1 S Équations et inéquations trigonométriques avec des cosinus et

1
ère
S
2°) Égalité de deux sinus
Équations et inéquations trigonométriques
avec des cosinus et des sinus (2)
a et b sont deux réels.
B
Objectifs du chapitre :
- étudier la résolution trigonométriques dans  (et non plus dans un intervalle borné comme on l’a déjà
b
– b
vu)
- étudier la résolution d’inéquations trigonométriques nécessitant un changement d’inconnue
A'
A
O
I. Règles fondamentales
1°) Égalité de deux cosinus
a et b sont deux réels.
B'
B
b
sin a = sin b si et seulement si
A'
A
O
a  b  2k   k   
ou
a    b  2k '   k '   
En effet, si l’on note M et N les points images respectifs de a et b sur le cercle trigonométrique.
–b
sin a = sin b si et seulement si M et N ont la même abscisse
B'
si et seulement si M et N sont confondus ou symétriques par rapport à l’axe des ordonnées
cos a = cos b si et seulement si
a  b  2k   k   
ou
a   b  2k '   k '   
En effet, si l’on note M et N les points images respectifs de a et b sur le cercle trigonométrique.
cos a = cos b si et seulement si M et N ont la même abscisse
si et seulement si M et N sont confondus ou symétriques par rapport à l’axe des abscisses
1
2
II. Exemples de résolutions d’équations trigonométriques



(2)  sin  x    sin
3
4

 
x    2k   k   
3 4
 ou


x      2k '   k '   
3
4
1°) Exemple 1
Résoudre dans  l’équation cos x 
1
(1).
2
Astuce de départ :
1

 cos
2
3
x
 ou
Réécriture de l’équation :
(1) s’écrit cos x  cos
 
  2k 
4 3
x  

3
x
 k  
 
  2k '   k '   
4 3

 2k 
12
 k  

(1)  cos x  cos
(« on équilibre l’équation »)
3

x   2k   k   
3
 ou
(on « enlève » les cos avec la règle 1)

x    2k '   k '   
3
 
  5

S2   
 2 k  , k       2k '  , k '   
 12
  12


  

S1    2k , k        2k '  , k '   
3
  3

3°) Exemple 3
 ou
x
5
 2k '   k '   
12
Résoudre dans  l’équation cos 3x = sin x (3).
2°) Exemple 2
Astuce de départ :

2

Résoudre dans  l’équation sin  x   
3
2


(2).


sin x  cos   x 
2

ne pas développer
Astuce de départ :
Réécriture de l’équation :
2

 sin
2
4


(3) s’écrit cos 3 x  cos   x 
2

Réécriture de l’équation :



(2) s’écrit sin  x    sin
3
4


3
4
1ère famille (points rouges)


(3)  cos 3 x  cos   x 
2


3x   x  2k   k   
2
 ou

3 x    x  2k '   k '   
2
4x 
 ou

 2k 
2
2x  
 k  

 2k '   k '   
2

 2k 
x 2
k  
4
 ou

  2k ' 
x 2
 k '  
2
x
 ou


k
8
2
x
2e famille (points verts)
k 0 :

8
k'0 : 

4
k 1 :
  5
 
8 2 8
k ' 1 : 

3

4
4
k 2 :

9

8
8
k 3 :
 3 13


8 2
8
III. Équations trigonométriques particulières
1°) Règles
Par lecture du cercle trigonométrique, on obtient dans chaque cas une seule famille de solutions.
cos x = 1  x = 2k (k  )
 k  
cos x = – 1  x =  + 2k (k  )

 k  (k  )
2

sin x = 1  x   2k  (k  )
2

sin x = – 1  x    2k  (k  )
2
cos x = 0  x 

 k ' k '  
4


  

S 3    k , k        k ' , k '   
2
8
  4

sin x = 0  x = k
(k  )
2°) Justification
 5 
M1 
 B
 8 
 3 
M'1 

 4 
A'
 9 
M2 

 8 
Donner 6 cercles trigonométriques.

M0  
8
A
O
 
M'0   
 4
13 
B' M 3 

 8 
5
6
 Équation cos x = 1
 Équation cos x = 0
Les solutions ont pour point image A.
Les solutions ont pour points images B et B’.
B
B
A'
A'
A
O
A
O
B'
B'
 3

3
,
,  , 

2 2
2
2

Il s’agit des nombres de la forme x   k  avec k  .
2
Les solutions sont les nombres 0, 2, 4, – 2, – 4

Les solutions sont les nombres
Il s’agit des nombres de la forme 2kavec k  .
 Équation cos x = – 1
 Équation sin x = 1
Les solutions ont pour point image A’.
Les solutions ont pour point image B.
B
A'
B
A
A'
O
A
O
B'
B'
Les solutions sont les nombres , 3, – , – 3
 



,  2 ,  4 ,  2  ,  4  
2 2
2
2
2

Il s’agit des nombres de la forme  2k  avec k  .
2
Il s’agit des nombres de la forme kavec k  .
Les solutions sont les nombres
7
8
 Équation sin x = – 1
IV. Résolution d’une équation trigonométrique dans un intervalle donné (exemple)
Les solutions ont pour point image B’.
Résoudre dans [0 ; 4] l’équation cos 2 x 
B
1
(1).
2
1ère étape :
On résout l’équation dans .
Astuce de départ :
A'
A
O
cos
 1

3 2
(1)  cos 2 x  cos
B'
2x 
 ou

3

 2k 
3
 k  

2 x    2k'   k '   
3





,   2 ,   4 ,   2  ,   4  
2
2
2
2
2

Il s’agit des nombres de la forme   2k  avec k  .
2
Les solutions sont les nombres 
x
 ou
 Équation sin x = 0

 k
6
x
Les solutions ont pour points images A et A’.
k  

 k ' k '  
6
B
A'
A
O
B'
Les solutions sont les nombres 0, , 2, 3, 4, – , – 2, – 3, – 4
Il s’agit des nombres de la forme x  k  avec k  .
9
10
2e étape :
V. Inéquations trigonométriques
On cherche les solutions dans [0 ; 4]
1°) Remarques préliminaires
1ère famille : x 

 k
6
On cherche k   tel que :

0   k   4
6
1
0  k  4
6

1
23
k 
6
6
2e famille : x  
k 
:  (
 1
 
 6
On cherche k '   tel que :

0    k '   4
6
1
0   k ' 4
6
1
25
k'
6
6
1
  0,166...
6
23
 3,833...
6
1
 0,166...
6
25
 4,1666...
6
k 
k '
Donc
Donc
k 0
ou
k 1
ou
k 2
ou
k 3
 Il n’y a pas de règle.

 k '  k ' 
6
 On utilise le cercle trigonométrique.
2°) Exemple
1
  
Résoudre dans l’intervalle   ;  l’inéquation sin 2 x  .
2
 2 2
:  (
1ère étape :
1

6
On pose : X = 2x.

  2x  
1
famille :


 0 
6
6

7
Pour k  1 , x    
6
6

13
Pour k  2 , x   2 
6
6

19
Pour k  3 , x   3 
6
6
Pour k  0 , x 
 2 (2
  X  
1

sin X 
Donc 
2
 X     ; 

k' 1
ou
k'  2
ou
k'  3
ou
k'  4
ère


x
2
2
B
5
6
1
2

6
e
2 famille :
A'

5
Pour k '  1 , x     
6
6

11
Pour k '  2 , x    2 
6
6

17
Pour k '  3 , x    3 
6
6

23
Pour k '  4 , x    4 
6
6
O
A
B'
D’après le cercle trigonométrique :

5
X
6
6
On donne l’ensemble des solutions dans [0 ; 4].
  5 7  11 13 17 19 23 
S 0 ; 4    ;
;
;
;
;
;
;

6
6
6
6
6 
6 6 6
11
12
2e étape :
2°) Pour les sinus

2
B
Or X = 2x
Donc

5
 2x 
6
6

5
x
12
12
: 2 (2
A'
O
A
  5 
S ; 
 12 12 

VI. Utilisation de la calculatrice
1°) Pour les cosinus
 B'
2
  
La calculatrice donne une valeur dans l’intervalle   ;  .
 2 2
1
cos x 
2
B
VII. Point méthode pour la résolution d’une équation trigonométrique dans 

3
 On regarde :
- s’il y a un cosinus dans un membre (et un seulement) : on essaie de transformer pour avoir deux cosinus

1
2
0
A'
- s’il y a un sinus dans un membre (et un seulement) : on essaie de transformer pour avoir deux sinus
A
O
- s’il y a un cosinus dans un membre et un cosinus dans l’autre, on transforme le cosinus en sinus ou le
contraire pour avoir soit une égalité de deux cosinus soit une égalité de deux sinus
 Technique particulière : changement d’inconnue X = cos x ou X = sin x.
B'
 Il faut avoir des cosinus ou des sinus « purs » (pas de cosinus avec des carrés, des cubes…)
Calculatrice
Mode radians :
2nd
cos 0,5 = 1,04719…

3
La calculatrice donne une valeur dans l’intervalle [0 ; ].
13
14