Chapitre en 4 Opérations sur les nombres relatifs: multiplication et

Chapitre
en 4 ème
Opérations sur les nombres relatifs:
multiplication et division
➢ Calculer le produit de nombres relatifs simples.
➢ Déterminer le quotient de deux nombres décimaux (positifs ou négatifs).
Chapitre Opérations sur les nombres relatifs:
multiplication et division
1) Opposé d’un nombre relatif
a) Rappels
➢ Pour tout nombre x : 0 × x = x × 0 =0
➢ Pour tout nombre x : x  −x  =  −x   x =0
 −x  est l'opposé de x
➢ Pour des nombres a , b et k quelconques : k ×  a  b  = k ×a  k × b (distributivité)
b) Opposé et multiplication
Multiplier un nombre par (-1) revient à prendre son opposé (admis).
Pour tout nombre x on a : x × −1  = −1  × x =−x
Exemples
3× −1  = −1   −1   −1  =−3
 −2  × −1  =2= 2
Cas particulier important
 −1  ×  −1  =1
2) Multiplier deux nombres relatifs
« Règle des signes » (admise)
➢ Le produit de deux nombres de même signe est positif.
➢ Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.
Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie les distances à zéro
et on applique la règle des signes.
Exemples
A=  −4  × −2,5  = 4 ×2,5  = 10
Si on détaille, A=  −1  × 4 × −1  ×2,5 =  −1  ×  −1  × 4× 2,5 =1 ×10 =10
B = 0,2× −14  =− 0,2 ×14  =−2,8
Remarques (propriétés admises)
➢ Le produit de plusieurs nombres relatifs est positif si ce produit comporte un nombre
pair (multiple de 2) de facteurs négatifs.
Exemple:  −3  × −5  ×8 est positif car ce produit comporte 2 facteurs négatifs.
➢ Le produit de plusieurs nombres relatifs est négatif si ce produit comporte un nombre
impair de facteurs négatifs.
Exemple:  −3  × −5  ×  −2  ×8 est négatif car ce produit comporte 3 facteurs négatifs.
!!Attention !!
Il ne faut pas confondre la règle des signes
négatif × négatif  positif
négatif × positif  négatif
positif × positif  positif
et la règle revue dans le chapitre « Addition de nombres relatifs »
négatif  négatif  négatif
positif  positif  positif
positif  négatif  voir le chapitre Addition de nombres relatifs
3) Diviser deux nombres relatif: quotient
a) Quotient et équation
Exemples
q ×5 =15 donc q = 15 : 5 = 3 , le quotient de 15 par 5 est 3
x × 3 =7 donc x = 7 : 3=
7
7
, le quotient de 7 par 3 est
(nombre fractionnaire)
3
3
b) Définition (rappel de 5 ème)
Le quotient de a par b  b ≠ 0  est le nombre qui multiplié par b donne a
On a donc q × b= a donc q =a : b et on note ce quotient
a
b
Traduction
a
×b=a
b
Si b ≠ 0 on a :
Exemples
7
7
7 7 7 7 7  7 21
× 3= 7 on peut vérifier que ×3 =   =
= =7
3
3
3 3 3
3
3
4
5× =4
5
Cas particuliers
Pour a ≠0 ;
a
=1 ;
a
Par exemple
1
× 3= 1 .
3
a
=a
1
;
0
1
= 0 et
×a=1
a
a
c) Produits et égalités de quotients (5 ème)
Pour des nombres a , b , c et d non nuls :
a c a ×c
× =
b d b× d
Exemples
2 4 2× 4 8
× =
=
3 5 3× 5 15
a×c a c a
a
= × = ×1= (égalité des quotients)
b×c b c b
b
On ne change pas la valeur d’un quotient en multipliant son numérateur et son
dénominateur par un même nombre non nul .
d) Règle des signes pour les quotients (admise)
➢ Le quotient de deux nombres de même signe est un nombre positif.
Exemples
−10 −1  ×10 10
=
= =2
−1  ×5
−5
5
21 21
x × 7 = 21 donc x = = =3
7
7
q × −5  =−10 donc q =
➢ Le quotient de deux nombres de signes contraires est un nombre négatif.
Exemples
−10 −2  × 5 −2
=
=
=−2
5
1 ×5
1
18 −3  × −6  −6 
x × −3  =18 donc x =
=
=
=−6
 −3  ×1
−3
1
q ×5 =−10 donc q =
e) Trois écritures pour un quotient
Exemple
−12 −12  × −1 
12
=
=



7
7 × −1
−7 
−12 −1  × 12 −1  12
12
12
=
=
× = −1  × =−
7
1 ×7
1
7
7
7
On a donc
12 −12
12
=
=−
(trois écritures du quotient).
−7
7
7
De façon générale:
Pour a et b  b ≠0  :
−a
a
a
=
=−
b
−b
b
Exemples
A=
−5
5
5
=
=−
3 −3
3
B=
−7
7
7
=
=
−3 −−3  3
C=
4
4
=−
−8
8
4) Inverse d’un nombre relatif
a) Définition
On dit que deux nombres relatifs non nuls x et y sont « inverses » l’un de l’autre
si leur produit est égal à 1, c’est à dire x × y = 1 .
Propriété
L'inverse d'un nombre x (non nul) est
En effet,
1
x
1
x
× x = =1
x
x
Exemples
1
2
L'inverse de 2 est
L'inverse de −2  est
1
−2 
!!Attention !!
Ne pas confondre « inverse » et « opposé »
L'inverse de 4 est
1
alors que l'opposé de 4 est −4 
4
L'inverse de (-3) est
1
alors que l'opposé de −3  est 3
−3 
Remarque
Un nombre et son inverse ont le même signe.
b) Propriété
Diviser un nombre a par un nombre b (non nul) revient à
multiplier a par l’inverse de b.
Traduction
a
1
Pour a et b (non nul) on a donc a : b = = a ×
b
b
Démonstration
1 a 1 a×1 a
a× = × =
=
b 1 b 1× b b
Exemples
A=
10
1
= 10 × = 10× 0,25 =2,5
4
4
5
1
9
C = 9 × = 9 × × 15 = × 5 =3 × 5= 15
3
3
3
1 15
B =15 × = = 5
3 3