Chapitre en 4 Opérations sur les nombres relatifs: multiplication et

Chapitre en 4 ème
Opérations sur les nombres relatifs:
multiplication et division
➢Calculer le produit de nombres relatifs simples.
➢Déterminer le quotient de deux nombres décimaux (positifs ou négatifs).

Pour tout nombre x : x −x = −x x=0
Pour des nombres a , b et k quelconques : k× ab =k×ak×b (distributivité)
Pour tout nombre x : 0×x=x×0=0
Pour tout nombre x on a : x× −1 = −1 ×x=−x
Chapitre Opérations sur les nombres relatifs:
multiplication et division
1) Opposé d’un nombre relatif
a) Rappels
➢
➢
➢
b) Opposé et multiplication
Multiplier un nombre par (-1) revient à prendre son opposé (admis).
Exemples
3× −1 = −1 −1 −1 =−3
−2 × −1 =2=2
Cas particulier important
−1 × −1 =1
2) Multiplier deux nombres relatifs
« Règle des signes » (admise)
➢Le produit de deux nombres de même signe est positif.
➢Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.
Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie les distances à zéro
et on applique la règle des signes.
Exemples
A= −4 × −2,5 = 4×2,5 =10
Si on détaille,
A= −1 ×4× −1 ×2,5 = −1 × −1 ×4×2,5 =1×10 =10
B=0,2× −14 =− 0,2 ×14 =−2,8
Remarques (propriétés admises)
➢Le produit de plusieurs nombres relatifs est positif si ce produit comporte un nombre
pair (multiple de 2) de facteurs négatifs.
Exemple:
−3 × −5 ×8
est positif car ce produit comporte 2 facteurs négatifs.
➢Le produit de plusieurs nombres relatifs est négatif si ce produit comporte un nombre
impair de facteurs négatifs.
Exemple:
−3 × −5 × −2 ×8
est négatif car ce produit comporte 3 facteurs négatifs.
−x est l'opposé de x

!!Attention !!
Il ne faut pas confondre la règle des signes
négatif ×négatif
positif
négatif ×positif
négatif
positif ×positif
positif
et la règle revue dans le chapitre « Addition de nombres relatifs »
négatif négatif
négatif
positif positif
positif
positif négatif
voir le chapitre Addition de nombres relatifs
3) Diviser deux nombres relatif: quotient
a) Quotient et équation
Exemples
q×5=15 donc q=15 :5=3 , le quotient de 15 par 5 est 3
x×3=7 donc x=7:3=7
3 , le quotient de 7 par 3 est 7 3
(nombre fractionnaire)
b) Définition (rappel de 5 ème )
Le quotient de apar b b≠0 est le nombre qui multiplié par bdonne a
On a donc
q×b=a donc q=a : b et on note ce quotient a
b
Traduction
Si b≠0 on a : a
b×b=a
Exemples
7
3×3=7 on peut vérifier que 7 3×3=7 37 37 3=777 3=21 3=7
5×4
5=4
Cas particuliers
Pour a≠0;a
a=1;a 1=a ; 0 a=0 et 1 a×a=1
Par exemple
1
3×3=1
.

c) Produits et égalités de quotients (5 ème )
Pour des nombres a , b , c et d non nuls : a
b×c d=a×c b×d
Exemples
2
3×4 5=2×4 3×5=8 15
a×c
b×c=a b×c c=a b×1=a b (égalité des quotients)
On ne change pas la valeur d’un quotient en multipliant son numérateur et son
dénominateur par un même nombre non nul .
d) Règle des signes pour les quotients (admise)
➢Le quotient de deux nombres de même signe est un nombre positif.
Exemples
q× −5 =−10 donc q=−10
−5=
−1 ×10
−1 ×5=10 5=2
x×7=21 donc x=21
7=21 7=3
➢Le quotient de deux nombres de signes contraires est un nombre négatif.
Exemples
q×5=−10 donc q=−10
5=
−2 ×5
1×5=−2 1=−2
x× −3 =18 donc x=18
−3=
−3 × −6
−3 ×1=
−6
1=−6
e) Trois écritures pour un quotient
Exemple
−12
7=
−12 × −1
7× −1
=12
−7
−12
7=
−1 ×12
1×7=
−1
1×12 7=
−1 ×12
7=−12 7
On a donc
12
−7=−12 7=− 12 7
(trois écritures du quotient).
De façon générale:
Pour a et b b≠0 : −a
b=a −b=− a b
Exemples
A=−5
3=5 −3=− 5 3B=−7 −3=7 − −3
=7
3C=4 −8=−4 8

4) Inverse d’un nombre relatif
a) Définition
On dit que deux nombres relatifs non nuls x et y sont « inverses » l’un de l’autre
si leur produit est égal à 1, c’est à dire
x×y=1
.
Propriété
L'inverse d'un nombre x(non nul) est 1
x
En effet,
1
x×x=x x=1
Exemples
L'inverse de 2 est 1
2L'inverse de
−2 est 1
−2
!!Attention !!
Ne pas confondre « inverse » et « opposé »
L'inverse de 4 est 1
4 alors que l'opposé de 4 est
−4
L'inverse de (-3) est 1
−3
alors que l'opposé de −3 est 3
Remarque
Un nombre et son inverse ont le même signe.
b) Propriété
Diviser un nombre a par un nombre b (non nul) revient à
multiplier a par l’inverse de b.
Traduction
Pour a et b(non nul) on a donc a : b =a
b=a×1 b
Démonstration
a×1
b=a 1×1 b=a×1 1×b=a b
Exemples
A=10
4=10 ×1 4=10×0,25 =2,5 B=15 ×1 3=15 3=5
C=9×5
3=9×1 3×15 =9 3×5=3×5=15