fonctions trigonometriques

Fonctions trigonométriques
Cours
CHAPITRE 8 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
1. PLAN D’ÉTUDE D’UNE FONCTION
TRIGONOMÉTRIQUE PERIODIQUE
On considère un repère orthogonal (O , i , j )
1. Déterminer le domaine de définition D de la fonction.
2. Recherche d’une éventuelle période T (T>0 le plus petit possible). On étudie la fonction
pour x ∈ E1 = [ α , α + T ] ∩ D, avec α à déterminer en tenant compte des autres propriétés de
la fonction.
3. Parité ou imparité
Si la fonction est paire ou impaire, on prend en général α = −
T
et donc l’intervalle
2
T 
 T T 

E1 =  − ,
∩ D et l’on réduit l’étude à l’intervalle E2 =  0,
∩D

2 
 2 2

Remarque
On peut aussi prendre α = 0 et dans certains cas d’autres valeurs de α sont
préférables.
4. Centre de symétrie. Axe de symétrie
On peut aussi réduire l’intervalle d’étude dans le cas où la fonction admet un centre de
symétrie I ( a , b) (autre que l’origine) ou un axe de symétrie x = a (autre que x = 0 )
5. Etude de la fonction dérivée. Limites aux bornes du domaine de définition.
Tableau de variation.
6. Représentation graphique de la fonction.
 Gérard Hirsch – Maths54
1
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Remarque
Certaines étapes comme le 2 (ou le 3 ou le 4) peuvent ne pas se produire
2. Etude de la fonction sinus
Soit la fonction f : x sin x
• La fonction sinus est définie sur D =
• La fonction sinus est périodique de période T = 2 π
En effet ∀x ∈ D ,
x + 2π ∈ D et sin( x + 2π) = sin x
Il suffit donc d’étudier la fonction sur E1 = [ − π , π ]
• La fonction sinus est impaire
En effet ∀x ∈ D ,
− x ∈ D et sin(− x) = − sin x
• On réduit l’étude de la fonction à E2 = [ 0 , π ]
• La courbe représentative de la fonction sinus admet la droite d’équation x =
π
pour axe de
2
symétrie
En effet
π
π
π
π
+ x ∈ D ⇔ − x ∈ D et sin( + x) = sin( − x)
2
2
2
2
∀x ∈ D
 π
On réduit (encore) l’étude de la fonction à E3 =  0 , 
 2
• La fonction sinus est dérivable sur D =
et (sin x) ' = cos x avec cos x ≥ 0 pour
 π
x ∈ E3 =  0 , 
 2
Tableau de variation :
x
f
0
1
2
+
0
1
f
0
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2
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• Courbe représentative :
 π
Pour x ∈ E3 =  0 ,  , on obtient l’arc générateur de la courbe représentant les variations de
 2
la fonction.
1
0
1
Pour x ∈ E2 = [ 0 , π ] :
on passe de l’arc générateur obtenu pour
 π
x ∈ E3 =  0 , 
 2
à l’arc obtenu pour
x ∈ E2 = [ 0 , π ] en effectuant la symétrie par rapport à la droite d’équation x =
π
2
1
0
1
2
3
Pour x ∈ E1 = [ − π , π ] :
on passe de l’arc obtenu pour x ∈ E2 = [ 0 , π ] à l’arc obtenu pour x ∈ E1 = [ − π , π ] en
effectuant la symétrie par rapport à l’origine O du repère
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3
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1
-3
-2
0
-1
1
2
3
-1
Pour x ∈ D = R :
on passe de l’arc obtenu pour x ∈ E1 = [ − π , π ] à l’arc obtenu pour x ∈ D = R en effectuant
les translations 2 k π i , k ∈ Z
1
0
-5
5
10
-1
3. Etude de la fonction cosinus
Soit la fonction f : x cos x
• La fonction cosinus est définie sur D =
• La fonction cosinus est périodique de période T = 2 π
En effet ∀x ∈ D ,
x + 2π ∈ D et cos( x + 2π) = cos x
Il suffit donc d’étudier la fonction sur E1 = [ − π , π ]
• La fonction cosinus est paire
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4
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En effet ∀x ∈ D ,
Cours
− x ∈ D et cos(− x) = cos x
On réduit l’étude de la fonction à E2 = [ 0 , π ]
• La courbe représentative de la fonction cosinus admet le point I = (
π
, 0 ) pour centre de
2
symétrie
En effet
π
π
π
π
+ x ∈ D ⇔ − x ∈ D et cos( + x) + cos( − x) = − sin x + sin x = 0
2
2
2
2
∀x ∈ D
 π
On réduit (encore) l’étude de la fonction à E3 =  0 , 
 2
• La fonction cossinus est dérivable sur D = et (cos x) ' = − sin x
 π
avec − sin x ≤ 0 pour x ∈ E3 =  0 , 
 2
• Tableau de variation :
x
f
0
2
−
0
-1
1
f
0
• Courbe représentative :
 π
Pour x ∈ E3 =  0 ,  , on obtient l’arc générateur de la courbe représentant les variations de
 2
la fonction.
1
0
1
Pour x ∈ E2 = [ 0 , π ] :
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5
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on passe de l’arc générateur obtenu pour
Cours
 π
x ∈ E3 =  0 , 
 2
x ∈ E2 = [ 0 , π ] en effectuant la symétrie par rapport au point I = (
à l’arc obtenu pour
π
,0)
2
1
0
1
2
3
-1
Pour x ∈ E1 = [ − π , π ] :
on passe de l’arc obtenu pour x ∈ E2 = [ 0 , π ] à l’arc obtenu pour x ∈ E1 = [ − π , π ] en
effectuant la symétrie par rapport à l’axe Oy
1
-3
-2
0
-1
1
2
3
-1
Pour x ∈ D = R :
on passe de l’arc obtenu pour x ∈ E1 = [ − π , π ] à l’arc obtenu pour x ∈ D = R en effectuant
les translations 2 k π i , k ∈ Z
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6
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1
0
-5
5
10
-1
4. Etude de la fonction tangente
Soit la fonction f : x tan x
• La fonction tangente est définie par tan x =
sin x
π

sur D = ∪  + k π k ∈ Z 
k
∈
Z
cos x
2

• La fonction tangente est périodique de période T = π
En effet ∀x ∈ D ,
x + π ∈ D et tan( x + π) =
sin( x + π) − sin x
=
= tan x
cos( x + π) − cos x
 π π
Il suffit donc d’étudier la fonction sur E1 =  − , 
 2 2
• La fonction tangente est impaire
En effet ∀x ∈ D ,
− x ∈ D et tan(− x) =
sin(− x) − sin x
=
= − tan x
cos(− x) cos x
 π
On réduit l’étude de la fonction à E2 =  0 , 
 2
π

• La fonction tangente est dérivable sur D = ∪  + k π k ∈ Z 
k∈Z 2


2
2
 sin x  ' (sin x) 'cos x − sin x(cos x) ' cos x + sin x
=
= 1 + tan 2 x
et (tan x) ' = 
 =
2
2
cos x
cos x
 cos x 
avec (tan x) ' =
1
 π
= 1 + tan 2 x > 0 pour x ∈ E2 =  0 , 
2
cos x
 2
• Limite aux bornes du domaine de définition :
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π
Puisque limπ sin x = sin( ) = 1
2
x→
x<
Cours
π
lim cos x = lim cos( ) = 0+
π
π
2
x→
x→
et
2
π
2
x<
2
π
2
x<
2
π
2
alors limπ tan x = +∞
x→
x<
2
π
2
La droite d’équation x =
π
est asymptote à la courbe
2
• Tableau de variation :
x
f
0
2
+
1
+
f
0
• Courbe représentative :
 π
Pour x ∈ E2 =  0 ,  , on obtient l’arc générateur de la courbe représentant les variations de
 2
la fonction.
3
2
1
0
1
 π π
Pour x ∈ E1 =  − ,  :
 2 2
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on passe de l’arc générateur obtenu pour
 π
x ∈ E2 =  0 , 
 2
Cours
à l’arc obtenu pour
 π π
x ∈ E1 =  − ,  en effectuant la symétrie par rapport au l’origine O du repère.
 2 2
3
2
1
-1
0
1
-1
-2
-3
π

Pour x ∈ D = ∪  + k π k ∈ Z  :
k∈Z 2


 π π
π

on passe de l’arc obtenu pour x ∈ E1 =  − ,  à l’arc obtenu pour D = ∪  + k π k ∈ Z 
k
∈
Z
 2 2
2

en effectuant les translations
3
2
1
-5
0
5
10
-1
-2
-3
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