non nul de Li, situ´e `a la j-`eme place)
fois le j-`eme coeff. de C`, lequel vaut 1 si j=ket vaut 0 sinon. Ceci montre que Eij Ek` =(Ei` si j=k,
0 sinon.
(4) Pour i6=j, on a donc Eij Eji =Eii, tandis que EjiEij =Ejj 6=Eii.

24 CHAPITRE 3. MATRICES, APPLICATIONS LIN´ EAIRES, SYST` EMES LIN´ EAIRES, D´ ETERMINANTS
3.2. Matrices et applications lin´eaires
Soit n∈N∗. D´esormais, on notera les ´el´ements de Kncomme des vecteurs colonnes v=
x1
.
.
.
xn
.
Alors, la base canonique B= (e1, . . . , en) est form´ee des vecteurs :
e1=
1
0
.
.
.
0
e2=
0
1
.
.
.
0
· · · en=
0
.
.
.
0
1
.
Proposition 3.8. — Soit A∈Mp,n(K).
(Q) (i) Ad´efinit une application lin´eaire φ=φA:Kn→Kp, d´efinie par φ(v) = Av.
(ii) Pour tout j= 1, . . . , n, on a φ(ej) = 
A1j
.
.
.
Apj
=la j-`eme colonne Cjde A.
(iii) Pour tout vecteur v=x1e1+· · · +xnen, on a φ(v) = x1C1+· · · +xnCn.
(iv) Lorsque A=In(auquel cas p=n), l’application φAest l’application identit´e de Kn.
D´emonstration. — Soient α∈Ket v, v0∈Kn, consid´er´es comme des matrices colonnes. Par
lin´earit´e `a droite du produit matriciel, on a A(αv+v0) = αAv+Av0, ce qui prouve que l’application
φ:Kn→Kp,v7→ Av est lin´eaire.
D’apr`es la d´efinition (?) du produit matriciel et de la matrice colonne ej, pour toute matrice
ligne L= (a∗1, a∗2,· · · , a∗n) on a Lej=a∗j, i.e. Lejest le scalaire situ´e sur la j-`eme colonne de
L. Appliquant ceci aux lignes de A, on obtient que Aej=Cj, et (iii) en d´ecoule par lin´earit´e de
φ. Enfin, si A=Inalors Cj=ejpour tout j, donc φest l’application identit´e.
D´efinition et proposition 3.9. — Soient V, W deux K-espaces vectoriels et f:V→Wune
(Q) application lin´eaire.
(i) On note Im(f)l’ensemble des images f(x), lorsque xparcourt V. C’est un sev de W.
(ii) Supposons Vde dimension finie. On appelle rang de φet l’on note rang(φ)la dimen-
sion de Im(φ); celle-ci est ≤dim(V). Si de plus West de dimension finie, on a rang(φ)
≤min(dim(V),dim(W)).
D´emonstration. — Prouvons (i). On a 0W=f(0V)∈Im(f) et si t∈Ket y, y0∈Im(f), il existe
x, x0∈Vtels que f(x) = yet f(x0) = y0; comme fest lin´eaire on a f(tx +x0) = tf(x) + f(x0) =
ty +y0, donc ty +y0∈Im(f). Ceci montre que Im(f) est un sev de W.
Prouvons (ii). Soit B= (e1, . . . , en) une base de V. Alors la famille (f(e1), . . . , f(en)) en-
gendre Im(f) (car si v=x1e1+· · · +xnenalors f(v) = x1f(e1) + · · · +xnf(en)), donc Im(f)
est de dimension p≤n. Si de plus West de dimension finie malors, d’apr`es le «th´eor`eme
fondamental des espaces vectoriels de dimension finie »1.32, on a p≤met donc rang(f) = p≤
min(dim(V),dim(W)).
Th´eor`eme 3.10 (Th´eor`eme du rang). — Soit f:V→Wune application lin´eaire. On sup-
(Q) pose Vde dimension finie n. Alors rang(f) + dim Ker(f) = n.
D´emonstration. — Comme Vest de dimension finie n, alors Ker(f) est de dimension finie d≤n.
Fixons une base C= (e1, . . . , ed) de Ker(f).
1`ere m´ethode (la plus courte). Compl´etons Cen une base B= (e1, . . . , ed, ed+1, . . . , en) de V.
Alors Im(f) = f(V) est engendr´e par f(e1), . . . , f(en) (d’apr`es la d´emonstration de 3.9), donc
par f(ed+1), . . . , f(en) puisque f(ei) = 0 pour i≤d. Montrons que ces vecteurs sont lin´eairement
ind´ependants. Supposons qu’on ait une relation de d´ependance lin´eaire
0 = t1f(ed+1) + · · · +tn−df(en) = f(t1ed+1 +· · · +tn−den),

3.3. SYST` EMES LIN´ EAIRES : TH´ EORIE 25
alors le vecteur t1ed+1 +· · · +tn−denappartient `a Ker(f), donc est combinaison lin´eaire de
e1, . . . , ed, d’o`u une ´egalit´e
t1ed+1 +· · · +tn−den−s1e1− · · · − sded= 0.
Comme (e1, . . . , en) est une base de V, ceci implique ti=0=sjpour tous i, j. Ceci montre que
les vecteurs f(ed+1), . . . , f(en) sont lin´eairement ind´ependants, donc forment une base de f(V),
d’o`u dim f(V) = n−det donc rang(f) = dim f(V) = n−dim Ker(f).
2`eme m´ethode. Donnons une autre d´emonstration. (Elle prouve le r´esultat plus pr´ecis suivant : si
une base (w1,...,wr) de Im(f) est donn´ee et si v1,...,vr∈Vv´erifient f(vi) = wipour i= 1,...,r, alors
(e1,...,ed, v1,...,vr) est une base de V.) Comme Im(f) = f(V) est engendr´e par n´el´ements (les images
d’une base de V), Im(f) est de dimension finie r≤n. Soit (w1, . . . , wr) une base de Im(f) et pour
i= 1, . . . , r, soit viun ´el´ement de Vtel que f(vi) = wi. Alors la famille B= (e1, . . . , ed, v1, . . . , vr)
est une base de V. En effet, elle est g´en´eratrice : soit v∈Varbitraire, son image f(v) s’´ecrit
f(v) = t1w1+· · · +trwr, d’o`u f(v−t1v1− · · · − trvr) = 0, donc v−t1v1− · · · − trvrappartient
`a Ker(f), donc s’´ecrit s1e1+· · · +spep, d’o`u
v=t1v1+· · · +trvr+s1e1+· · · +spep.
Ceci montre que Best g´en´eratrice. Elle est aussi libre : si
0 = t1v1+· · · +trvr+s1e1+· · · +spep
alors 0 = f(0) = t1w1+· · · +trwr, donc chaque tiest nul (puisque (w1, . . . , wr) est libre), d’o`u
0 = s1e1+· · · +spep, donc chaque sjest nul (puisque (e1, . . . , ep) est libre). Ceci montre que B
est aussi libre, donc est une base de V. Donc dim V=d+r= dim Ker(f) + rg(f).
D´efinition et proposition 3.11 (Image, rang et noyau d’une matrice)
Soit A∈Mp,n(K)et soit φl’application lin´eaire Kn→Kpassoci´ee.
(Q) (i) On note Ker(A)le noyau de φ, i.e. l’ensemble des vecteurs v∈Kntels que Av = 0. C’est
un sev de Kn.
(ii) On note Im(A)l’image de φ, i.e. le sev de Kpform´e des images Av, et rang(A) = rang(φ) =
dim Im(A).
(iii) rang(A)est la dimension du sev de Kpengendr´e par les colonnes C1, . . . , Cnde A.
(iv) rang(A)est le nombre maximum de colonnes de Aqui sont lin´eairement ind´ependantes.
D´emonstration. — Notons B= (e1, . . . , en) la base canonique de Kn. Alors E= Im(φ) est
engendr´e par les vecteurs φ(ei)∈Kp, qui sont les colonnes de A. Ceci prouve (iii).
De plus, on peut extraire de la famille g´en´eratrice (C1, . . . , Cn) de Eune base, de cardinal
r= dim(E), ce qui donne rcolonnes lin´eairement ind´ependantes. De plus, dans Etoute famille
de cardinal > r est li´ee, en particulier rest le nombre maximum de colonnes de Aqui sont
lin´eairement ind´ependantes.
3.3. Syst`emes lin´eaires : th´eorie
Soient n, p ∈N∗. Pour i= 1, . . . , p et j= 1, . . . , n, soient aij et bides ´el´ements de K. On
consid`ere le syst`eme lin´eaire S`a ninconnues x1, . . . , xndans Kci-dessous :
(S)
a11x1+a12x2+· · · +a1nxn=b1
a21x1+a22x2+· · · +a2nxn=b2
.
.
..
.
..
.
.
ap1x1+ap2x2+· · · +apnxn=bp
En introduisant les vecteurs colonnes X=
x1
.
.
.
xn
∈Knet b=
b1
.
.
.
bp
∈Kpet la matrice
A= (aij)i=1,...,p
j=1,...,n
∈Mp,n(K), ceci ´equivaut au syst`eme matriciel
(∗)AX =b.