Polynômes, algèbre linéaire

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Samedi 21/03/2015
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Devoir Surveillé 6 – Polynômes, alèbre linéaire
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté, la précision et la concision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
L’usage de tout document et de tout matériel électronique est interdit. Notamment, les téléphones portables doivent être éteints
et rangés.
Problème 1 –La quadrature du cercle
Le but de ce problème est de démontrer la transcendance de π, résultat prouvé par Lindemann à la fin du 19esiècle,
et qui met fin à plusieurs siècles, voire millénaires de recherche sur la quadrature du cercle : en effet, une conséquence
de la transcendance de πest l’impossibilité de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un cercle
donné.
On commence par l’étude de propriétés des nombres algébriques, le point nous intéressant plus particulièrement étant la
stabilité par produit. Ceci nous permet de nous ramener à l’étude de la transcendance de iπ, qu’on étudie en remarquant
de ce nombre vérifie une équation simple eiπ+ 1 = 0.
On pourra admettre que si Aest un anneau intègre et si P∈A[X1,...,Xn]est un polynôme symétrique en les Xi
(c’est-à-dire invariant par permutation des variables), de degré n, alors il peut s’écrire comme polynôme à coefficients
dans A, de degré au plus n, en les polynômes symétriques élémentaires
Σk=X
16i1<···<ik6n
Xi1···Xik,
propriété démontrée dans un DM.
Partie I – Extensions algébriques
Soit Kun corps. On appelle extension de Kun corps Ltel que Ksoit un sous-corps de L. Soit Lune extension de
K, et α∈L. On dit que αest algébrique sur Ks’il existe un polynôme P∈K[X]non nul tel que P(α) = 0.
Par exemple, dire d’un élément αde Cest algébrique sur Qéquivaut à dire qu’il existe un polynôme à coefficients
rationnels P6= 0 tel que P(α) = 0. Quitte à multiplier les coefficients par le ppcm des dénominateurs des coefficients,
cela équivaut à dire qu’il existe un polynôme non nul à coefficients entiers annulant α.
Un élément α∈Lnon algébrique sur Ksera dit transcendant sur K.
1. Degré d’une extension
(a) Soit Lune extension de K. Montrer que Lest un espace vectoriel sur K. Si Lest de dimension finie sur
K, on note [L:K]sa dimension, appelée degré de l’extension Lsur K.
(b) Soit Lune extension de Kde degré fini [L:K], et Mune extension de Lde degré fini [M:L]. En
considérant la famille (aibj), où (ai)est une base de Lsur Ket (bj)une base de Msur L, montrer que M
est une extension de Kde degré fini, et qu’on a la relation :
[M:K] = [M:L][L:K].
2. Adjonction d’un élément à un corps
(a) Soit α∈L. On note K(α)le plus petit sous-corps de Lcontenant Ket α. Justifier l’existence de K(α), et
justifier que c’est une algèbre sur K.
(b) On suppose dans cette question que αest algébrique.
i. Justifier l’existence d’un polynôme unitaire de degré minimal Pαtel que Pα(α) = 0, et justifier que Pα
est irréductible dans K[X].
1

ii. Soit ϕαl’unique application K-linéaire de K[X]dans K[α]telle que pour tout k∈N,ϕ(Xk) = αk.
Justifier que ϕest un morphisme d’algèbre (c’est-à-dire qu’en plus d’être une application linéaire, c’est
aussi un morphisme d’anneau), et déterminer son noyau.
iii. En déduire que K(α)est isomorphe à K[X]/(Pα), où (Pa)désigne l’idéal engendré par Pα
iv. Soit p:K[X]7→ K[X]/(Pα)la projection canonique associant à un polynôme Psa classe dans le
quotient. Montrer que (p(1),··· , p(Xd−1)) est une base du K-espace vectoriel K[X]/(Pα), où d=
deg(Pα).
3. Caractérisation des éléments algébriques
Montrer que α∈Lest algébrique sur Ksi et seulement si l’extension K(α)sur Kest de degré fini, ce qu’on
note [K(α) : K]<+∞.
4. Produit d’éléments algébriques.
On dit que l’extension Lsur Kest algébrique si et seulement si tout élément α∈Lest algébrique sur K.
(a) Montrer que si [L:K]est fini, alors Lest algébrique sur K.
(b) Soit Lune extension du corps Ket Mune extension du corps L. Montrer que si α∈Mest algébrique sur
K, alors il est algébrique sur L.
(c) En déduire que si Lest une extension de K, et si deux éléments αet βde Lsont algébriques, alors K(α)(β)
(corps obtenu en ajoignant βau corps obtenu en adjoignant αàK) est algébrique sur K.
(d) En déduire que le produit de deux nombres algébriques est algébrique.
Partie II – Transcendance de π
Dans cette partie, on dira simplement que α∈Cest « transcendant » ou « algébrique », à la place de « transcendant
sur Q» ou « algébrique sur Q».
On démontre la transcendance de πpar l’absurde. Pour cela, on suppose que πest algébrique. On admettra que πn’est
pas rationnel, propriété qu’on prouvera en exercice au courant de l’année.
1. Montrer que sous la supposition faite iπest algébrique.
2. Soit Pun polynôme minimal unitaire annulant iπ, et soit nson degré.
(a) Soit Kun corps et Lune extension de K. Soit Qet Rdeux polynômes de K[X]. Montrer que Qet Rsont
premier entre eux dans K[X]si et seulement si ils sont premiers entre eux dans L[X].
(b) Justifier que Pest irréductible dans Q[X], et que toutes ses racines dans Csont simples. On les note
α1,...,αn, en adoptant une numérotation de ces racines de sorte que α1= i π. Pourquoi peut-on affirmer
que n > 1?
3. On définit le polynôme Q0∈Z[X, X1,...,Xn] = Z[X][X1,...,Xn]par
Q0=X
n
Y
k=1 
Y
16i1<···<ik6n
(X−Xi1− · · · − Xik)
=Y
I⊂[[1,n]] X−X
i∈I
Xi!.
(a) Montrer qu’en tant que polynôme des indéterminées X1,...,Xnà coefficients dans Z[X],Q0est symétrique
en X1,...,Xn.
(b) On définit le polynôme Q1∈C[X]par :
Q1(X) = Q0(X, α1,...,αn).
On note γ0,··· , γsles racines non nécessairement distinctes de Q1, pouvant donc s’exprimer facilement en
fonction des αi. On adopte une numérotation de ces racines de sorte que γ0= 0.
Justifier que Q1∈Q[X].
Il existe donc un polynôme Q2à coefficients entiers, dont les γisont les racines, obtenu en multipliant
Q1par un certain entier. On se donne un tel polynôme Q2dans la suite du problème.
2

(c) En considérant le produit
n
Y
i=1
(eαi+ 1), justifier que l’on a :
eγ0+···+ eγs= 0.
Quitte à regrouper les exponentielles égales à 1et à réindexer les γi, on peut supposer qu’on a une relation
eγ1+···+ eγr+m= 0,
où les γisont cette fois tous non nuls nuls, et mest un entier strictement positif. Ainsi, 0est racine de
multiplicité mde Q2. On définit Q∈Z[X]par Q2=XmQ. Ainsi, les racines de Qsont exactement les γi,
i∈[[1, r]].
4. Soit cle coefficient dominant de Qet pun nombre premier. L’entier rest comme ci-dessus. On définit :
f(X) = crp−1
(p−1)!Xp−1(Q(X))pet F(X) = f(X) + f′(X) + ···+f(rp+p−1)(X).
(a) Soit gla fonction définie sur Rpar :
g(x) = e−xF(x).
Exprimer g′en fonction de f.
(b) En déduire que pour tout x∈R,
F(x)−exF(0) = −xZ1
0
e(1−λ)xf(λx)dλ,
puis que r
X
j=1
F(γj) + mF (0) = −
r
X
j=1
γjZ1
0
e(1−λ)γjf(λγj)dλ.
(c) Montrer que pour tout k∈[[1, p −1]],f(k)(γj) = 0.
(d) En utilisant la symétrie en les γjde l’expression
r
X
j=1
F(γj), montrer que
r
X
k=1
F(γj)est un entier divisible
par p.
(e) En déduire que
r
X
j=1
F(γj) + mF (0) ≡mcrp−1cp
0[p],
où c0est le coefficient constant de Q.
(f) En déduire que pour tout ppremier suffisamment grand,
r
X
j=1
F(γj) + mF (0) est un entier non nul.
5. Montrer que πest transcendant.
Problème 2 –(Extrait de X-ENS 2013) – Opérateurs quantiques modulaires
Dans tout le problème, tous les espaces vectoriels ont pour corps de base C. On note CZl’espace vectoriel des fonctions
de Zdans C. Si fest une fonction de Zdans C, on appelle support de f, et on note Supp(f), l’ensemble des k∈Z
tels que f(k)6= 0. Dans tout le problème, Vdésigne l’ensemble des fonctions de Zdans Cdont le support est un
ensemble fini.
Partie I – Opérateurs sur les fonctions à support fini
1. (a) Montrer que Vest un sous-espace vectoriel de CZ.
(b) Étant donné f∈CZ, on définit E(f)∈CZpar E(f)(k) = f(k+ 1).
Montrer que E∈ L(CZ), et que Vest stable par E.
On note encore El’endomorphisme induit par Esur V.
(c) Montrer que E∈GL(V).
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2. Pour tout i∈Z, on pose vi∈CZdéfinie pour tout k∈Zpar vi(k) = δi,k, où δi,k est le symbole de Kronecker,
égal à 1si i=k, et nul sinon.
(a) Montrer que la famille (vi)i∈Zest une base de V.
(b) Calculer E(vi).
Partie II – Opérateurs quantiques
Soit ℓun entier impair supérieur ou égal à 3. Soit qune racine primitive ℓ-ième de 1dans C, c’est-à-dire une racine
de 1engendrant multiplicativement le groupe des racines ℓ-ièmes de l’unité.
Soient λet µdans CZ. On définit Fet Hdans L(V)par :
H(vi) = λ(i)viet F(vi) = µ(i)vi+1.
1. Montrer que H◦E=q2E◦Hsi et seulement si pour tout i∈Z,λ(i) = λ(0)q−2i.
Dans la suite du problème, on suppose cette condition satisfaite. On suppose de plus que λ(0) 6= 0.
2. Montrer que H∈GL(V).
3. Montrer que E◦F=F◦E+H−H−1si et seulement si pour tout i∈Z,
µ(i) = µ(i−1) + λ(0)q−2i−λ(0)−1q2i.
Dans la suite du problème, on suppose cette condition satisfaite.
4. Montrer que λet µsont ℓ-périodiques (on ne demande pas de justifier que ℓest la période minimale)
5. Soit C= (q−q−1)E◦F+q−1H+qH−1.
(a) Montrer que C= (q−q−1)F◦E+qH +q−1H−1.
(b) Montrer que Cest une homothétie de V. On note kson rapport.
Partie III – Opérateurs quantiques modulaires
On pose Wℓ=
ℓ−1
M
k=0
Cvi= Vect(v0, . . . , vℓ−1).
Soit a∈C∗. On définit Pade Vdans Vpar :
Pa(vi) = apvr,
où pour i∈Z, on définit ret prespectivement comme le reste et le quotient de la division euclidienne de ipar ℓ.
Autrement dit, i=pℓ +r, où 06r < ℓ et p∈Z.
1. Montrer que Paest un projecteur, d’image Wℓ.
On dit qu’un élément ϕde L(V)est compatible avec Pasi Pa◦ϕ◦Pa=Pa◦ϕ.
2. (a) Montrer que si ϕ∈ L(V)commute avec Pa, alors ϕest compatible avec Pa.
(b) Montrer que Het H−1sont compatibles avec Pa.
Soit Uql’ensemble des endomorphismes ϕ∈ L(E)compatibles avec Pa.
3. Montrer que Uqest une sous-algèbre de L(V).
4. Montrer que E∈ Uqet F∈ Uq.
5. (a) Montrer qu’il existe un unique morphisme d’algèbre Ψa:Uq→ L(Wℓ), tel que
∀ϕ∈ Uq,Ψa(ϕ)◦Pa=Pa◦ϕ.
(b) Montrer que ϕ∈ Uqest contenu dans le noyau de Ψasi et seulement si l’image de ϕest dans le sous-espace
de Vengendré par les vecteurs vi−apvr,i∈Z, où i=pℓ +rest la division euclidienne de ipar ℓ.
6. Donner une condition nécessaire et suffisante sur k(défini dans la partie II) pour que Ψa(F)soit nilpotent.
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